Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Phép tính tích phân và ứng dụng Phần 1積分（せきぶん）法（ほう）とその応用（おうよう） 第（だい）1部（ぶ）

Công thức公式

\int x^\alpha dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C
\int \frac{1}{x} dx = \log|x|+C
\int e^x dx = e^x+C
\int \sin x dx = -\cos x+C

Ví dụ例題

Tính nguyên hàm I = \(\int\) \(\sin\)(2x) dx.

不定（ふてい）積分（せきぶん） I = \(\int\) \(\sin\)(2x) dx を求（もと）めよ。

  1. Đặt t = 2x, suy ra dt = 2 dx hay dx = \(\frac{1}{2}\) dt.t = 2x とおくと、dt = 2 dx より dx = \(\frac{1}{2}\) dt となる。
  2. Thay vào tích phân ta được I = \(\int\) \(\sin\) t \(\cdot\) \(\frac{1}{2}\) dt = \(\frac{1}{2}\) \(\int\) \(\sin\) t dt.積分（せきぶん）に代入（だいにゅう）すると I = \(\int\) \(\sin\) t \(\cdot\) \(\frac{1}{2}\) dt = \(\frac{1}{2}\) \(\int\) \(\sin\) t dt となる。
  3. Áp dụng công thức \(\int\) \(\sin\) t dt = -\(\cos\) t + C, ta có I = -\(\frac{1}{2}\) \(\cos\) t + C.公式（こうしき） \(\int\) \(\sin\) t dt = -\(\cos\) t + C を適用（てきよう）すると、I = -\(\frac{1}{2}\) \(\cos\) t + C となる。
  4. Thay t = 2x trở lại ta thu được kết quả cuối cùng là I = -\(\frac{1}{2}\) \(\cos\)(2x) + C.t = 2x を元（もと）に戻（もど）すと、最終（さいしゅう）結果（けっか） I = -\(\frac{1}{2}\) \(\cos\)(2x) + C を得（う）る。
Vậy nguyên hàm của \(\sin\)(2x) là -\(\frac{1}{2}\) \(\cos\)(2x) + C.したがって、\(\sin\)(2x) の不定（ふてい）積分（せきぶん）は -\(\frac{1}{2}\) \(\cos\)(2x) + C である。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tính nguyên hàm I = \(\int\) (x^2 + e^x) dx.不定（ふてい）積分（せきぶん） I = \(\int\) (x^2 + e^x) dx を求（もと）めよ。

2. Tính nguyên hàm I = \(\int\) \(\frac{3}{x}\) dx với x > 0.x > 0 における不定（ふてい）積分（せきぶん） I = \(\int\) \(\frac{3}{x}\) dx を求（もと）めよ。

3. Sử dụng phương pháp đổi biến t = 3x + 1, tính nguyên hàm I = \(\int\) (3x + 1)^2 dx.置換（ちかん） t = 3x + 1 を用（もち）いて、不定（ふてい）積分（せきぶん） I = \(\int\) (3x + 1)^2 dx を求（もと）めよ。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.20.1 · MATH.20.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.20.1 · MATH.20.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu và áp dụng thành thạo các công thức tích phân cơ bản cho hàm lũy thừa, hàm mũ và hàm lượng giác.冪（べき）関数（かんすう）、指数（しすう）関数（かんすう）、三角（さんかく）関数（かんすう）の基本（きほん）積分（せきぶん）公式（こうしき）を理解（りかい）し、適用（てきよう）できるようになる。
  2. Vận dụng phương pháp tích phân đổi biến để đưa nguyên hàm phức tạp về dạng cơ bản.置換（ちかん）積分（せきぶん）法（ほう）を用（もち）いて、複雑（ふくざつ）な被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）を基本（きほん）的（てき）な形（かたち）に変形（へんけい）できるようになる。
  3. Tránh các lỗi sai phổ biến về dấu và hằng số tích phân C khi tính toán.計算（けいさん）時（じ）における符号（ふごう）の誤（あやま）りや積分（せきぶん）定数（ていすう） C の忘（わす）れを防（ふせ）ぐ。
Trực giác · イメージ

Tích phân là phép tính ngược của đạo hàm積分（せきぶん）は微分（びぶん）を元（もと）に戻（もど）す逆（ぎゃく）演算（えんざん）

Việc tìm nguyên hàm giống như tìm hàm số ban đầu khi biết tốc độ thay đổi của nó. Khi gặp biểu thức phức tạp, việc đổi biến giúp đơn giản hóa hàm số về các dạng công thức chuẩn.

