Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Miền của ánh xạ bởi hàm số phức複素（ふくそ）関数（かんすう）による写像（しゃぞう）の範囲（はんい）

Công thức公式

w = (z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i)^4
|w| = |p^4| = |p|^4
\arg w = \arg(p^4) = 4\arg p
1 \le |w| \le 81

Ví dụ例題

Cho \(p = z + \sqrt{2} + \sqrt{2} i\) với 1 <= |p| <= 3. Tìm khoảng giá trị tuyệt đối của \(w = p^{4}\).

1 \(\le\) |p| \(\le\) 3 を満（み）たす p = z + \(\sqrt{2}\) + \(\sqrt{2}\)i に対（たい）し、w = p^4 の絶対（ぜったい）値（ち）の範囲（はんい）を求（もと）めよ。

  1. Biểu diễn giá trị tuyệt đối của w theo p: |w| = |p^4| = |p|^4.w の絶対（ぜったい）値（ち）を p で表（あらわ）すと、|w| = |p^4| = |p|^4 となる。
  2. Vì 1 <= |p| <= 3, ta lấy mũ 4 các vế: 1^4 <= |p|^4 <= 3^4.1 \(\le\) |p| \(\le\) 3 より、各辺（かくへん）を4乗（の）して 1^4 \(\le\) |p|^4 \(\le\) 3^4 となる。
  3. Tính toán các giá trị lũy thừa ta được 1 <= |w| <= 81.累乗（るいじょう）を計算（けいさん）すると 1 \(\le\) |w| \(\le\) 81 を得（う）る。
Vậy miền giá trị tuyệt đối của ảnh w là 1 <= |w| <= 81.したがって、像（ぞう） w の絶対（ぜったい）値（ち）の範囲（はんい）は 1 <= |w| <= 81 である。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho \(p = z + \sqrt{2} + \sqrt{2} i\) với |p| = 2. Giá trị của |w| với \(w = p^{4}\) là bao nhiêu?|p| = 2 を満（み）たす \(p = z + \sqrt{2} + \sqrt{2} i\) に対（たい）し、\(w = p^{4}\) のとき |w| の値（あたい）はいくらか。

2. Cho w = (z + \(\sqrt{2}\) + \(\sqrt{2}\)i)^4 = p^4. Nếu \arg p = \(\frac{\pi}{6}\) thì \arg w bằng bao nhiêu?w = (z + \(\sqrt{2}\) + \(\sqrt{2}\)i)^4 = p^4 とする。\arg p = \(\frac{\pi}{6}\) のとき、\arg w の値（あたい）はいくらか。

3. Cho \(p = z + \sqrt{2} + \sqrt{2} i\) thỏa mãn 1 <= |p| <= 3. Miền giá trị của |w| với \(w = p^{4}\) là:1 \(\le\) |p| \(\le\) 3 を満（み）たす p = z + \(\sqrt{2}\) + \(\sqrt{2}\)i に対（たい）し、w = p^4 とすると |w| の範囲（はんい）はどれか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.15.3. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.15.3。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững cách chuyển đổi biến số phức thành dạng lũy thừa \(p^{4}\).複素（ふくそ）数（すう）変数（へんすう）を \(p^{4}\) の形式（けいしき）に変換（へんかん）する方法（ほうほう）を習得（しゅうとく）する。
  2. Xác định miền giá trị tuyệt đối và miền của argument cho ảnh w.像（ぞう） w の絶対（ぜったい）値（ち）の範囲（はんい）と偏角（へんかく）の範囲（はんい）を決定（けってい）する。
Trực giác · イメージ

Trực giác về phép biến đổi ảnh qua hàm số phức複素（ふくそ）関数（かんすう）による像（ぞう）の変形（へんけい）に関（かん）する直感（ちょっかん）

Khi một điểm z biến đổi qua hàm số phức, khoảng cách đến tâm được nâng lên lũy thừa và góc quay được nhân lên. Việc tách thành phần trung gian giúp ta dễ dàng kiểm soát ảnh của miền ban đầu.

