Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Số phức và phép quay複素（ふくそ）数（すう）と回転（かいてん）

Công thức公式

w - \alpha = (\cos\theta + i\sin\theta)(z - \alpha)
w - \alpha = \frac{1+\sqrt{3}i}{2}(z - \alpha)

Ví dụ例題

Cho điểm cố định α = 1 + i và điểm z = 3 + i. Tìm điểm w nhận được khi quay điểm z quanh điểm α một góc quay π/3 (60°).

不（ふ）動点（どうてん） α = 1 + i、点（てん） z = 3 + i とします。点（てん） z を点（てん） α のまわりに回転（かいてん）角（かく） π/3 (60°) だけ回転（かいてん）させた点（てん） w を求（もと）めなさい。

  1. Bước 1: Tính hiệu z - α: Ta có z - α = (3 + i) - (1 + i) = 2.ステップ1：差（さ） z - α の計算（けいさん）：z - α = (3 + i) - (1 + i) = 2 となります。
  2. Bước 2: Áp dụng công thức phép quay góc π/3: Áp dụng công thức w - α = ((1 + sqrt(3)i)/2)(z - α), ta được w - (1 + i) = ((1 + sqrt(3)i)/2) * 2 = 1 + sqrt(3)i.ステップ2：角（かく） π/3 の回転（かいてん）公式（こうしき）の適用（てきよう）：公式（こうしき） w - α = ((1 + sqrt(3)i)/2)(z - α) を適用（てきよう）すると、w - (1 + i) = ((1 + sqrt(3)i)/2) * 2 = 1 + sqrt(3)i となります。
  3. Bước 3: Rút ra tọa độ điểm w: Chuyển α sang vế phải: w = (1 + i) + (1 + sqrt(3)i) = 2 + (1 + sqrt(3))i.ステップ3：点（てん） w の導出（どうしゅつ）：右辺（うへん）に α を加（くわ）えると、w = (1 + i) + (1 + sqrt(3)i) = 2 + (1 + sqrt(3))i となります。
Điểm ảnh w thu được sau phép quay là 2 + (1 + sqrt(3))i.求（もと）める像（ぞう） w は 2 + (1 + sqrt(3))i です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho điểm cố định α = 2 và điểm z = 4. Tìm điểm w thu được khi quay z quanh α một góc quay π/3.不（ふ）動点（どうてん） α = 2、点（てん） z = 4 とします。点（てん） z を α のまわりに回転（かいてん）角（かく） π/3 だけ回転（かいてん）させた点（てん） w を求（もと）めなさい。

2. Biết phép quay quanh điểm cố định α góc quay π/3 biến điểm z thành w theo công thức w - α = ((1 + sqrt(3)i)/2)(z - α). Nếu α = i và z = 2 + i thì điểm w là bao nhiêu?不（ふ）動点（どうてん） α のまわりの回転（かいてん）角（かく） π/3 の回転（かいてん）により、点（てん） z が w - α = ((1 + sqrt(3)i)/2)(z - α) に従（したが）って w に移（うつ）るとします。α = i, z = 2 + i のとき、点（てん） w を求（もと）めなさい。

3. Trong phép quay w - α = (cos θ + i sin θ)(z - α), điểm nào sau đây giữ nguyên vị trí (không bị dịch chuyển)?回転（かいてん） w - α = (cos θ + i sin θ)(z - α) において、位置（いち）が変（か）わらない（移動（いどう）しない）点（てん）はどれですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.15.3. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.15.3。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu cách biểu diễn phép quay điểm z quanh điểm cố định α một góc quay θ.不（ふ）動点（どうてん） α のまわりの回転（かいてん）角（かく） θ による点（てん） z の回転（かいてん）表現（ひょうげん）を理解（りかい）する。
  2. Áp dụng công thức số phức để xác định điểm ảnh w và điểm bất động.複素（ふくそ）数（すう）の公式（こうしき）を用（もち）いて像（ぞう） w や動（うご）かない点（てん）を決定（けってい）できるようにする。
Trực giác · イメージ

Phép quay quanh một tâm trong mặt phẳng số phức複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）における点（てん）を中心（ちゅうしん）とする回転（かいてん）

Để quay điểm z quanh điểm cố định α một góc θ, ta coi vectơ z - α như được đưa về gốc tọa độ. Sau đó nhân với số phức cos θ + i sin θ để thực hiện phép quay góc θ rồi tịnh tiến trở lại. Điểm không bị biến đổi qua phép quay chính là điểm bất động α.

