Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Phép tính tích phân và ứng dụng Phần 2積分（せきぶん）法（ほう）とその応用（おうよう） 第（だい）2部（ぶ）

Công thức公式

\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x+C
\int a^x dx = \frac{a^x}{\log a}+C
\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\frac{1}{\tan x}+C
\int f(x) dx = \int f(g(t))g'(t) dt

Ví dụ例題

Tính nguyên hàm I = \(\int\) \(\left( \frac{1}{\cos^2 x} + 2^x \right)\) dx.

不定（ふてい）積分（せきぶん） I = \(\int\) \(\left( \frac{1}{\cos^2 x} + 2^x \right)\) dx を求（もと）めよ。

  1. Tách tích phân thành tổng hai tích phân thành phần: I = \(\int\) \(\frac{1}{\cos^2 x}\) dx + \(\int\) 2^x dx.積分（せきぶん）を2つの項（こう）の和（わ）に分解（ぶんかい）します：I = \(\int\) \(\frac{1}{\cos^2 x}\) dx + \(\int\) 2^x dx。
  2. Áp dụng công thức tích phân lượng giác: \(\int\) \(\frac{1}{\cos^2 x}\) dx = \(\tan\) x + C_1.三角（さんかく）関数（かんすう）の積分（せきぶん）公式（こうしき）を適用（てきよう）します：\(\int\) \(\frac{1}{\cos^2 x}\) dx = \(\tan\) x + C_1。
  3. Áp dụng công thức tích phân hàm mũ với a = 2: \(\int\) 2^x dx = \(\frac{2^x}{\log 2}\) + C_2.a = 2 の指数（しすう）関数（かんすう）の積分（せきぶん）公式（こうしき）を適用（てきよう）します：\(\int\) 2^x dx = \(\frac{2^x}{\log 2}\) + C_2。
  4. Gộp các kết quả lại ta thu được I = \(\tan\) x + \(\frac{2^x}{\log 2}\) + C.結果（けっか）をまとめると I = \(\tan\) x + \(\frac{2^x}{\log 2}\) + C を得（え）ます。
Vậy kết quả của nguyên hàm là I = \(\tan\) x + \(\frac{2^x}{\log 2}\) + C.したがって、求（もと）める不定（ふてい）積分（せきぶん）は I = \(\tan\) x + \(\frac{2^x}{\log 2}\) + C である。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tính nguyên hàm I = \(\int\) 5^x dx.不定（ふてい）積分（せきぶん） I = \(\int\) 5^x dx を求（もと）めよ。

2. Tính nguyên hàm I = \(\int\) \(\frac{4}{\cos^2 x}\) dx.不定（ふてい）積分（せきぶん） I = \(\int\) \(\frac{4}{\cos^2 x}\) dx を求（もと）めよ。

3. Cho biến đổi x = g(t) với g(t) = t^2. Biểu thức \(\int\) f(x) dx chuyển thành dạng tích phân theo t nào sau đây?置換（ちかん） x = g(t) （ただし g(t) = t^2）を行（おこな）うとき、\(\int\) f(x) dx はどの t の積分（せきぶん）式（しき）に変換（へんかん）されるか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.20.1 · MATH.20.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.20.1 · MATH.20.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Vận dụng phương pháp tích phân từng phần để tính nguyên hàm của tích các hàm số.部分（ぶぶん）積分（せきぶん）法（ほう）を適用（てきよう）して、関数（かんすう）の積（せき）の不定（ふてい）積分（せきぶん）を計算（けいさん）できるようになる。
  2. Sử dụng các công thức tích phân nâng cao của hàm 1/cos^2(x), 1/sin^2(x) và a^x.1/cos^2(x) や 1/sin^2(x)、a^x などの応用（おうよう）積分（せきぶん）公式（こうしき）を活用（かつよう）できる。
  3. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, thể tích và thể tích khối tròn xoay.積分（せきぶん）を利用（りよう）して平面（へいめん）図形（ずけい）の面積（めんせき）や回転（かいてん）体（たい）の体積（たいせき）を正確（せいかく）に求（もと）める。
Trực giác · イメージ

Phép nhân đạo hàm và hình học hóa tích phân積（せき）の微分（びぶん）法（ほう）と積分（せきぶん）の図形（ずけい）化（か）

Tích phân từng phần bắt nguồn từ đạo hàm của một tích hai hàm số. Bên cạnh tính toán đại số, tích phân giúp đo đạc các đại lượng hình học như diện tích mặt phẳng và thể tích khối tròn xoay.

部分（ぶぶん）積分（せきぶん）法（ほう）は2つの関数（かんすう）の積（せき）の微分（びぶん）法（ほう）から導（みちび）かれます。代数（だいすう）計算（けいさん）に加（くわ）え、積分（せきぶん）は平面（へいめん）面積（めんせき）や回転（かいてん）体（たい）の体積（たいせき）といった図形（ずけい）的（てき）大量（たいりょう）を測定（そくてい）する強力（きょうりょく）な道具（どうぐ）です。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 部分（ぶぶん）積分（せきぶん）法（ほう）Phương pháp tích phân từng phần

    Phương pháp biến đổi tích phân dựa trên công thức đạo hàm của tích hai hàm số. Nó giúp tách một tích phân phức tạp thành các thành phần dễ tính toán hơn.

