Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Tích phân bất định cơ bản Phần 3基本（きほん）の不定（ふてい）積分（せきぶん） 第（だい）3部（ぶ）

Công thức公式

\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C
\int a^x dx = \frac{a^x}{\log a} + C
\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\frac{1}{\tan x} + C
\int \sin kx dx = -\frac{\cos kx}{k} + C

Ví dụ例題

Tính tích phân bất định I = \(\int\) (2^x + \(\sin\) 3x) dx.

不定（ふてい）積分（せきぶん） I = \(\int\) (2^x + \(\sin\) 3x) dx を求（もと）めよ。

  1. Tách tích phân thành hai phần: I = \(\int\) 2^x dx + \(\int\) \(\sin\) 3x dx.積分（せきぶん）を2つに分（わ）けます：I = \(\int\) 2^x dx + \(\int\) \(\sin\) 3x dx。
  2. Áp dụng công thức nguyên hàm hàm số mũ: \(\int\) 2^x dx = \(\frac{2^x}{\log 2}\).指数（しすう）関数（かんすう）の積分（せきぶん）公式（こうしき）を適用（てきよう）します：\(\int\) 2^x dx = \(\frac{2^x}{\log 2}\)。
  3. Áp dụng công thức với k = 3: \(\int\) \(\sin\) 3x dx = -\(\frac{\cos 3x}{3}\).k = 3の公式（こうしき）を適用（てきよう）します：\(\int\) \(\sin\) 3x dx = -\(\frac{\cos 3x}{3}\)。
Vậy I = \(\frac{2^x}{\log 2}\) - \(\frac{\cos 3x}{3}\) + C.したがって、I = \(\frac{2^x}{\log 2}\) - \(\frac{\cos 3x}{3}\) + C となります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tính tích phân bất định \(\int\) 5^x dx.不定（ふてい）積分（せきぶん） \(\int\) 5^x dx を求（もと）めよ。

2. Tính tích phân bất định \(\int\) \(\sin\) 2x dx.不定（ふてい）積分（せきぶん） \(\int\) \(\sin\) 2x dx を求（もと）めよ。

3. Tính tích phân bất định \(\int\) \(\left( \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x} \right)\) dx.不定（ふてい）積分（せきぶん） \(\int\) \(\left( \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x} \right)\) dx を求（もと）めよ。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.20.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.20.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững công thức tích phân bất định của hàm số mũ với cơ số a.底（そこ）がaの指数（しすう）関数（かんすう）の不定（ふてい）積分（せきぶん）公式（こうしき）を習得（しゅうとく）する。
  2. Áp dụng đúng các công thức tích phân bất định cho các hàm số lượng giác cơ bản.基本（きほん）的（てき）な三角（さんかく）関数（かんすう）の不定（ふてい）積分（せきぶん）公式（こうしき）を正（ただ）しく適用（てきよう）する。
Trực giác · イメージ

Ý tưởng cơ bản về tích phân hàm số mũ và lượng giác指数（しすう）関数（かんすう）と三角（さんかく）関数（かんすう）の積分（せきぶん）の基本（きほん）的（てき）な考（かんが）え方（かた）

Tích phân bất định là phép tính ngược của đạo hàm. Việc ghi nhớ đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lượng giác giúp ta tìm nhanh nguyên hàm tương ứng.

不定（ふてい）積分（せきぶん）は微分（びぶん）の逆（ぎゃく）演算（えんざん）です。指数（しすう）関数（かんすう）や三角（さんかく）関数（かんすう）の微分（びぶん）を覚（おぼ）えておくことで、対応（たいおう）する原始（げんし）関数（かんすう）を素早（すばや）く見（み）つけることができます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 指数（しすう）関数（かんすう）hàm số mũ

    Hàm số dạng \(a^{x}\) với cơ số a dương khác 1. Nguyên hàm của \(a^{x}\) bằng \(a^{x}\) chia cho \(\log a\) cộng hằng số C.

    1以外（いがい）の正（せい）の底（そこ）aを持（も）つ\(a^{x}\)の形（かたち）の関数（かんすう）です。\(a^{x}\)の原始（げんし）関数（かんすう）は\(a^{x}\)を\(\log a\)で割（わ）ったものに定数（ていすう）Cを加（くわ）えた形（かたち）になります。

  • 三角（さんかく）関数（かんすう）hàm số lượng giác

    Các hàm số như sin x, cos x, tan x biểu diễn mối quan hệ góc trong toán học. Các công thức tích phân giúp tính nguyên hàm của sin kx, 1/cos^2 x và 1/sin^2 x.

    sin x、cos x、tan xなど角（かく）の関係（かんけい）を表（あらわ）す関数（かんすう）です。積分（せきぶん）公式（こうしき）により、sin kx、1/cos^2 x、1/sin^2 xの原始（げんし）関数（かんすう）を計算（けいさん）できます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）の型（かた）を特定（とくてい）する

    Bước 1: Xác định dạng hàm số trong dấu tích phân

    Quan sát biểu thức để biết đó là hàm số mũ \(a^{x}\) hay hàm số lượng giác. Việc phân loại đúng giúp chọn chính xác công thức nguyên hàm cần dùng.

    被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）が指数（しすう）関数（かんすう）\(a^{x}\)か三角（さんかく）関数（かんすう）かを確認（かくにん）します。正（ただ）しい分類（ぶんるい）により、使用（しよう）すべき積分（せきぶん）公式（こうしき）を正確（せいかく）に選択（せんたく）できます。

  2. 02
    ステップ2：対応（たいおう）する積分（せきぶん）公式（こうしき）を適用（てきよう）する

    Bước 2: Áp dụng công thức nguyên hàm tương ứng

    Sử dụng công thức thích hợp như nguyên hàm của \(a^{x}\) hay \(\sin kx\) để biến đổi. Đảm bảo chia đúng hệ số k hoặc \(\log a\) theo công thức.