点（てん） z を不（ふ）動点（どうてん） α のまわりに角（かく） θ 回転（かいてん）させるには、まず z - α と考（かんが）え中心（ちゅうしん）を原点（げんてん）に移（うつ）します。次（つぎ）に cos θ + i sin θ を掛（か）け回転（かいてん）させた後（あと）、元（もと）の位置（いち）に戻（もど）します。回転（かいてん）によって変化（へんか）しない点（てん）が動（うご）かない点（てん） α です。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 動（うご）かない点（てん）Điểm bất động

    Là điểm không bị thay đổi vị trí qua phép biến hình. Trong phép quay quanh α, chính điểm α giữ nguyên vị trí.

    変換（へんかん）によって位置（いち）が変（か）わらない点（てん）のことです。α を中心（ちゅうしん）とする回転（かいてん）では、点（てん） α 自身（じしん）が位置（いち）を変（か）えません。

  • 不（ふ）動点（どうてん）điểm cố định

    Là điểm đóng vai trò tâm của phép quay trên mặt phẳng số phức. Mọi điểm khác sẽ quay xung quanh điểm này.

    複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）における回転（かいてん）の中心（ちゅうしん）となる点（てん）のことです。他（ほか）のすべての点（てん）はこの点（てん）を中心（ちゅうしん）に回転（かいてん）します。

  • 回転（かいてん）角（かく）góc quay

    Góc định hướng θ xác định độ lớn và chiều quay của điểm z xung quanh tâm α. Chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ.

    中心（ちゅうしん） α のまわりに点（てん） z を回転（かいてん）させる大（おお）きさと向（む）きを表（あらわ）す角（かく） θ です。反（はん）時計（とけい）回（まわ）りを正（せい）の向（む）きとします。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：回転（かいてん）の中心（ちゅうしん）と回転（かいてん）角（かく）の特定（とくてい）

    Bước 1: Xác định tâm quay và góc quay

    Xác định điểm cố định α và góc quay θ từ đề bài. Chuẩn bị số phức biểu diễn phép quay là cos θ + i sin θ.

    問題（もんだい）文（ぶん）から不（ふ）動点（どうてん） α と回転（かいてん）角（かく） θ を特定（とくてい）します。回転（かいてん）を表（あらわ）す複素（ふくそ）数（すう） cos θ + i sin θ を準備（じゅんび）します。

  2. 02
    ステップ2：回転（かいてん）方程（ほうてい）式（しき）の立（りっ）式（しき）

    Bước 2: Thiết lập phương trình quay

    Sử dụng công thức w - α = (cos θ + i sin θ)(z - α) để liên kết điểm ban đầu z và điểm ảnh w. Chú ý trừ đi α ở cả hai vế.

    公式（こうしき） w - α = (cos θ + i sin θ)(z - α) を用（もち）いて元（もと）の点（てん） z と像（ぞう） w を結（むす）びつけます。両辺（りょうへん）から α を引（ひ）くことに注意（ちゅうい）します。

  3. 03
    ステップ3：変形（へんけい）と点（てん） w の計算（けいさん）

    Bước 3: Biến đổi và tính toán tọa độ điểm w

    Thay các giá trị cụ thể của α, θ, z vào phương trình. Thực hiện phép nhân số phức và chuyển α sang vế phải để tìm w.

