Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Phương pháp tích phân từng phần部分（ぶぶん）積分（せきぶん）法（ほう）

Công thức公式

\int f(x) g'(x) dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x) dx
\int u v' dx = u v - \int u' v dx
\int \log x dx = x \log x - x + C
\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log |f(x)| + C

Ví dụ例題

Tính tích phân bất định \(\int\) \(\frac{2x + 1}{x^2 + x + 1}\) dx bằng cách nhận biết dạng đạo hàm của tử số.

分子（ぶんし）の導（どう）関数（かんすう）の形（かたち）に着目（ちゃくもく）して、不定（ふてい）積分（せきぶん） \(\int\) \(\frac{2x + 1}{x^2 + x + 1}\) dx を計算（けいさん）します。

  1. Xét mẫu số \(f(x) = x^{2} + x + 1\), ta tính đạo hàm tử số và thấy f'(x) = 2x + 1.分母（ぶんぼ）を \(f(x) = x^{2} + x + 1\) とおくと、その微分（びぶん）は f'(x) = 2x + 1 と一致（いっち）します。
  2. Áp dụng công thức \(\int\) \(\frac{f'(x)}{f(x)}\) dx = \(\log\) |f(x)| + C cho biểu thức trên.上記（じょうき）の式（しき）に対（たい）して公式（こうしき） \(\int\) \(\frac{f'(x)}{f(x)}\) dx = \(\log\) |f(x)| + C を適用（てきよう）します。
Ta thu được kết quả cuối cùng là \(\log\) |x^2 + x + 1| + C.最終（さいしゅう）的（てき）な計算（けいさん）結果（けっか）として \(\log\) |x^2 + x + 1| + C を得（え）ます。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tính tích phân bất định \(\int\) \(\log\) x dx.不定（ふてい）積分（せきぶん） \(\int\) \(\log\) x dx を計算（けいさん）しなさい。

2. Tính tích phân bất định \(\int\) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\) dx.不定（ふてい）積分（せきぶん） \(\int\) \(\frac{3x^2}{x^3 + 1}\) dx を計算（けいさん）しなさい。

3. Cho u = x và v' = g'(x), hãy xác định biểu thức tích phân \(\int\) x g'(x) dx theo công thức tích phân từng phần.u = x および v' = g'(x) のとき、部分（ぶぶん）積分（せきぶん）公式（こうしき）を用（もち）いた \(\int\) x g'(x) dx の表式（ひょうしき）を求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.20.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.20.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu và áp dụng thành thạo công thức tích phân từng phần.部分（ぶぶん）積分（せきぶん）法（ほう）の公式（こうしき）を理解（りかい）し、適切（てきせつ）に適用（てきよう）できる。
  2. Nhận biết và tính tích phân dạng \(\int\) \(\frac{f'(x)}{f(x)}\) dx.\(\int\) \(\frac{f'(x)}{f(x)}\) dx の形（かたち）の積分（せきぶん）を識別（しきべつ）して計算（けいさん）できる。
Trực giác · イメージ

Biến đổi tích phân phức tạp thành phần đơn giản hơn複雑（ふくざつ）な積分（せきぶん）をより簡単（かんたん）な部分（ぶぶん）に分解（ぶんかい）する

Tích phân từng phần là phép tính ngược của đạo hàm của tích, giúp chuyển tích phân của một tích thành một phần đã lấy nguyên hàm và một tích phân mới đơn giản hơn. Tương tự, phân tích phân thức giúp đưa hàm phân thức về dạng đạo hàm trên hàm ban đầu để lấy logarit trực tiếp.

部分（ぶぶん）積分（せきぶん）法（ほう）は積（せき）の微分（びぶん）法（ほう）の逆（ぎゃく）演算（えんざん）であり、積（せき）の積分（せきぶん）を既知（きち）の部分（ぶぶん）とより簡単（かんたん）な新（あたら）しい積分（せきぶん）へ変換（へんかん）します。同様（どうよう）に、分数（ぶんすう）関数（かんすう）の変形（へんけい）は f'(x)/f(x) の形（かたち）を作り出（つくりだ）して対数（たいすう）積分（せきぶん）を可能（かのう）にします。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 部分（ぶぶん）積分（せきぶん）法（ほう）phương pháp tích phân từng phần

    Phương pháp tích phân từng phần dựa trên quy tắc đạo hàm của tích hai hàm số. Nó giúp tách một tích phân phức tạp thành hiệu của một tích hai hàm và một tích phân đơn giản hơn.