    \(a^{x}\)や\(\sin kx\)の原始（げんし）関数（かんすう）の公式（こうしき）を用（もち）いて変形（へんけい）します。公式（こうしき）に従（したが）って係数（けいすう）kや\(\log a\)で正（ただ）しく割（わ）るようにします。

  3. 03
    ステップ3：積分（せきぶん）定数（ていすう）Cを結果（けっか）に加（くわ）える

    Bước 3: Thêm hằng số tích phân C vào kết quả

    Sau khi tìm được nguyên hàm, luôn cộng thêm hằng số tích phân C. Đây là bước bắt buộc để hoàn thành kết quả tích phân bất định.

    原始（げんし）関数（かんすう）を求（もと）めた後（あと）、必（かなら）ず積分（せきぶん）定数（ていすう）Cを書き加（かきくわ）えます。これは不定（ふてい）積分（せきぶん）の計算（けいさん）を完結（かんけつ）させるために不可欠（ふかけつ）な手順（てじゅん）です。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên chia cho \(\log a\) khi tính tích phân hàm số mũ \(a^{x}\) và viết kết quả là \(a^{x} + C\).指数（しすう）関数（かんすう）\(a^{x}\)の積分（せきぶん）で\(\log a\)で割（わ）るのを忘（わす）れ、\(a^{x} + C\)と書（か）いてしまう。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Đạo hàm của a^x có nhân log a, nên tích phân bất định phải chia cho log a thành \(\frac{a^x}{\log a}\) + C.a^xの微分（びぶん）にはlog aが掛（か）かるため、不定（ふてい）積分（せきぶん）ではlog aで割（わ）って \(\frac{a^x}{\log a}\) + C とする必要（ひつよう）があります。

Quên dấu âm khi tính nguyên hàm của \(\sin\) kx, dẫn đến kết quả \(\frac{\cos kx}{k}\) + C.sin kxの原始（げんし）関数（かんすう）を求（もと）める際（さい）に負（ふ）の符号（ふごう）を忘（わす）れ、\(\frac{\cos kx}{k}\) + C と誤記（ごき）する。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Đạo hàm của \(\cos\) kx là -k \(\sin\) kx, do đó nguyên hàm của \(\sin\) kx phải là -\(\frac{\cos kx}{k}\) + C.cos kxの微分（びぶん）は-k sin kxとなるため、sin kxの原始（げんし）関数（かんすう）は -\(\frac{\cos kx}{k}\) + C でなければなりません。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Nguyên hàm của hàm số mũ cơ số a là \(\int\) a^x dx = \(\frac{a^x}{\log a}\) + C.底（そこ）aの指数（しすう）関数（かんすう）の原始（げんし）関数（かんすう）は \(\int\) a^x dx = \(\frac{a^x}{\log a}\) + C です。
  • Nguyên hàm của sin kx được tính theo công thức \(\int\) \(\sin\) kx dx = -\(\frac{\cos kx}{k}\) + C.sin kxの原始（げんし）関数（かんすう）は \(\int\) \(\sin\) kx dx = -\(\frac{\cos kx}{k}\) + C により計算（けいさん）されます。
  • Nguyên hàm của 1/cos^2 x là tan x + C và của 1/sin^2 x là -1/tan x + C.1/cos^2 xの原始（げんし）関数（かんすう）はtan x + Cであり、1/sin^2 xの原始（げんし）関数（かんすう）は-1/tan x + Cです。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C

Nguyên hàm của 1 trên cos^2 x là tan x cộng hằng số C.

1/cos^2 xの不定（ふてい）積分（せきぶん）はtan x + Cとなります。

\int a^x dx = \frac{a^x}{\log a} + C

Nguyên hàm của \(a^{x}\) với cơ số a lớn hơn 0 và khác 1 là \(a^{x}\) chia cho \(\log a\) cộng C.

底（そこ）a（a > 0, a != 1）の指数（しすう）関数（かんすう）\(a^{x}\)の不定（ふてい）積分（せきぶん）は\(a^{x} / \log a + C\)となります。

\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\frac{1}{\tan x} + C

Nguyên hàm của 1 trên sin^2 x bằng âm 1 trên tan x cộng C theo công thức trong bài.

本課（ほんか）の公式（こうしき）に従（したが）い、1/sin^2 xの不定（ふてい）積分（せきぶん）は-1/tan x + Cとなります。

\int \sin kx dx = -\frac{\cos kx}{k} + C

Nguyên hàm của \(\sin kx\) với hằng số k khác 0 bằng âm \(\cos kx\) chia k cộng C.

定数（ていすう）k（k != 0）に対（たい）する\(\sin kx\)の不定（ふてい）積分（せきぶん）は-\(\cos kx / k + C\)となります。

EJU 2026 · MATH.20.1

Bài học này hướng dẫn cách tìm tích phân bất định của các hàm số mũ và hàm số lượng giác cơ bản. Người học sẽ nắm vững công thức nguyên hàm trực tiếp để tính toán chính xác.

本課（ほんか）では、基本（きほん）的（てき）な指数（しすう）関数（かんすう）および三角（さんかく）関数（かんすう）の不定（ふてい）積分（せきぶん）を計算（けいさん）する方法（ほうほう）を解説（かいせつ）します。直接（ちょくせつ）的（てき）な原始（げんし）関数（かんすう）の公式（こうしき）を習得（しゅうとく）し、正確（せいかく）に計算（けいさん）できるようにします。

基本（きほん）の不定（ふてい）積分（せきぶん） 第（だい）3部（ぶ）
指数関数三角関数