Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Tích phân bất định cơ bản Phần 1基本（きほん）の不定（ふてい）積分（せきぶん） 第（だい）1部（ぶ）

Công thức公式

F'(x) = f(x)
F(x) = \int f(x) dx
\int f(x) dx = F(x) + C
\int k f(x) dx = k \int f(x) dx

Ví dụ例題

Cho hàm số f(x) và biết một nguyên hàm F(x) thỏa mãn F'(x) = f(x). Hãy tính tích phân bất định của 3 f(x).

関数（かんすう）f(x)が与（あた）えられ、F'(x) = f(x)を満（み）たす原始（げんし）関数（かんすう）F(x)が分（わ）かっているとき、3 f(x)の不定（ふてい）積分（せきぶん）を求（もと）めなさい。

  1. Áp dụng quy tắc đưa hằng số k = 3 ra ngoài dấu tích phân, ta có tích phân của 3 f(x) dx bằng 3 nhân với tích phân của f(x) dx.定数（ていすう）k = 3を積分（せきぶん）の外（そと）に出（だ）す法則（ほうそく）を適用（てきよう）すると、3 f(x) dxの積分（せきぶん）は3にf(x) dxの積分（せきぶん）を掛（か）けたものになります。
  2. Thay tích phân của f(x) dx bằng F(x) + C1, ta được 3 nhân với biểu thức F(x) + C1.f(x) dxの積分（せきぶん）をF(x) + C1に置き換（おきか）えると、3に式（しき）F(x) + C1を掛（か）けた形（かたち）になります。
  3. Nhân phân phối ta có 3 F(x) + 3 C1, và đặt hằng số mới C = 3 C1 để thu được kết quả cuối cùng 3 F(x) + C.展開（てんかい）して3 F(x) + 3 C1を得（え）て、新（あたら）しい定数（ていすう）C = 3 C1とおくことで、最終（さいしゅう）結果（けっか）3 F(x) + Cを得（え）ます。
Tích phân bất định của 3 f(x) dx là 3 F(x) + C, trong đó C là hằng số tích phân.3 f(x) dxの不定（ふてい）積分（せきぶん）は3 F(x) + Cであり、ここでCは積分（せきぶん）定数（ていすう）です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thỏa mãn F'(x) = f(x), thì biểu thức nào sau đây biểu diễn đúng tích phân bất định của f(x)?F(x)がF'(x) = f(x)を満（み）たすf(x)の原始（げんし）関数（かんすう）であるとき、f(x)の不定（ふてい）積分（せきぶん）を正確（せいかく）に表（あらわ）している式（しき）はどれですか。

2. Biết tích phân của f(x) dx = F(x) + C. Khi đó, tích phân của 5 f(x) dx bằng biểu thức nào?f(x) dxの積分（せきぶん） = F(x) + Cであることが知（し）られています。このとき、5 f(x) dxの積分（せきぶん）はどの式（しき）に等（ひと）しいですか。

3. Cho F(x) là một nguyên hàm của f(x). Mối quan hệ nào giữa F(x) và f(x) là đúng?F(x)をf(x)の原始（げんし）関数（かんすう）とします。F(x)とf(x)の間（あいだ）の正（ただ）しい関係（かんけい）はどれですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.20.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.20.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu rõ quan hệ giữa hàm số f(x) và nguyên hàm F(x) thông qua đạo hàm.導（どう）関数（かんすう）を通（つう）じて関数（かんすう）f(x)と原始（げんし）関数（かんすう）F(x)の関係（かんけい）を正確（せいかく）に理解（りかい）する。
  2. Biết cách biểu diễn tích phân bất định và ghi đúng hằng số tích phân C.不定（ふてい）積分（せきぶん）を表記（ひょうき）し、積分（せきぶん）定数（ていすう）Cを正（ただ）しく記述（きじゅつ）する方法（ほうほう）を習得（しゅうとく）する。
  3. Vận dụng tính chất hằng số k ra ngoài tích phân trong các bài toán cơ bản.基本（きほん）的（てき）な問題（もんだい）において定数（ていすう）kを積分（せきぶん）の外（そと）に出（だ）す性質（せいしつ）を応用（おうよう）する。
Trực giác · イメージ

Phép toán ngược của đạo hàm微分（びぶん）の逆（ぎゃく）演算（えんざん）

Nếu đạo hàm cho biết tốc độ thay đổi của một hàm số thì nguyên hàm giúp tìm lại hàm số ban đầu từ tốc độ đó. Vì các hàm số sai khác nhau một hằng số đều có cùng đạo hàm, ta thu được một họ hàm số gọi là tích phân bất định.