    部分（ぶぶん）積分（せきぶん）法（ほう）は2つの関数（かんすう）の積（せき）の微分（びぶん）法則（ほうそく）に基（もと）づいた積分（せきぶん）手法（しゅほう）です。複雑（ふくざつ）な積（せき）の積分（せきぶん）を、関数（かんすう）の積（せき）とより簡単（かんたん）な積分（せきぶん）の差（さ）へ変形（へんけい）します。

  • 積（せき）の微分（びぶん）法（ほう）đạo hàm của tích

    Quy tắc đạo hàm của tích phát biểu rằng (uv)' = u'v + uv'. Đây là nền tảng lý thuyết trực tiếp để xây dựng công thức tích phân từng phần.

    積（せき）の微分（びぶん）法則（ほうそく）は (uv)' = u'v + uv' と表（あらわ）されます。これは部分（ぶぶん）積分（せきぶん）法（ほう）の公式（こうしき）を導出（どうしゅつ）する直接（ちょくせつ）的（てき）な理論（りろん）的（てき）基礎（きそ）となります。

  • 分数（ぶんすう）関数（かんすう）hàm phân thức

    Hàm phân thức là hàm số có dạng tỉ thức của hai đa thức. Khi lấy tích phân, ta thường biến đổi tử số theo đạo hàm của mẫu số.

    分数（ぶんすう）関数（かんすう）は2つの多項（たこう）式（しき）の比（ひ）で表（あらわ）される関数（かんすう）です。積分（せきぶん）を計算（けいさん）する際（さい）、分子（ぶんし）を分母（ぶんぼ）の微分（びぶん）に関連（かんれん）付（つ）けて変形（へんけい）することがよく行（おこな）われます。

  • 部分（ぶぶん）分数（ぶんすう）分解（ぶんかい）phân tích thành phân thức đơn giản

    Phân tích thành phân thức đơn giản là kỹ thuật tách một hàm phân thức phức tạp thành tổng các phân thức bậc thấp hơn. Kỹ thuật này giúp việc tính tích phân các phần nhỏ trở nên dễ dàng.

    部分（ぶぶん）分数（ぶんすう）分解（ぶんかい）は、複雑（ふくざつ）な分数（ぶんすう）関数（かんすう）をより次数（じすう）が低（ひく）い分数（ぶんすう）の和（わ）に分解（ぶんかい）する技術（ぎじゅつ）です。これにより各（かく）部分（ぶぶん）の積分（せきぶん）計算（けいさん）が容易（ようい）になります。

  • 未定（みてい）係数（けいすう）法（ほう）phương pháp hệ số bất định

    Phương pháp hệ số bất định dùng để tìm các hệ số chưa biết khi phân tích phân thức. Ta đồng nhất hệ số hai vế để giải hệ phương trình tìm các ẩn số.

    未定（みてい）係数（けいすう）法（ほう）は分数（ぶんすう）分解（ぶんかい）などの際（さい）に未知（みち）の係数（けいすう）を決定（けってい）する方法（ほうほう）です。両辺（りょうへん）の同類（どうるい）項（こう）の係数（けいすう）を比較（ひかく）して方程（ほうてい）式（しき）を解（と）きます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    適切（てきせつ）な u と v' の選択（せんたく）

    Chọn u và v' thích hợp

    Xác định thành phần nào nên đặt là u để đạo hàm u' đơn giản hơn, và thành phần v' dễ tìm nguyên hàm v.

    微分（びぶん）して簡単（かんたん）になる部分（ぶぶん）を u とおき、積分（せきぶん）が容易（ようい）な部分（ぶぶん）を v' とおきます。

  2. 02
    部分（ぶぶん）積分（せきぶん）公式（こうしき）の適用（てきよう）

    Áp dụng công thức tích phân từng phần

    Thay các hàm u, v, u', v' vào công thức \(\int\) u v' dx = u v - \(\int\) u' v dx.

    求（もと）める関数（かんすう） u, v, u', v' を公式（こうしき） \(\int\) u v' dx = u v - \(\int\) u' v dx に代入（だいにゅう）します。

  3. 03
    残（のこ）りの積分（せきぶん）の計算（けいさん）と常数（じょうすう）の付加（ふか）

    Tính tích phân còn lại và thêm hằng số

    Thực hiện tính tích phân \(\int\) u' v dx còn lại và thêm hằng số tích phân C vào kết quả.