    積（せき）の微分（びぶん）公式（こうしき）に基（もと）づく積分（せきぶん）変形（へんけい）の手法（しゅほう）です。複雑（ふくざつ）な積（せき）の積分（せきぶん）をより計算（けいさん）しやすい成分（せいぶん）に分解（ぶんかい）します。

  • 面積（めんせき）Diện tích

    Đại lượng đo chiều rộng của miền phẳng giới hạn bởi các đường cong. Đại lượng này được tính bằng tích phân xác định của hàm số.

    曲線（きょくせん）によって囲（かこ）まれた平面（へいめん）領域（りょういき）の広（ひろ）さを表（あらわ）す量（りょう）です。関数（かんすう）の定（てい）積分（せきぶん）を用（もち）いて計算（けいさん）されます。

  • 体積（たいせき）Thể tích

    Đại lượng không gian ba chiều của một hình khối. Nó có thể tính bằng cách lấy tích phân diện tích mặt cắt ngang.

    立体（りったい）の占（し）める3次元（じげん）的（てき）な空間（くうかん）の大（おお）きさを表（あらわ）します。断（だん）面積（めんせき）を積分（せきぶん）することによって求（もと）められます。

  • 回転（かいてん）体（たい）Khối tròn xoay

    Hình khối thu được khi quay một miền phẳng xung quanh một trục cố định. Thể tích của nó được tính qua tích phân diện tích hình tròn.

    平面（へいめん）図形（ずけい）を定（てい）直線（ちょくせん）（回転（かいてん）軸（じく））のまわりに1回転（かいてん）させてできる立体（りったい）です。円（えん）の断（だん）面積（めんせき）の積分（せきぶん）で体積（たいせき）を求（もと）めます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：部分（ぶぶん）積分（せきぶん）のための u(x) と v'(x) を選定（せんてい）する

    Bước 1: Lựa chọn u(x) và v'(x) cho tích phân từng phần

    Phân tích hàm số dưới dấu tích phân thành tích u(x)v'(x). Chọn u(x) sao cho u'(x) đơn giản hơn và v(x) dễ tìm nguyên hàm.

    被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）を u(x)v'(x) の積（せき）に分解（ぶんかい）します。u'(x) がより単純（たんじゅん）になり v(x) が容易（ようい）に求（もと）まるよう選択（せんたく）します。

  2. 02
    ステップ2：置換（ちかん）公式（こうしき）や基本（きほん）公式（こうしき）を適用（てきよう）する

    Bước 2: Áp dụng công thức đổi biến hoặc công thức cơ bản

    Sử dụng công thức đổi biến \(\int\) f(x) dx = \(\int\) f(g(t))g'(t) dt khi cần thiết. Có thể áp dụng trực tiếp các công thức của 1/cos^2(x), 1/sin^2(x) hoặc a^x.

    必要（ひつよう）に応（おう）じて置換（ちかん）公式（こうしき） \(\int\) f(x) dx = \(\int\) f(g(t))g'(t) dt を適用（てきよう）します。1/cos^2(x)、1/sin^2(x)、a^x の公式（こうしき）も直接（ちょくせつ）活用（かつよう）します。

  3. 03
    ステップ3：面積（めんせき）や体積（たいせき）の積分（せきぶん）式（しき）を立（りっ）式（しき）する

    Bước 3: Thiết lập tích phân diện tích hoặc thể tích

    Đối với bài toán hình học, xác định cận tích phân và biểu thức hàm số. Từ đó lập công thức tính diện tích hoặc thể tích khối tròn xoay.

    図形（ずけい）問題（もんだい）では、積分（せきぶん）区間（くかん）と関数（かんすう）式（しき）を特定（とくてい）します。それにより面積（めんせき）や回転（かいてん）体（たい）の体積（たいせき）を求（もと）める積分（せきぶん）式（しき）を立（りっ）式（しき）します。

  4. 04
    ステップ4：値（あたい）を計算（けいさん）して結論（けつろん）を導（みちび）く

    Bước 4: Tính toán giá trị và kết luận

    Thực hiện phép tính nguyên hàm theo công thức tương ứng. Thay cận nếu có tích phân xác định để thu được kết quả cuối cùng.

