Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Phương pháp tích phân đổi biến置換（ちかん）積分（せきぶん）法（ほう）

Công thức公式

\int f(x) dx = \int f(g(t)) g'(t) dt
\int f(x) dx = \int f(x) \frac{dx}{dt} dt
\int y dx = \int y \frac{dx}{dt} dt
\int f(g(x)) g'(x) dx = \int f(t) dt

Ví dụ例題

Tính tích phân bất định I = \(\int\) 2x (x^2 + 1)^3 dx bằng cách đổi biến.

置換（ちかん）積分（せきぶん）法（ほう）を用（もち）いて、不定（ふてい）積分（せきぶん） I = \(\int\) 2x (x^2 + 1)^3 dx を求（もと）めよ。

  1. Đặt \(t = x^{2} + 1\). Lấy vi phân hai vế ta được dt = 2x dx.\(t = x^{2} + 1\) とおきます。両辺（りょうへん）の微分（びぶん）をとると dt = 2x dx となります。
  2. Thay vào tích phân ban đầu ta thu được I = \(\int\) t^3 dt.元（もと）の積分（せきぶん）に代入（だいにゅう）すると、I = \(\int\) t^3 dt となります。
  3. Tính nguyên hàm theo t: \(\int\) t^3 dt = \(\frac{t^4}{4}\) + C. Thay t = x^2 + 1 thu được I = \(\frac{(x^2 + 1)^4}{4}\) + C.tで積分（せきぶん）します：\(\int\) t^3 dt = \(\frac{t^4}{4}\) + C。t = x^2 + 1 を戻（もど）すと I = \(\frac{(x^2 + 1)^4}{4}\) + C となります。
Vậy I = \(\frac{(x^2 + 1)^4}{4}\) + C.したがって、I = \(\frac{(x^2 + 1)^4}{4}\) + C となります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Sử dụng công thức \(\int\) f(g(x)) g'(x) dx = \(\int\) f(t) dt với t = g(x), tính tích phân I = \(\int\) 3x^2 (x^3 + 2)^4 dx.t = g(x)とする公式（こうしき） \(\int\) f(g(x)) g'(x) dx = \(\int\) f(t) dt を用（もち）い、不定（ふてい）積分（せきぶん） I = \(\int\) 3x^2 (x^3 + 2)^4 dx を求（もと）めよ。

2. Nếu thế x = g(t) trong phép đổi biến số, vi phân dx được thay bằng biểu thức nào theo dt?変数（へんすう）変換（へんかん）で x = g(t) とおくとき、微分（びぶん） dx は dt を用（もち）いてどのように置き換（おきか）えられるか。

3. Tính tích phân bất định I = \(\int\) (2x + 1) (x^2 + x)^2 dx bằng phương pháp đổi biến.置換（ちかん）積分（せきぶん）法（ほう）を用（もち）いて、不定（ふてい）積分（せきぶん） I = \(\int\) (2x + 1) (x^2 + x)^2 dx を求（もと）めよ。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.20.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.20.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu bản chất của việc đổi biến số t = g(x) hoặc x = g(t) trong tính tích phân bất định.不定（ふてい）積分（せきぶん）における t = g(x) または x = g(t) の変数（へんすう）変換（へんかん）の本質（ほんしつ）を理解（りかい）する。
  2. Biết cách biến đổi vi phân và sử dụng đúng các công thức tích phân đổi biến.微分（びぶん）形式（けいしき）の変形（へんけい）を行（おこな）い、置換（ちかん）積分（せきぶん）の公式（こうしき）を正確（せいかく）に使用（しよう）できるようになる。
Trực giác · イメージ

Ý tưởng cốt lõi của tích phân đổi biến置換（ちかん）積分（せきぶん）のコアアイデア

Khi tích phân trực tiếp theo biến x quá phức tạp, việc đặt biến phụ t giúp chuyển biểu thức về dạng đơn giản hơn. Phép đổi biến dựa trên quy tắc đạo hàm của hàm hợp.