不定（ふてい）積分（せきぶん）を求（もと）めることは、変化（へんか）率（りつ）から元（もと）の関数（かんすう）を復元（ふくげん）する操作（そうさ）です。複雑（ふくざつ）な式（しき）に出会（であ）ったとき、変数（へんすう）変換（へんかん）によって基本（きほん）公式（こうしき）の形（かたち）へと単純（たんじゅん）化（か）できます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 積分（せきぶん）の基本（きほん）公式（こうしき）Công thức tích phân cơ bản

    Đây là danh sách các quy tắc tính nguyên hàm trực tiếp cho các hàm số cơ bản như hàm lũy thừa, hàm mũ và hàm lượng giác. Việc ghi nhớ các công thức này giúp giải nhanh các bài toán tích phân.

    冪（べき）関数（かんすう）や指数（しすう）関数（かんすう）、三角（さんかく）関数（かんすう）などの基本（きほん）関数（かんすう）の不定（ふてい）積分（せきぶん）を直接（ちょくせつ）求（もと）める規則（きそく）のことです。公式（こうしき）を正確（せいかく）に覚（おぼ）えることで、迅速（じんそく）な計算（けいさん）が可能（かのう）になります。

  • 置換（ちかん）積分（せきぶん）法（ほう）Phương pháp tích phân đổi biến

    Phương pháp này thay biến số x bằng một biến mới t để đơn giản hóa biểu thức dưới dấu tích phân. Sau khi tính tích phân theo t, ta thay lại biến x ban đầu.

    変数（へんすう） x を新（あたら）しい変数（へんすう） t に置き換（おきか）えることで、被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）を単純（たんじゅん）化（か）する手法（しゅほう）です。t で積分（せきぶん）した後（あと）に元（もと）の変数（へんすう） x に戻（もど）します。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）の形（かたち）を識別（しきべつ）する

    Bước 1: Nhận diện dạng hàm số

    Xem xét hàm số dưới dấu tích phân thuộc dạng lũy thừa, hàm mũ, hay hàm lượng giác cơ bản. Nếu hàm số có dạng phức tạp, hãy tìm mối liên hệ để đổi biến.

    被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）が冪（べき）関数（かんすう）、指数（しすう）関数（かんすう）、三角（さんかく）関数（かんすう）のいずれであるかを確認（かくにん）します。複雑（ふくざつ）な場合（ばあい）は変数（へんすう）変換（へんかん）の導線（どうせん）を探（さが）します。

  2. 02
    ステップ2：新（あたら）しい変数（へんすう） t を設定（せってい）する

    Bước 2: Chọn biến số mới t

    Đặt t bằng biểu thức bên trong hàm hợp sao cho đạo hàm dt/dx xuất hiện trong tích phân. Tính vi phân dt tương ứng.

    合成（ごうせい）関数（かんすう）の内側（うちがわ）の式（しき）を t と置（お）き、その微分（びぶん）が被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）内（ない）に現（あらわ）れるようにします。対応（たいおう）する微分（びぶん） dt を計算（けいさん）します。

  3. 03
    ステップ3：変数（へんすう） t について積分（せきぶん）を行（おこな）う

    Bước 3: Thực hiện tính tích phân theo biến t

    Chuyển toàn bộ biểu thức tích phân sang biến t và áp dụng công thức tích phân cơ bản. Đừng quên cộng thêm hằng số C.

    積分（せきぶん）全体（ぜんたい）を t の式（しき）に書き換（かきか）え、基本（きほん）公式（こうしき）を適用（てきよう）します。積分（せきぶん）定数（ていすう） C を忘（わす）れずに加（くわ）えます。

  4. 04
    ステップ4：元（もと）の変数（へんすう） x に戻（もど）す

    Bước 4: Trả về biến số x ban đầu

    Thay t bằng biểu thức ban đầu của x để có kết quả cuối cùng. Kiểm tra lại kết quả bằng cách lấy đạo hàm.

    t を元（もと）の x の式（しき）に置き換（おきか）えて最終（さいしゅう）結果（けっか）を得（え）ます。必要（ひつよう）に応（おう）じて微分（びぶん）して確認（かくにん）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên dấu trừ khi lấy tích phân của hàm sin x, dẫn đến kết quả \(\int\) \(\sin\) x dx = \(\cos\) x + C.sin x の積分（せきぶん）でマイナス符号（ふごう）を忘（わす）れて、\(\int\) \(\sin\) x dx = \(\cos\) x + C と誤（あやま）ってしまう。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn nhớ đạo hàm của \(\cos x\) là -\(\sin x\), do đó tích phân của \(\sin x\) phải mang dấu trừ là -\(\cos x + C\).\(\cos x\) の微分（びぶん）が -\(\sin x\) であることを思い出（おもいだ）し、\(\sin x\) の積分（せきぶん）は必（かなら）ず -\(\cos x + C\) になるよう確認（かくにん）します。

