Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Vận tốc và gia tốc Phần 2速度（そくど）・加速（かそく）度（ど） 第（だい）2部（ぶ）

Công thức公式

|\vec{\alpha}| = \sqrt{\left(\frac{d^2x}{dt^2}\right)^2 + \left(\frac{d^2y}{dt^2}\right)^2}
\tan\theta = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{dy}{dx}
\frac{dQ}{dt}
V = \frac{1}{3}\pi r^2 h

Ví dụ例題

Một chất điểm chuyển động trên mặt phẳng với phương trình tọa độ x = 3t^2 và y = 4t^2 (với t > 0). Hãy tính độ lớn của vectơ gia tốc |\(\vec{\alpha}\)| của chất điểm.

平面（へいめん）上（じょう）を運動（うんどう）する質点（しつてん）の座標（ざひょう）が x = 3t^2, y = 4t^2 (t > 0) で与（あた）えられています。この質点（しつてん）の加速（かそく）度（ど）の大（おお）きさ |\(\vec{\alpha}\)| を求（もと）めなさい。

  1. Tính đạo hàm cấp hai theo t: \(d^{2} x / dt^{2} = d / dt (6 t) = 6\) và \(d^{2} y / dt^{2} = d / dt (8 t) = 8\).t に関（かん）する2階（かい）導（どう）関数（かんすう）を計算（けいさん）します：\(d^{2} x / dt^{2} = d / dt (6 t) = 6\), \(d^{2} y / dt^{2} = d / dt (8 t) = 8\)。
  2. Áp dụng công thức độ lớn gia tốc |\(\vec{\alpha}\)| = \(\sqrt{6^2 + 8^2}\) = \(\sqrt{36 + 64}\) = \(\sqrt{100}\) = 10.加速（かそく）度（ど）の大（おお）きさを求（もと）める公式（こうしき）を適用（てきよう）します：|\(\vec{\alpha}\)| = \(\sqrt{6^2 + 8^2}\) = \(\sqrt{36 + 64}\) = \(\sqrt{100}\) = 10。
Vậy độ lớn gia tốc của chất điểm là 10 (không đổi theo thời gian t).したがって、質点（しつてん）の加速（かそく）度（ど）の大（おお）きさは 10（時間（じかん） t によらず一定（いってい））となります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Một điểm chuyển động có x = t^2 và y = \(\frac{1}{2}\)t^2. Gia tốc của chất điểm có độ lớn |\(\vec{\alpha}\)| bằng:位置（いち）が x = t^2, y = \(\frac{1}{2}\)t^2 で与（あた）えられる運動（うんどう）において、加速（かそく）度（ど）の大（おお）きさ |\(\vec{\alpha}\)| はいくらですか。

2. Một điểm chuyển động trên mặt phẳng có dy/dt = 6 và dx/dt = 2. Giá trị \(\tan \theta\) (hệ số góc dy/dx) bằng:平面（へいめん）上（じょう）を運動（うんどう）する点（てん）において dy/dt = 6, dx/dt = 2 です。\(\tan \theta\) (接線（せっせん）の傾（かたむ）き dy/dx) の値（あたい）はいくらですか。