    α、θ、z の具体（ぐたい）的（てき）な値（あたい）を方程（ほうてい）式（しき）に代入（だいにゅう）します。複素（ふくそ）数（すう）の乗算（じょうざん）を行（おこな）い、α を移行（いこう）して w を求（もと）めます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên không trừ tâm α ở vế trái hoặc vế phải, viết thành w = (cos θ + i sin θ)z.左辺（さへん）または右辺（うへん）で中心（ちゅうしん） α を引（ひ）き忘（わす）れ、w = (cos θ + i sin θ)z と書（か）いてしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Phép quay quanh điểm α khác gốc tọa độ bắt buộc phải dịch tâm: w - α = (cos θ + i sin θ)(z - α).原点（げんてん）以外（いがい）の点（てん） α のまわりの回転（かいてん）では、中心（ちゅうしん）を移動（いどう）させた w - α = (cos θ + i sin θ)(z - α) を使（つか）う必要（ひつよう）があります。

Xác định sai điểm bất động (điểm cố định) là z thay vì α.不（ふ）動点（どうてん）（固定（こてい）された点（てん））を α ではなく z と誤認（ごにん）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Điểm quay xung quanh là điểm cố định α. Nếu w = z thì z = α chính là điểm bất động duy nhất.回転（かいてん）の中心（ちゅうしん）となるのが不（ふ）動点（どうてん） α です。w = z となる場合（ばあい）、z = α が唯一（ゆいいつ）の動（うご）かない点（てん）となります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Phép quay quanh điểm cố định α góc θ có công thức w - α = (cos θ + i sin θ)(z - α).不（ふ）動点（どうてん） α のまわりの回転（かいてん）角（かく） θ の回転（かいてん）は w - α = (cos θ + i sin θ)(z - α) と表（あらわ）されます。
  • Với góc quay 60° (π/3), thừa số quay có dạng (1 + sqrt(3)i)/2.回転（かいてん）角（かく） 60° (π/3) の場合（ばあい）、回転（かいてん）の係数（けいすう）は (1 + sqrt(3)i)/2 となります。
  • Điểm bất động α là điểm duy nhất không thay đổi vị trí qua phép quay.不（ふ）動点（どうてん） α は回転（かいてん）によって位置（いち）が変（か）わらない唯一（ゆいいつ）の点（てん）です。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

w - \alpha = (\cos\theta + i\sin\theta)(z - \alpha)

Công thức tổng quát biểu diễn phép quay điểm z quanh điểm cố định α một góc quay θ thành điểm w.

不（ふ）動点（どうてん） α のまわりに点（てん） z を回転（かいてん）角（かく） θ だけ回転（かいてん）させて点（てん） w に移（うつ）す一般（いっぱん）公式（こうしき）です。

w - \alpha = \frac{1+\sqrt{3}i}{2}(z - \alpha)

Công thức biểu diễn phép quay góc 60 độ (pi/3) quanh điểm cố định α do (1 + sqrt(3)i)/2 = cos(pi/3) + i sin(pi/3).

(1 + sqrt(3)i)/2 = cos(pi/3) + i sin(pi/3) より、不（ふ）動点（どうてん） α のまわりの 60 度（ど）（pi/3）回転（かいてん）を表（あらわ）す公式（こうしき）です。

EJU 2026 · MATH.15.3

Phép quay điểm z quanh điểm cố định α một góc quay θ tạo ra điểm w. Công thức biểu diễn sự dịch chuyển tâm và nhân với số phức đơn vị dạng lượng giác.

点（てん） z を不（ふ）動点（どうてん） α のまわりに回転（かいてん）角（かく） θ だけ回転（かいてん）させた点（てん） w を求（もと）めます。中心（ちゅうしん）を移動（いどう）させて極（ごく）形式（けいしき）の単位（たんい）複素（ふくそ）数（すう）を掛（か）ける形式（けいしき）で表（あらわ）されます。

複素（ふくそ）数（すう）と回転（かいてん）
動かない点不動点回転角