Áp dụng công thức \(\int\) x^\(\alpha\) dx cho trường hợp \(\alpha\) = -1 dẫn đến mẫu số bằng 0.alpha = -1 の場合（ばあい）に \(\int\) x^\(\alpha\) dx の公式（こうしき）を適用（てきよう）し、分母（ぶんぼ）が 0 になってしまう。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Khi \(\alpha\) = -1, biểu thức là \(\int\) \(\frac{1}{x}\) dx và công thức đúng bắt buộc phải dùng là \(\log\)|x| + C.alpha = -1 のときは \(\int\) \(\frac{1}{x}\) dx となり、正（ただ）しい公式（こうしき）である \(\log\)|x| + C を使用（しよう）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Nắm vững các công thức tích phân cơ bản cho hàm lũy thừa, hàm 1/x, hàm mũ \(e^{x}\) và hàm \(\sin x\).冪（べき）関数（かんすう）、1/x、指数（しすう）関数（かんすう） \(e^{x}\)、および \(\sin x\) の基本（きほん）積分（せきぶん）公式（こうしき）を確実（かくじつ）に覚（おぼ）える。
  • Khi biến số có dạng hợp, ưu tiên dùng phương pháp đổi biến t = g(x) để đơn giản hóa.変数（へんすう）成分（せいぶん）が合成（ごうせい）関数（かんすう）になっている場合（ばあい）は、t = g(x) の置換（ちかん）積分（せきぶん）法（ほう）を優先（ゆうせん）して単純（たんじゅん）化（か）する。
  • Luôn kiểm tra kỹ dấu âm của tích phân hàm lượng giác và không quên cộng hằng số C.三角（さんかく）関数（かんすう）の積分（せきぶん）の符号（ふごう）に注意（ちゅうい）し、積分（せきぶん）定数（ていすう） C を忘（わす）れずに加算（かさん）する。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\int x^\alpha dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C

Công thức tính tích phân của hàm lũy thừa với \(\alpha\) khác -1. Số mũ tăng thêm 1 và chia cho số mũ mới.

\(\alpha\) が -1 でない冪（べき）関数（かんすう）の積分（せきぶん）公式（こうしき）です。指数（しすう）に1を加（くわ）えて新（あたら）しい指数（しすう）で割（わ）ります。

\int \frac{1}{x} dx = \log|x|+C

Công thức tích phân của 1/x khi \(\alpha\) bằng -1, kết quả là hàm logarit tự nhiên của giá trị tuyệt đối x.

\(\alpha\) が -1 の場合（ばあい）の 1/x の積分（せきぶん）公式（こうしき）で、絶対（ぜったい）値（ち） x の自然（しぜん）対数（たいすう）となります。

\int e^x dx = e^x+C

Tích phân của hàm mũ cơ số e giữ nguyên chính nó cộng với hằng số C.

底（そこ）が e の指数（しすう）関数（かんすう）の積分（せきぶん）は、自分（じぶん）自身（じしん）に積分（せきぶん）定数（ていすう） C を加（くわ）えた形（かたち）になります。

\int \sin x dx = -\cos x+C

Tích phân của hàm \(\sin x\) là -\(\cos x\) cộng với hằng số C. Hãy chú ý dấu trừ phía trước \(\cos x\).

\(\sin x\) の積分（せきぶん）は -\(\cos x + C\) となります。\(\cos x\) の前（まえ）のマイナス符号（ふごう）に注意（ちゅうい）してください。

EJU 2026 · MATH.20.1 · MATH.20.2

Bài học này giúp bạn nắm vững các công thức tích phân cơ bản và phương pháp tích phân đổi biến. Nhờ đó, bạn có thể tính nguyên hàm của các hàm số lượng giác, mũ và lũy thừa một cách chính xác.

本課（ほんか）では、積分（せきぶん）の基本（きほん）公式（こうしき）と置換（ちかん）積分（せきぶん）法（ほう）を習得（しゅうとく）します。これにより、冪（べき）関数（かんすう）、指数（しすう）関数（かんすう）、三角（さんかく）関数（かんすう）の不定（ふてい）積分（せきぶん）を正確（せいかく）に計算（けいさん）できるようになります。

積分（せきぶん）法（ほう）とその応用（おうよう） 第（だい）1部（ぶ）
積分の基本公式置換積分法