    対応（たいおう）する公式（こうしき）に従（したが）って不定（ふてい）積分（せきぶん）の計算（けいさん）を行（おこな）います。定（てい）積分（せきぶん）の場合（ばあい）は区間（くかん）の端点（たんてん）を代入（だいにゅう）して最終（さいしゅう）結果（けっか）を得（え）ます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn tích phân của a^x với x^a, áp dụng sai thành \(\int\) a^x dx = \(\frac{a^{x+1}}{x+1}\) + C.a^x の積分（せきぶん）を x^a と混同（こんどう）し、\(\int\) a^x dx = \(\frac{a^{x+1}}{x+1}\) + C と誤（ご）適用（てきよう）してしまう。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Khi biến số nằm ở số mũ thì đó là hàm mũ a^x, công thức đúng bắt buộc là \(\frac{a^x}{\log a}\) + C.変数（へんすう）が指数（しすう）にある場合（ばあい）は指数（しすう）関数（かんすう） a^x であり、正（ただ）しい公式（こうしき）は必（かなら）ず \(\frac{a^x}{\log a}\) + C となります。

Quên dấu trừ khi tính tích phân của 1/sin^2(x), viết nhầm thành \(\int\) \(\frac{1}{\sin^2 x}\) dx = \(\frac{1}{\tan x}\) + C.1/sin^2(x) の積分（せきぶん）でマイナス符号（ふごう）を忘（わす）れ、\(\int\) \(\frac{1}{\sin^2 x}\) dx = \(\frac{1}{\tan x}\) + C と誤記（ごき）する。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Công thức chính xác cho 1/sin^2(x) luôn phải chứa dấu âm phía trước: -\(\frac{1}{\tan x}\) + C.1/sin^2(x) の正確（せいかく）な公式（こうしき）には常（つね）に前（まえ）にマイナス符号（ふごう）が付（つ）き、-\(\frac{1}{\tan x}\) + C となります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Nắm chắc công thức nguyên hàm từng phần và đổi biến tổng quát \(\int\) f(x) dx = \(\int\) f(g(t)) g'(t) dt.部分（ぶぶん）積分（せきぶん）法（ほう）および一般（いっぱん）置換（ちかん）公式（こうしき） \(\int\) f(x) dx = \(\int\) f(g(t)) g'(t) dt を確実（かくじつ）に理解（りかい）する。
  • Nhớ chính xác các công thức tích phân nâng cao cho 1/cos^2(x), 1/sin^2(x) và a^x.1/cos^2(x)、1/sin^2(x)、および a^x の発展（はってん）積分（せきぶん）公式（こうしき）を正確（せいかく）に暗記（あんき）する。
  • Ứng dụng tích phân để giải quyết các bài toán hình học tính diện tích, thể tích và khối tròn xoay.面積（めんせき）、体積（たいせき）、および回転（かいてん）体（たい）の計算（けいさん）問題（もんだい）に積分（せきぶん）を効果（こうか）的（てき）に応用（おうよう）する。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x+C

Tích phân của 1/cos^2(x) bằng tan x cộng với hằng số C. Điều này do đạo hàm của tan x chính là 1/cos^2(x).

1/cos^2(x) の積分（せきぶん）は tan x + C となります。tan x の微分（びぶん）が 1/cos^2(x) であることに由来（ゆらい）します。

\int a^x dx = \frac{a^x}{\log a}+C

Tích phân của hàm mũ cơ số a (với a > 0, a khác 1) bằng \(a^{x}\) chia cho logarit tự nhiên của a cộng C.

底（そこ） a (a > 0, a != 1) の指数（しすう）関数（かんすう）の積分（せきぶん）は \(a^{x} / \log a + C\) となります。

\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\frac{1}{\tan x}+C

Tích phân của 1/sin^2(x) bằng -1/tan x cộng với hằng số C. Biểu thức này tương đương với -cot x + C.

1/sin^2(x) の積分（せきぶん）は -1/tan x + C となります。これは -cot x + C に相当（そうとう）します。

\int f(x) dx = \int f(g(t))g'(t) dt

Công thức tổng quát của tích phân đổi biến với x = g(t). Công thức này chuyển đổi vi phân dx thành g'(t) dt.

x = g(t) とおく置換（ちかん）積分（せきぶん）法（ほう）の一般（いっぱん）公式（こうしき）です。この公式（こうしき）により微分（びぶん） dx が g'(t) dt に変換（へんかん）されます。

EJU 2026 · MATH.20.1 · MATH.20.2

Bài học này trình bày phương pháp tích phân từng phần và ứng dụng tính diện tích, thể tích khối tròn xoay. Bạn cũng được học các công thức tích phân của hàm lượng giác đặc biệt và hàm mũ cơ số a.

本課（ほんか）では、部分（ぶぶん）積分（せきぶん）法（ほう）と面積（めんせき）・回転（かいてん）体（たい）の体積（たいせき）計算（けいさん）への応用（おうよう）を学（まな）びます。また、特別（とくべつ）な三角（さんかく）関数（かんすう）や底（そこ） a の指数（しすう）関数（かんすう）の積分（せきぶん）公式（こうしき）も扱（あつか）います。

積分（せきぶん）法（ほう）とその応用（おうよう） 第（だい）2部（ぶ）
部分積分法面積体積回転体