点（てん） z が複素（ふくそ）関数（かんすう）によって変化（へんか）するとき、中心（ちゅうしん）からの距離（きょり）は乗（のり）べきされ、回転（かいてん）角（かく）は倍増（ばいぞう）します。中間（ちゅうかん）変数（へんすう）を導入（どうにゅう）することで、元（もと）の領域（りょういき）の像（ぞう）を容易（ようい）に把握（はあく）できます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 絶対（ぜったい）値（ち）giá trị tuyệt đối

    Giá trị tuyệt đối đại diện cho khoảng cách từ điểm biểu diễn số phức đến gốc tọa độ.

    絶対（ぜったい）値（ち）は、複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の点（てん）が原点（げんてん）から持（も）つ距離（きょり）を表（あらわ）します。

  • 偏角（へんかく）の範囲（はんい）miền của argument

    Miền của argument xác định khoảng góc quay của số phức trên mặt phẳng.

    偏角（へんかく）の範囲（はんい）は、平面（へいめん）上（じょう）での複素（ふくそ）数（すう）の回転（かいてん）角（かく）の範囲（はんい）を規定（きてい）します。

  • 写像（しゃぞう）の範囲（はんい）miền của ánh xạ

    Miền của ánh xạ là tập hợp các điểm ảnh thu được sau khi thực hiện biến đổi hàm số.

    写像（しゃぞう）の範囲（はんい）は、関数（かんすう）による変換（へんかん）後（ご）に得（え）られる像（ぞう）の点（てん）の集合（しゅうごう）です。

  • 複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）mặt phẳng số phức

    Mặt phẳng biểu diễn các số phức với trục thực và trục ảo.

    実（じつ）軸（じく）と虚（きょ）軸（じく）を用（もち）いて複素（ふくそ）数（すう）を幾何（きか）学（がく）的（てき）に表示（ひょうじ）する平面（へいめん）です。

  • 像（ぞう）ảnh

    Ảnh là kết quả thu được của tập hợp điểm sau qua biến đổi hàm số phức.

    像（ぞう）とは、複素（ふくそ）関数（かんすう）による変換（へんかん）によって移（うつ）された点（てん）の集合（しゅうごう）のことです。

  • 複素（ふくそ）関数（かんすう）hàm số phức

    Hàm số nhận biến số phức và trả về giá trị là số phức.

    複素（ふくそ）数（すう）を変数（へんすう）とし、複素（ふくそ）数（すう）の値（あたい）を返（かえ）す関数（かんすう）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1: 中間（ちゅうかん）変数（へんすう）の設定（せってい）

    Bước 1: Đặt biến phụ trung gian

    Biến đổi biểu thức hàm số bằng cách đặt \(p = z + \sqrt{2} + \sqrt{2} i\) để thu gọn biểu thức \(w = p^{4}\). Việc này giúp tách riêng phép dịch chuyển và phép nâng lũy thừa.

    \(p = z + \sqrt{2} + \sqrt{2} i\) と置（お）いて \(w = p^{4}\) に変形（へんけい）します。これにより平行（へいこう）移動（いどう）と累乗（るいじょう）計算（けいさん）を分離（ぶんり）できます。

  2. 02
    ステップ2: 像（ぞう）の絶対（ぜったい）値（ち）の計算（けいさん）

    Bước 2: Tính giá trị tuyệt đối của ảnh

    Sử dụng công thức |w| = |p^4| = |p|^4 để tìm khoảng khoảng cách của ảnh w. Nếu 1 <= |p| <= 3 thì ta suy ra 1 <= |w| <= 81.

    公式（こうしき） |w| = |p^4| = |p|^4 を用（もち）いて像（ぞう） w の距離（きょり）の範囲（はんい）を求（もと）めます。1 <= |p| <= 3 であれば 1 <= |w| <= 81 となります。

  3. 03
    ステップ3: 像（ぞう）の偏角（へんかく）の決定（けってい）

    Bước 3: Xác định argument của ảnh

    Sử dụng quan hệ \arg w = \arg(p^4) = 4\arg p để nhân miền góc của p lên 4 lần. Cần chú ý vòng quay hoàn chỉnh khi góc vượt quá 2\(\pi\).