変数（へんすう）xのまま直接（ちょくせつ）積分（せきぶん）するのが複雑（ふくざつ）な場合（ばあい）、補助（ほじょ）変数（へんすう）tを導入（どうにゅう）して式（しき）をより単純（たんじゅん）な形（かたち）に変換（へんかん）します。変数（へんすう）変換（へんかん）は合成（ごうせい）関数（かんすう）の微分（びぶん）法則（ほうそく）に基（もと）づいています。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 置換（ちかん）積分（せきぶん）法（ほう）phương pháp tích phân đổi biến

    Phương pháp tính tích phân bằng cách thay biến số x bằng một hàm số của t hoặc đặt t theo x. Kỹ thuật này chuyển tích phân phức tạp thành tích phân cơ bản.

    変数（へんすう）xをtの関数（かんすう）に置き換（おきか）えるか、xの関数（かんすう）をtとおく積分（せきぶん）手法（しゅほう）です。複雑（ふくざつ）な積分（せきぶん）を基本（きほん）形（けい）に変換（へんかん）します。

  • 変数（へんすう）変換（へんかん）đổi biến số

    Quá trình thay đổi biến độc lập từ x sang t để đưa biểu thức dưới dấu tích phân về dạng dễ tính hơn. Khi đổi biến, cần chuyển đổi cả vi phân dx sang dt.

    被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）を計算（けいさん）しやすくするため、独立（どくりつ）変数（へんすう）をxからtへ変更（へんこう）する過程（かてい）です。変数（へんすう）を換（か）える際（さい）、微分（びぶん）dxもdtへ変換（へんかん）する必要（ひつよう）があります。

  • 合成（ごうせい）関数（かんすう）hàm hợp

    Hàm số dạng f(g(x)), trong đó g(x) là hàm số bên trong. Phương pháp đổi biến sử dụng vi phân g'(x) dx = dt để tính nguyên hàm của hàm hợp.

    内側（うちがわ）の関数（かんすう）g(x)を持（も）つf(g(x))の形（かたち）の関数（かんすう）です。置換（ちかん）積分（せきぶん）法（ほう）では微分（びぶん）関係（かんけい）g'(x) dx = dtを利用（りよう）して合成（ごうせい）関数（かんすう）の原始（げんし）関数（かんすう）を求（もと）めます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：適切（てきせつ）な変数（へんすう）のおき方（かた）を選択（せんたく）する

    Bước 1: Chọn cách đặt biến số phù hợp

    Đặt t = g(x) hoặc biểu diễn x = g(t) tùy thuộc vào dạng biểu thức dưới dấu tích phân. Mục tiêu là làm cho biểu thức mới theo t trở nên đơn giản.

    被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）の形（かたち）に応（おう）じて t = g(x) または x = g(t) と置（お）きます。目的（もくてき）は、tに関（かん）する新（あたら）しい式（しき）を単純（たんじゅん）にすることです。

  2. 02
    ステップ2：dxをdtで表（あらわ）す微分（びぶん）形式（けいしき）を計算（けいさん）する

    Bước 2: Tính vi phân dx theo dt

    Tính đạo hàm để tìm mối quan hệ dx = g'(t) dt hoặc dt = g'(x) dx. Thay toàn bộ biểu thức và vi phân theo biến x sang biến t.

    微分（びぶん）を行（おこな）って dx = g'(t) dt または dt = g'(x) dx の関係（かんけい）を求（もと）めます。xの式（しき）と微分（びぶん）をすべてtの式（しき）へ置き換（おきか）えます。

  3. 03
    ステップ3：tで積分（せきぶん）し、元（もと）の変数（へんすう）xに戻（もど）す

    Bước 3: Tính tích phân theo t và trả về biến x

    Tính nguyên hàm theo biến t rồi thay t bằng biểu thức ban đầu của x. Đừng quên cộng thêm hằng số tích phân C vào đáp số.

    変数（へんすう）tで原始（げんし）関数（かんすう）を計算（けいさん）した後（あと）、tを元（もと）のxの式（しき）に置き戻（おきもど）します。最後（さいご）に積分（せきぶん）定数（ていすう）Cを加（くわ）えることを忘（わす）れないようにします。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Đổi biến t = g(x) nhưng quên thay vi phân dx bằng dt / g'(x), giữ nguyên dx trong tích phân.t = g(x)と変数（へんすう）変換（へんかん）したのに、微分（びぶん）dxをdt / g'(x)に置き換（おきか）えるのを忘（わす）れ、dxのまま計算（けいさん）してしまう。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Khi đổi biến số, bắt buộc phải chuyển đổi cả vi phân dx sang dt dựa trên quan hệ dt = g'(x) dx.変数（へんすう）変換（へんかん）を行（おこな）う際（さい）は、dt = g'(x) dxの関係（かんけい）に基（もと）づいて微分（びぶん）dxも必（かなら）ずdtに変換（へんかん）しなければなりません。

