Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Tích phân bất định của hàm số lượng giác Phần 1三角（さんかく）関数（かんすう）の不定（ふてい）積分（せきぶん） 第（だい）1部（ぶ）

Công thức公式

\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta
\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}
\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}
\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \{\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\}

Ví dụ例題

Sử dụng công thức hạ bậc góc nhân đôi để hạ bậc biểu thức \(\cos^2\) \(\theta\) và biến đổi đưa về dạng tích phân cơ bản.

2倍角（ばいかく）の半角（はんかく）公式（こうしき）を用（もち）いて \(\cos^2\) \(\theta\) の次数（じすう）を下（さ）げ、基本（きほん）形（けい）の積分（せきぶん）に変換（へんかん）して計算（けいさん）します。

  1. Áp dụng công thức hạ bậc \(\cos^2\) \(\theta\) = \(\frac{1 + \cos 2\theta}{2}\) để viết lại biểu thức dưới dấu tích phân.次数（じすう）低減（ていげん）の公式（こうしき） \(\cos^2\) \(\theta\) = \(\frac{1 + \cos 2\theta}{2}\) を適用（てきよう）して、被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）を書き換（かきか）えます。
  2. Tách tích phân thành hai phần \(\frac{1}{2}\) \(\int\) 1 d\(\theta\) + \(\frac{1}{2}\) \(\int\) \(\cos\) 2\(\theta\) d\(\theta\) và tính nguyên hàm từng phần.積分（せきぶん）を \(\frac{1}{2}\) \(\int\) 1 d\(\theta\) + \(\frac{1}{2}\) \(\int\) \(\cos\) 2\(\theta\) d\(\theta\) に分割（ぶんかつ）し、それぞれの原子（げんし）関数（かんすう）を求（もと）めます。
Kết quả tích phân bất định của \(\cos^2\) \(\theta\) là \(\frac{\theta}{2}\) + \(\frac{\sin 2\theta}{4}\) + C.\(\cos^2\) \(\theta\) の不定（ふてい）積分（せきぶん）の結果（けっか）として \(\frac{\theta}{2}\) + \(\frac{\sin 2\theta}{4}\) + C を得（え）ます。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Biểu thức \(\sin \theta \cos \theta\) được biến đổi bằng công thức nào sau đây để tính tích phân?積分（せきぶん）計算（けいさん）のために \(\sin \theta \cos \theta\) を変形（へんけい）する正（ただ）しい公式（こうしき）はどれですか。

2. Sử dụng công thức hạ bậc \(\sin^2\) \(\theta\) = \(\frac{1 - \cos 2\theta}{2}\), hãy xác định tích phân bất định \(\int\) \(\sin^2\) \(\theta\) d\(\theta\).次数（じすう）低減（ていげん）公式（こうしき） \(\sin^2\) \(\theta\) = \(\frac{1 - \cos 2\theta}{2}\) を用（もち）いて、不定（ふてい）積分（せきぶん） \(\int\) \(\sin^2\) \(\theta\) d\(\theta\) を求（もと）めなさい。

3. Biến đổi biểu thức \(\sin\) 3\(\theta\) \(\cos\) \(\theta\) theo công thức biến đổi tích thành tổng \(\sin\) \(\alpha\) \(\cos\) \(\beta\) = \(\frac{1}{2}\) \{\(\sin\)(\(\alpha\)+\(\beta\)) + \(\sin\)(\(\alpha\)-\(\beta\))\}.積（せき）和（わ）公式（こうしき） \(\sin\) \(\alpha\) \(\cos\) \(\beta\) = \(\frac{1}{2}\) \{\(\sin\)(\(\alpha\)+\(\beta\)) + \(\sin\)(\(\alpha\)-\(\beta\))\} を用（もち）いて \(\sin\) 3\(\theta\) \(\cos\) \(\theta\) を変形（へんけい）しなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.20.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.20.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Biết cách hạ bậc \(\sin^2\) \(\theta\) và \(\cos^2\) \(\theta\) để lấy tích phân bất định.\(\sin^2\) \(\theta\) および \(\cos^2\) \(\theta\) の次数（じすう）を下（さ）げて不定（ふてい）積分（せきぶん）を計算（けいさん）できる。
  2. Áp dụng công thức tích thành tổng để biến đổi tích của các hàm lượng giác.積（せき）和（わ）公式（こうしき）を適用（てきよう）して三角（さんかく）関数（かんすう）の積（せき）を和（わ）の形（かたち）に変形（へんけい）できる。
Trực giác · イメージ

Chuyển đổi dạng tích và bậc cao về dạng tổng bậc nhất積（せき）や高次（こうじ）式（しき）を一（いち）次（じ）の和（わ）の形（かたち）へ変換（へんかん）する

Tích phân trực tiếp các hàm lượng giác bậc hai như \(\sin^2\) \(\theta\) hay tích \(\sin\) \(\alpha\) \(\cos\) \(\beta\) rất khó thực hiện ngay. Bằng cách dùng công thức góc nhân đôi và biến đổi tích thành tổng, ta đưa biểu thức về các hàm lượng giác bậc nhất đơn lẻ dễ dàng lấy nguyên hàm.