3. Khối nón có bán kính đáy r = 3 và chiều cao h = 4. Thể tích V của khối nón được tính bằng công thức V = \(\frac{1}{3}\)\(\pi\) r^2 h có giá trị là:底面（ていめん）の半径（はんけい） r = 3、高（たか）さ h = 4 の円錐（えんすい）があります。公式（こうしき） V = \(\frac{1}{3}\)\(\pi\) r^2 h で計算（けいさん）される体積（たいせき） V はいくらですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.19.2 · MATH.20.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 3 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.19.2 · MATH.20.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）3区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Tính độ lớn của vectơ gia tốc từ các đạo hàm cấp hai của x(t) và y(t).x(t) と y(t) の2階（かい）導（どう）関数（かんすう）から加速（かそく）度（ど）ベクトルの大（おお）きさを計算（けいさん）する。
  2. Hiểu cách liên hệ độ dốc dy/dx với tỉ số các vận tốc thành phần qua \(\tan \theta\).\(\tan \theta\) を通（つう）じて、傾（かたむ）き dy/dx と成分（せいぶん）速度（そくど）の比（ひ）の関係（かんけい）を理解（りかい）する。
  3. Xác định tốc độ thay đổi dQ/dt của các đại lượng vật lý và hình học như thể tích khối nón V.円錐（えんすい）の体積（たいせき） V などの物理（ぶつり）量（りょう）や幾何（きか）学（がく）的（てき）な量（りょう）の時間（じかん）変化（へんか）率（りつ） dQ/dt を求（もと）める。
Trực giác · イメージ

Độ lớn vectơ và tốc độ thay đổi theo thời gianベクトルの大（おお）きさと時間（じかん）に対（たい）する変化（へんか）率（りつ）

Độ lớn gia tốc biểu thị cường độ thay đổi của vận tốc trong không gian hai chiều, được tính qua định lý Pythagore với hai tọa độ. Đồng thời, đạo hàm dQ/dt đo lường sự thay đổi tức thời của bất kỳ đại lượng Q nào theo thời gian.

加速（かそく）度（ど）の大（おお）きさは2次元（じげん）空間（くうかん）での速度（そくど）の物理（ぶつり）的（てき）な変化（へんか）の強（つよ）さを表（あらわ）し、2つの座標（ざひょう）のピタゴラスの定理（ていり）によって求（もと）められます。同時（どうじ）に、導（どう）関数（かんすう） dQ/dt は任意（にんい）の量（りょう） Q の時間（じかん）に対（たい）する瞬間（しゅんかん）的（てき）な変化（へんか）を測定（そくてい）します。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 加速（かそく）度（ど）ベクトルvectơ gia tốc

    Vectơ được cấu thành từ hai đạo hàm cấp hai \(d^{2} x / dt^{2}\) và \(d^{2} y / dt^{2}\) trên mặt phẳng.

    平面（へいめん）において2つの2階（かい）導（どう）関数（かんすう） \(d^{2} x / dt^{2}\) と \(d^{2} y / dt^{2}\) から構成（こうせい）されるベクトルです。

  • 速度（そくど）の大（おお）きさđộ lớn vận tốc

    Độ dài của vectơ vận tốc, đại diện cho tốc độ chuyển động thực tế của chất điểm.

    速度（そくど）ベクトルの長（なが）さであり、質点（しつてん）の実際（じっさい）の運動（うんどう）の速（はや）さを表（あらわ）します。

  • 加速（かそく）度（ど）の大（おお）きさđộ lớn gia tốc

    Độ dài của vectơ gia tốc, được tính bằng căn bậc hai tổng bình phương các đạo hàm cấp hai.

    加速（かそく）度（ど）ベクトルの長（なが）さであり、2階（かい）導（どう）関数（かんすう）の平方（へいほう）和（わ）の平方（へいほう）根（ね）として計算（けいさん）されます。

  • 変化（へんか）率（りつ）tốc độ thay đổi

    Mức độ thay đổi tức thời của một đại lượng Q theo thời gian t, biểu diễn bằng đạo hàm dQ/dt.

    時間（じかん） t に対（たい）する量（りょう） Q の瞬間（しゅんかん）的（てき）な変化（へんか）の割合（わりあい）であり、導（どう）関数（かんすう） dQ/dt で表（あらわ）されます。

  • 等（とう）加速（かそく）度（ど）運動（うんどう）chuyển động biến đổi đều

    Chuyển động trong đó gia tốc có độ lớn và hướng không đổi theo thời gian.

    加速（かそく）度（ど）の大（おお）きさと向（む）きが時間（じかん）に対（たい）して一定（いってい）である運動（うんどう）のことです。

  • 2曲線（きょくせん）間（かん）の面積（めんせき）Diện tích giữa hai đường cong

    Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số trên một khoảng xác định.