Tính xong nguyên hàm theo biến t nhưng quên thay lại t theo biến ban đầu x trong kết quả cuối cùng.変数（へんすう）tでの原始（げんし）関数（かんすう）を求（もと）めた後（あと）、最終（さいしゅう）結果（けっか）でtを元（もと）の変数（へんすう）xに置き戻（おきもど）すのを忘（わす）れてしまう。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Kết quả của tích phân bất định ban đầu theo x phải là một hàm số theo x, do đó cần thế lại t = g(x).元（もと）のxに関（かん）する不定（ふてい）積分（せきぶん）の結果（けっか）はxの関数（かんすう）でなければならないため、最後（さいご）に必（かなら）ずt = g(x)を代入（だいにゅう）して戻（もど）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Phương pháp tích phân đổi biến giúp đơn giản hóa biểu thức nhờ thay đổi biến số và vi phân tương ứng.置換（ちかん）積分（せきぶん）法（ほう）は、変数（へんすう）と対応（たいおう）する微分（びぶん）を変換（へんかん）することで式（しき）を簡略（かんりゃく）化（か）する手法（しゅほう）です。
  • Khi đặt t = g(x), ta có dt = g'(x) dx và tích phân trở thành \(\int\) f(t) dt.t = g(x)とおくとき、dt = g'(x) dxとなり、積分（せきぶん）は \(\int\) f(t) dt となります。
  • Sau khi tìm được nguyên hàm theo biến mới, luôn cần thay lại về biến ban đầu x và cộng C.新（あたら）しい変数（へんすう）で原始（げんし）関数（かんすう）を求（もと）めた後（あと）は、必（かなら）ず元（もと）の変数（へんすう）xに置き戻（おきもど）し、Cを加（くわ）えます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\int f(x) dx = \int f(g(t)) g'(t) dt

Khi thế x = g(t), ta thay x bằng g(t) và dx bằng g'(t) dt.

x = g(t)とおくとき、xをg(t)に、dxをg'(t) dtに置き換（おきか）えます。

\int f(x) dx = \int f(x) \frac{dx}{dt} dt

Công thức đổi biến biểu diễn vi phân dx qua đạo hàm dx/dt nhân với dt.

微分（びぶん）dxをdx/dtとdtの積（せき）として表（あらわ）す置換（ちかん）積分（せきぶん）の公式（こうしき）です。

\int y dx = \int y \frac{dx}{dt} dt

Khi y là hàm theo x, tích phân y dx chuyển thành tích phân của y nhân dx/dt theo t.

yがxの関数（かんすう）であるとき、y dxの積分（せきぶん）はyにdx/dtを掛（か）けたtの積分（せきぶん）に変換（へんかん）されます。

\int f(g(x)) g'(x) dx = \int f(t) dt

Khi đặt t = g(x), ta có dt = g'(x) dx và tích phân chuyển hoàn toàn sang biến t.

t = g(x)とおくとき、dt = g'(x) dxとなり、積分（せきぶん）は完全（かんぜん）に変数（へんすう）tの形（かたち）に変換（へんかん）されます。

EJU 2026 · MATH.20.1

Phương pháp tích phân đổi biến giúp đơn giản hóa việc tính nguyên hàm bằng cách thay đổi biến số. Nắm vững kỹ thuật này giúp giải quyết các bài toán tích phân hàm hợp một cách dễ dàng.

置換（ちかん）積分（せきぶん）法（ほう）は、変数（へんすう）変換（へんかん）によって不定（ふてい）積分（せきぶん）の計算（けいさん）を簡略（かんりゃく）化（か）する手法（しゅほう）です。この技術（ぎじゅつ）を習得（しゅうとく）することで、合成（ごうせい）関数（かんすう）の積分（せきぶん）問題（もんだい）を容易（ようい）に解決（かいけつ）できます。

置換（ちかん）積分（せきぶん）法（ほう）
置換積分法変数変換合成関数