微分（びぶん）がある関数（かんすう）の変化（へんか）の割合（わりあい）を与（あた）えるのに対（たい）し、原始（げんし）関数（かんすう）はその変化（へんか）の割合（わりあい）から元（もと）の関数（かんすう）を復元（ふくげん）します。定数（ていすう）項（こう）が異（こと）なる関数（かんすう）は同（おな）じ導（どう）関数（かんすう）を持（も）つため、不定（ふてい）積分（せきぶん）と呼（よ）ばれる関数（かんすう）の族（ぞく）が得（え）られます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 不定（ふてい）積分（せきぶん）tích phân bất định

    Tích phân bất định của f(x) là tập hợp tất cả các nguyên hàm của f(x), ký hiệu là tích phân f(x) dx. Kết quả của tích phân bất định luôn bao gồm một họ các hàm số dạng F(x) + C. Phép tính này cho phép khôi phục hàm số ban đầu khi biết đạo hàm của nó.

    f(x)の不定（ふてい）積分（せきぶん）は、f(x)のすべての原始（げんし）関数（かんすう）の集合（しゅうごう）であり、積分（せきぶん）記号（きごう）を用（もち）いて表記（ひょうき）されます。不定（ふてい）積分（せきぶん）の結果（けっか）は常（つね）にF(x) + Cの形（かたち）の関数（かんすう）族（ぞく）を含（ふく）みます。この演算（えんざん）により、導（どう）関数（かんすう）から元（もと）の関数（かんすう）を復元（ふくげん）できます。

  • 原始（げんし）関数（かんすう）nguyên hàm

    Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của f(x) nếu đạo hàm F'(x) bằng f(x). Một hàm số f(x) có thể có vô số nguyên hàm khác nhau. Các nguyên hàm này chỉ sai khác nhau bởi một hằng số thực.

    導（どう）関数（かんすう）F'(x)がf(x)に等（ひと）しいとき、関数（かんすう）F(x)をf(x)の原始（げんし）関数（かんすう）と呼（よ）びます。1つの関数（かんすう）f(x)は無数（むすう）の原始（げんし）関数（かんすう）を持（も）つことができます。これらの原始（げんし）関数（かんすう）は実数（じっすう）定数（ていすう）の差（さ）のみを持（も）ちます。

  • 積分（せきぶん）定数（ていすう）hằng số tích phân

    Hằng số tích phân C đại diện cho một hằng số thực bất kỳ được cộng vào nguyên hàm F(x). Do đạo hàm của một hằng số luôn bằng 0, sự xuất hiện của C đảm bảo tính tổng quát cho kết quả. Khi viết kết quả tích phân bất định, việc ghi hằng số C là bắt buộc.

    積分（せきぶん）定数（ていすう）Cは、原始（げんし）関数（かんすう）F(x)に加（くわ）えられる任意（にんい）の実数（じっすう）定数（ていすう）を表（あらわ）します。定数（ていすう）の微分（びぶん）は常（つね）に0となるため、Cの存在（そんざい）により結果（けっか）の一般（いっぱん）性（せい）が保証（ほしょう）されます。不定（ふてい）積分（せきぶん）の結果（けっか）を書（か）く際（さい）、定数（ていすう）Cの記述（きじゅつ）は必須（ひっす）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    f(x)から原始（げんし）関数（かんすう）F(x)を特定（とくてい）する

    Xác định nguyên hàm F(x) từ f(x)

    Kiểm tra xem hàm số F(x) nào có đạo hàm F'(x) bằng đúng f(x). Đây là bước nền tảng để tìm đại diện của họ hàm số cần tính.

    導（どう）関数（かんすう）F'(x)が正確（せいかく）にf(x)と一致（いっち）する関数（かんすう）F(x)を確認（かくにん）します。これは求（もと）める関数（かんすう）族（ぞく）の代表（だいひょう）を特定（とくてい）する基礎（きそ）的（てき）な手順（てじゅん）です。

  2. 02
    結果（けっか）に積分（せきぶん）定数（ていすう）Cを加（くわ）える

    Thêm hằng số tích phân C vào kết quả

    Sau khi tìm được F(x), biểu diễn tích phân bất định dưới dạng F(x) + C. Hằng số C đảm bảo bao quát toàn bộ các nguyên hàm có thể có của f(x).

    F(x)を求（もと）めた後（あと）、不定（ふてい）積分（せきぶん）をF(x) + Cの形式（けいしき）で表記（ひょうき）します。定数（ていすう）Cにより、f(x)のすべての可能（かのう）な原始（げんし）関数（かんすう）を網羅（もうら）できます。

  3. 03
    定数（ていすう）倍（ばい）kの法則（ほうそく）を適用（てきよう）する

    Áp dụng quy tắc nhân hằng số k

    Khi tích phân có dạng k nhân f(x), ta đưa hằng số k ra ngoài dấu tích phân. Điều này giúp đơn giản hóa biểu thức bên trong tích phân trước khi lấy nguyên hàm.