    残（のこ）された積分（せきぶん） \(\int\) u' v dx を計算（けいさん）し、最後（さいご）に積分（せきぶん）定数（ていすう） C を加（くわ）えます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Chọn nhầm u và v' làm cho tích phân mới \(\int\) u' v dx trở nên phức tạp hơn tích phân ban đầu.u と v' の設定（せってい）を誤（あやま）り、新（あたら）しい積分（せきぶん） \(\int\) u' v dx が元（もと）の積分（せきぶん）より複雑（ふくざつ）になってしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Ưu tiên chọn u là hàm đa thức hoặc logarit để khi lấy đạo hàm u' bậc của biểu thức giảm đi.多項（たこう）式（しき）や対数（たいすう）関数（かんすう）を u とおき、微分（びぶん）によって式（しき）が単純（たんじゅん）化（か）するように選択（せんたく）します。

Quên dấu tuyệt đối trong kết quả \(\log\) |f(x)| hoặc quên cộng hằng số tích phân C.\(\log\) |f(x)| の絶対（ぜったい）値（ち）記号（きごう）を忘（わす）れたり、積分（せきぶん）定数（ていすう） C を書（か）き忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn đặt dấu giá trị tuyệt đối cho biểu thức bên trong logarit và thêm + C vào cuối bài làm tích phân bất định.対数（たいすう）の真数（しんすう）部分（ぶぶん）には必（かなら）ず絶対（ぜったい）値（ち）をつけ、不定（ふてい）積分（せきぶん）の最後（さいご）には + C を明記（めいき）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Phương pháp tích phân từng phần biến đổi tích phân của một tích dựa trên quy tắc đạo hàm của tích.部分（ぶぶん）積分（せきぶん）法（ほう）は積（せき）の微分（びぶん）法則（ほうそく）に基（もと）づき、積（せき）の積分（せきぶん）を変形（へんけい）する手法（しゅほう）です。
  • Công thức \(\int\) \(\frac{f'(x)}{f(x)}\) dx = \(\log\) |f(x)| + C giúp giải nhanh các bài toán hàm phân thức phù hợp.公式（こうしき） \(\int\) \(\frac{f'(x)}{f(x)}\) dx = \(\log\) |f(x)| + C は適切（てきせつ）な分数（ぶんすう）関数（かんすう）の計算（けいさん）を迅速（じんそく）に行（おこな）えます。
  • Lựa chọn đặt u và v' hợp lý là chìa khóa để đơn giản hóa tích phân cần tính.u と v' の適切（てきせつ）な選択（せんたく）が、積分（せきぶん）計算（けいさん）を単純（たんじゅん）化（か）するための鍵（かぎ）となります。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\int f(x) g'(x) dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x) dx

Công thức tích phân từng phần dạng tổng quát biểu diễn qua hai hàm f(x) và g(x).

関数（かんすう） f(x) と g(x) を用（もち）いた部分（ぶぶん）積分（せきぶん）法（ほう）の一般（いっぱん）的（てき）な公式（こうしき）です。

\int u v' dx = u v - \int u' v dx

Dạng viết gọn của công thức tích phân từng phần giúp dễ nhớ và thao tác nhanh khi làm bài.

部分（ぶぶん）積分（せきぶん）公式（こうしき）の簡略（かんりゃく）表記（ひょうき）であり、計算（けいさん）手順（てじゅん）を覚（おぼ）えるのに適（てき）しています。

\int \log x dx = x \log x - x + C

Tích phân cơ bản của hàm logarit tự nhiên, được chứng minh bằng cách đặt \(u = \log x\) và v' = 1.

自然（しぜん）対数（たいすう）関数（かんすう）の基本（きほん）積分（せきぶん）であり、\(u = \log x\), v' = 1 とおくことで導出（どうしゅつ）されます。

\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log |f(x)| + C

Công thức tích phân hàm phân thức khi tử số là đạo hàm của mẫu số.

分子（ぶんし）が分母（ぶんぼ）の微分（びぶん）となっている分数（ぶんすう）関数（かんすう）の積分（せきぶん）公式（こうしき）です。

EJU 2026 · MATH.20.1

Bài học này giúp bạn nắm vững phương pháp tích phân từng phần và cách xử lý các tích phân của hàm phân thức. Bạn sẽ học cách chuyển đổi tích phân phức tạp về dạng cơ bản dựa trên đạo hàm của tích.

本課（ほんか）では部分（ぶぶん）積分（せきぶん）法（ほう）と分数（ぶんすう）関数（かんすう）の積分（せきぶん）の扱（あつか）い方（かた）をマスターします。積（せき）の微分（びぶん）法（ほう）に基（もと）づき、複雑（ふくざつ）な積分（せきぶん）を基本（きほん）形（けい）に変形（へんけい）する手法（しゅほう）を学（まな）びます。

部分（ぶぶん）積分（せきぶん）法（ほう）
部分積分法積の微分法分数関数部分分数分解