    特定（とくてい）の間隔（かんかく）において2つの関数（かんすう）グラフによって囲（かこ）まれた平面（へいめん）部分（ぶぶん）の面積（めんせき）のことです。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1: 2階（かい）導（どう）関数（かんすう） \(d^{2} x / dt^{2}\) および \(d^{2} y / dt^{2}\) を計算（けいさん）する

    Bước 1: Tính các đạo hàm cấp hai \(d^{2} x / dt^{2}\) và \(d^{2} y / dt^{2}\)

    Lấy đạo hàm hai lần các phương trình chuyển động x(t) và y(t) theo thời gian t.

    運動（うんどう）方程（ほうてい）式（しき） x(t) と y(t) を時間（じかん） t でそれぞれ2回（かい）微分（びぶん）します。

  2. 02
    ステップ2: 加速（かそく）度（ど）の大（おお）きさを求（もと）める公式（こうしき）を適用（てきよう）する

    Bước 2: Áp dụng công thức tính độ lớn gia tốc

    Tính |\(\vec{\alpha}\)| bằng căn bậc hai của tổng bình phương (d^2x/dt^2)^2 + (d^2y/dt^2)^2.

    (d^2x/dt^2)^2 + (d^2y/dt^2)^2 の平方（へいほう）根（ね）をとって |\(\vec{\alpha}\)| を計算（けいさん）します。

  3. 03
    ステップ3: dy/dx と t に関（かん）する微分（びぶん）の関係（かんけい）式（しき）を立（た）てる

    Bước 3: Lập mối liên hệ giữa dy/dx và các đạo hàm theo t

    Sử dụng góc nghiêng \(\tan \theta = (dy / dt) / (dx / dt) = dy / dx\) để liên hệ vận tốc các hướng.

    傾斜（けいしゃ）角（かく） \(\tan \theta = (dy / dt) / (dx / dt) = dy / dx\) を用（もち）いて、各（かく）方向（ほうこう）の速度（そくど）を関連（かんれん）付（つ）けます。

  4. 04
    ステップ4: 幾何（きか）学（がく）的（てき）な量（りょう）の変化（へんか）率（りつ） dQ/dt を計算（けいさん）する

    Bước 4: Tính tốc độ thay đổi dQ/dt của đại lượng hình học

    Viết công thức mối quan hệ như thể tích khối nón \(V = (1 / 3) \pi\) \(r^{2}\) h rồi lấy đạo hàm theo t.

    円錐（えんすい）の体積（たいせき） \(V = (1 / 3) \pi\) \(r^{2}\) h などの関係（かんけい）式（しき）を立（た）て、時間（じかん） t で微分（びぶん）して変化（へんか）率（りつ）を求（もと）めます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Cộng trực tiếp các đạo hàm cấp hai để tìm độ lớn gia tốc.加速（かそく）度（ど）の大（おお）きさを求（もと）める際（さい）に、2階（かい）導（どう）関数（かんすう）を直接（ちょくせつ）加算（かさん）してしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Độ lớn của gia tốc là độ dài vectơ, phải dùng căn bậc hai của tổng các bình phương.加速（かそく）度（ど）の大（おお）きさはベクトルの長（なが）さであるため、平方（へいほう）和（わ）の平方（へいほう）根（ね）を適用（てきよう）する必要（ひつよう）があります。