    被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）がk倍（ばい）のf(x)の形（かたち）である場合（ばあい）、定数（ていすう）kを積分（せきぶん）の外（そと）に出（だ）します。これにより、原始（げんし）関数（かんすう）を求（もと）める前（まえ）に被（ひ）積分（せきぶん）式（しき）を簡素（かんそ）化（か）できます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên viết hằng số tích phân C khi kết thúc phép tính tích phân bất định.不定（ふてい）積分（せきぶん）の計算（けいさん）終了（しゅうりょう）時（じ）に積分（せきぶん）定数（ていすう）Cを書（か）き忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn cộng hằng số C vào kết quả nguyên hàm để biểu diễn đầy đủ họ tất cả các nguyên hàm.すべての原始（げんし）関数（かんすう）の族（ぞく）を完全（かんぜん）にあらわすため、常（つね）に原始（げんし）関数（かんすう）の結果（けっか）に定数（ていすう）Cを加（くわ）えてください。

Đưa biến số x ra ngoài dấu tích phân tương tự như đưa hằng số k.定数（ていすう）kと同様（どうよう）に変数（へんすう）を積分（せきぶん）の外（そと）に出（だ）してしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Chỉ được đưa hằng số k không phụ thuộc vào biến tích phân x ra ngoài dấu tích phân.積分（せきぶん）変数（へんすう）xに依存（いぞん）しない定数（ていすう）kのみを積分（せきぶん）の外（そと）に出（だ）すことができます。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) là hàm số thỏa mãn đạo hàm F'(x) bằng f(x).関数（かんすう）f(x)の原始（げんし）関数（かんすう）F(x)とは、導（どう）関数（かんすう）F'(x)がf(x)に等（ひと）しい関数（かんすう）です。
  • Tích phân bất định đại diện cho họ tất cả các nguyên hàm và luôn có hằng số tích phân C.不定（ふてい）積分（せきぶん）はすべての原始（げんし）関数（かんすう）の族（ぞく）を表（あらわ）し、常（つね）に積分（せきぶん）定数（ていすう）Cを含（ふく）みます。
  • Khi tính tích phân của k nhân f(x), ta có thể đưa hằng số k ra ngoài dấu tích phân.k倍（ばい）のf(x)の積分（せきぶん）を計算（けいさん）する際（さい）、定数（ていすう）kを積分（せきぶん）の外（そと）に出（だ）すことができます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

F'(x) = f(x)

Công thức xác định F(x) là một nguyên hàm của f(x) khi đạo hàm của F(x) bằng f(x).

F(x)の導（どう）関数（かんすう）がf(x)に等（ひと）しいとき、F(x)がf(x)の原始（げんし）関数（かんすう）であることを定義（ていぎ）する公式（こうしき）です。

F(x) = \int f(x) dx

Ký hiệu biểu diễn nguyên hàm F(x) thông qua phép tính tích phân bất định của f(x).

f(x)の不定（ふてい）積分（せきぶん）を通（つう）じて原始（げんし）関数（かんすう）F(x)を表（あらわ）す記号（きごう）公式（こうしき）です。

\int f(x) dx = F(x) + C

Công thức tổng quát của tích phân bất định bao gồm nguyên hàm F(x) và hằng số tích phân C.

原始（げんし）関数（かんすう）F(x)と積分（せきぶん）定数（ていすう）Cを含（ふく）む不定（ふてい）積分（せきぶん）の一般（いっぱん）公式（こうしき）です。

\int k f(x) dx = k \int f(x) dx

Quy tắc đưa hằng số k ra ngoài dấu tích phân khi tính tích phân bất định.

不定（ふてい）積分（せきぶん）を計算（けいさん）する際（さい）、定数（ていすう）kを積分（せきぶん）の外（そと）に出（だ）すことができる法則（ほうそく）を示（しめ）す公式（こうしき）です。

EJU 2026 · MATH.20.1

Bài học này giúp bạn nắm vững khái niệm nguyên hàm, tích phân bất định và vai trò của hằng số tích phân. Bạn cũng sẽ học cách đưa hằng số k ra ngoài dấu tích phân khi tính toán.

本課（ほんか）では、原始（げんし）関数（かんすう）、不定（ふてい）積分（せきぶん）、および積分（せきぶん）定数（ていすう）の役割（やくわり）の基本（きほん）概念（がいねん）を習得（しゅうとく）します。また、計算（けいさん）時（じ）に定数（ていすう）kを積分（せきぶん）の外（そと）に出（だ）す方法（ほうほう）も学（まな）びます。

基本（きほん）の不定（ふてい）積分（せきぶん） 第（だい）1部（ぶ）
不定積分原始関数積分定数