    関係（かんけい）式（しき） \arg w = \arg(p^4) = 4\arg p を用（もち）いて p の偏角（へんかく）範囲（はんい）を4倍（ばい）します。角（かく）が 2\(\pi\) を超（こ）える場合（ばあい）の周回（しゅうかい）に注意（ちゅうい）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn rằng |w| = 4|p| thay vì |p|^4.|w| は |p|^4 ではなく 4|p| であると誤解（ごかい）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Giá trị tuyệt đối của lũy thừa tuân theo |p^n| = |p|^n chứ không nhân hệ số n.累乗（るいじょう）の絶対（ぜったい）値（ち）は |p^n| = |p|^n に従（したが）い、係数（けいすう） n を掛（か）けるものではありません。

Quên nhân góc argument với 4 khi tính \arg w từ \arg p.\arg p から \arg w を計算（けいさん）する際（さい）に偏角（へんかく）を4倍（ばい）し忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Lưu ý rằng \arg(p^4) = 4\arg p do quy tắc nhân góc trong phép nâng lũy thừa số phức.複素（ふくそ）数（すう）の累乗（るいじょう）では偏角（へんかく）が4倍（ばい）になり \arg(p^4) = 4\arg p となることに注意（ちゅうい）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Biến đổi hàm số phức w = p^4 tách biệt ảnh thành giá trị tuyệt đối |p|^4 và argument 4\arg p.複素（ふくそ）関数（かんすう） w = p^4 の変換（へんかん）では、像（ぞう）を絶対（ぜったい）値（ち） |p|^4 と偏角（へんかく） 4\arg p に分離（ぶんり）して考（かんが）えます。
  • Khi miền của |p| là [a, b], miền của |w| sẽ là [\(a^{4}\), \(b^{4}\)].|p| の範囲（はんい）が [a, b] のとき、|w| の範囲（はんい）は [\(a^{4}\), \(b^{4}\)] となります。
  • Argument của ảnh nhân 4 lần so với argument của biến trung gian p.像（ぞう）の偏角（へんかく）は、中間（ちゅうかん）変数（へんすう） p の偏角（へんかく）の4倍（ばい）になります。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

w = (z + \sqrt{2} + \sqrt{2}i)^4

Công thức biểu diễn hàm số phức thông qua biến phụ p.

中間（ちゅうかん）変数（へんすう） p を用（もち）いて複素（ふくそ）関数（かんすう）を表（あらわ）す公式（こうしき）。

|w| = |p^4| = |p|^4

Công thức tính giá trị tuyệt đối của lũy thừa số phức.

複素（ふくそ）数（すう）の累乗（るいじょう）に対（たい）する絶対（ぜったい）値（ち）の計算（けいさん）公式（こうしき）。

\arg w = \arg(p^4) = 4\arg p

Công thức biến đổi argument khi nâng lên mũ 4.

4乗（の）したときの偏角（へんかく）の変化（へんか）を表（あらわ）す公式（こうしき）。

1 \le |w| \le 81

Bất đẳng thức xác định miền giá trị tuyệt đối của ảnh w.

像（ぞう） w の絶対（ぜったい）値（ち）の範囲（はんい）を規定（きてい）する不（ふ）等式（とうしき）。

EJU 2026 · MATH.15.3

Bài học hướng dẫn xác định miền giá trị và ảnh của biến đổi số phức qua hàm số phức trên mặt phẳng số phức. Người học sẽ vận dụng mối liên hệ giữa giá trị tuyệt đối và argument để tìm tập hợp ảnh chính xác.

本課（ほんか）では、複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）における複素（ふくそ）関数（かんすう）による像（ぞう）と写像（しゃぞう）の範囲（はんい）を決定（けってい）する方法（ほうほう）を学（まな）びます。絶対（ぜったい）値（ち）と偏角（へんかく）の関係（かんけい）を利用（りよう）して、正確（せいかく）な像（ぞう）の範囲（はんい）を求（もと）めます。

複素（ふくそ）関数（かんすう）による写像（しゃぞう）の範囲（はんい）
絶対値偏角の範囲写像の範囲複素数平面