Quên lấy đạo hàm theo bán kính r hoặc chiều cao h khi tìm tốc độ thay đổi thể tích dV/dt.体積（たいせき）の変化（へんか）率（りつ） dV/dt を求（もと）める際（さい）に、半径（はんけい） r や高（たか）さ h の時間（じかん）変化（へんか）の微分（びぶん）を忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Khi r hoặc h biến thiên theo thời gian t trong \(V = (1 / 3) \pi\) \(r^{2}\) h, cần dùng quy tắc đạo hàm hợp để tính dV/dt.\(V = (1 / 3) \pi\) \(r^{2}\) h において r や h が時間（じかん）とともに変化（へんか）する場合（ばあい）、合成（ごうせい）関数（かんすう）の微分（びぶん）法則（ほうそく）を適用（てきよう）する必要（ひつよう）があります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Độ lớn gia tốc trong mặt phẳng được xác định bởi công thức |\(\vec{\alpha}\)| = \(\sqrt{(d^2x/dt^2)^2 + (d^2y/dt^2)^2}\).平面（へいめん）上（じょう）の加速（かそく）度（ど）の大（おお）きさは |\(\vec{\alpha}\)| = \(\sqrt{(d^2x/dt^2)^2 + (d^2y/dt^2)^2}\) の公式（こうしき）で定（さだ）まります。
  • Độ dốc tiếp tuyến dy/dx liên hệ với đạo hàm theo thời gian t qua \(\tan \theta = (dy / dt) / (dx / dt)\).接線（せっせん）の傾（かたむ）き dy/dx は \(\tan \theta = (dy / dt) / (dx / dt)\) を通（つう）じて時間（じかん） t に関（かん）する微分（びぶん）に関連（かんれん）付（つ）けられます。
  • Tốc độ thay đổi của một đại lượng Q theo thời gian t được tính bằng dQ/dt, ví dụ dV/dt đối với thể tích V.時間（じかん） t に対（たい）する量（りょう） Q の変化（へんか）率（りつ）は dQ/dt で計算（けいさん）され、体積（たいせき） V の場合（ばあい）は dV/dt となります。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

|\vec{\alpha}| = \sqrt{\left(\frac{d^2x}{dt^2}\right)^2 + \left(\frac{d^2y}{dt^2}\right)^2}

Công thức tính độ lớn của vectơ gia tốc trong mặt phẳng.

平面（へいめん）における加速（かそく）度（ど）ベクトルの大（おお）きさを計算（けいさん）する公式（こうしき）です。

\tan\theta = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{dy}{dx}

Mối liên hệ giữa góc hướng của vectơ vận tốc và hệ số góc tiếp tuyến.

速度（そくど）ベクトルの方向（ほうこう）角（かく）と接線（せっせん）の傾（かたむ）きとの関係（かんけい）式（しき）です。

\frac{dQ}{dt}

Biểu thức đại diện cho tốc độ thay đổi của đại lượng Q theo thời gian t.

時間（じかん） t に対（たい）する量（りょう） Q の変化（へんか）率（りつ）を表（あらわ）す式（しき）です。

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h

Công thức tính thể tích khối nón tròn xoay với bán kính đáy r và chiều cao h.

底面（ていめん）の半径（はんけい） r と高（たか）さ h を持（も）つ円錐（えんすい）の体積（たいせき）を計算（けいさん）する公式（こうしき）です。

EJU 2026 · MATH.19.2 · MATH.20.2

Bài học này mở rộng khái niệm độ lớn gia tốc trong mặt phẳng và tốc độ thay đổi của các đại lượng hình học theo thời gian. Bạn sẽ áp dụng đạo hàm để giải quyết các dạng toán ứng dụng thực tế trọng tâm trong EJU.

本課（ほんか）では、平面（へいめん）上（じょう）の加速（かそく）度（ど）の大（おお）きさや、幾何（きか）学（がく）的（てき）な量（りょう）の時間（じかん）変化（へんか）率（りつ）へと概念（がいねん）を拡張（かくちょう）します。EJUで極（きわ）めて重要（じゅうよう）な応用（おうよう）問題（もんだい）を解決（かいけつ）するために微分（びぶん）を適用（てきよう）します。

速度（そくど）・加速（かそく）度（ど） 第（だい）2部（ぶ）
加速度ベクトル速度の大きさ加速度の大きさ変化率