\(\sin^2\) \(\theta\) のような2次（つぎ）の三角（さんかく）関数（かんすう）や \(\sin\) \(\alpha\) \(\cos\) \(\beta\) の積（せき）の形（かたち）を直接（ちょくせつ）積分（せきぶん）するのは困難（こんなん）です。2倍角（ばいかく）の公式（こうしき）や積（せき）和（わ）公式（こうしき）を用（もち）いることで、積分（せきぶん）が容易（ようい）な1次（つぎ）の単項（たんこう）の和（わ）に書き換（かきか）えます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 三角（さんかく）関数（かんすう）hàm số lượng giác

    Hàm số lượng giác bao gồm các hàm sin, cos biểu diễn mối quan hệ góc và cạnh trong toán học. Trong tích phân, việc đưa chúng về dạng bậc nhất là chìa khóa xử lý.

    三角（さんかく）関数（かんすう）は sin や cos などの角（かく）と辺（へん）の比（ひ）を表（あらわ）す関数（かんすう）です。積分（せきぶん）においては1次（つぎ）の形（かたち）に変形（へんけい）することが計算（けいさん）の鍵（かぎ）となります。

  • 2倍角（ばいかく）の公式（こうしき）công thức góc nhân đôi

    Công thức góc nhân đôi liên hệ giá trị lượng giác của góc 2\(\theta\) với góc \(\theta\). Công thức này cho phép hạ bậc \(\sin^2\) \(\theta\) và \(\cos^2\) \(\theta\) về bậc nhất theo \(\cos\) 2\(\theta\).

    2倍角（ばいかく）の公式（こうしき）は 2\(\theta\) と \(\theta\) の三角（さんかく）関数（かんすう）の関係（かんけい）を示（しめ）します。この公式（こうしき）により \(\sin^2\) \(\theta\) や \(\cos^2\) \(\theta\) を \(\cos\) 2\(\theta\) の1次式（じしき）へ低減（ていげん）できます。

  • 積（せき）を和（わ）に変形（へんけい）する公式（こうしき）công thức biến đổi tích thành tổng

    Công thức biến đổi tích thành tổng chuyển tích của hai hàm lượng giác thành tổng các hàm lượng giác của góc tổng và góc hiệu. Dạng tổng này giúp tính tích phân dễ dàng hơn.

    積（せき）和（わ）公式（こうしき）は2つの三角（さんかく）関数（かんすう）の積（せき）を、和（わ）角（かく）および差（さ）角（かく）の三角（さんかく）関数（かんすう）の和（わ）に変換（へんかん）します。和（わ）の形（かたち）にすることで積分（せきぶん）計算（けいさん）が簡便（かんべん）になります。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    三角（さんかく）関数（かんすう）の形式（けいしき）の特定（とくてい）

    Nhận biết dạng biểu thức lượng giác

    Kiểm tra biểu thức cần tính tích phân là dạng bình phương hay dạng tích của hai hàm lượng giác khác góc.

    被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）が2乗（のり）の形（かたち）か、あるいは異（こと）なる角（かど）の積（せき）の形（かたち）かを確認（かくにん）します。

  2. 02
    適切（てきせつ）な変換（へんかん）公式（こうしき）の適用（てきよう）

    Áp dụng công thức biến đổi thích hợp

    Dùng công thức hạ bậc cho dạng bình phương hoặc công thức biến đổi tích thành tổng cho dạng tích.

    2乗（のり）の形（かたち）には半角（はんかく）（次数（じすう）低減（ていげん））公式（こうしき）を、積（せき）の形（かたち）には積（せき）和（わ）公式（こうしき）を適用（てきよう）します。

  3. 03
    各項（かくこう）の原子（げんし）関数（かんすう）の計算（けいさん）と定数（ていすう）の付加（ふか）

    Tính nguyên hàm từng phần tử và thêm C

    Tính tích phân của từng hàm lượng giác bậc nhất thu được và cộng thêm hằng số C.

    得（え）られた1次（つぎ）三角（さんかく）関数（かんすう）の各項（かくこう）の積分（せきぶん）を計算（けいさん）し、定数（ていすう） C を加（くわ）えます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn dấu trừ và dấu cộng giữa công thức hạ bậc của \(\sin^2\) \(\theta\) và \(\cos^2\) \(\theta\).\(\sin^2\) \(\theta\) と \(\cos^2\) \(\theta\) の次数（じすう）低減（ていげん）公式（こうしき）において、符号（ふごう）（プラスとマイナス）を混同（こんどう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Ghi nhớ \(\sin^2\) \(\theta\) mang dấu trừ (1 - \(\cos\) 2\(\theta\))/2 còn \(\cos^2\) \(\theta\) mang dấu cộng (1 + \(\cos\) 2\(\theta\))/2.\(\sin^2\) \(\theta\) はマイナス (1 - \(\cos\) 2\(\theta\))/2、\(\cos^2\) \(\theta\) はプラス (1 + \(\cos\) 2\(\theta\))/2 であることを正確（せいかく）に記憶（きおく）します。

Quên nhân hệ số 1/2 ở bên ngoài khi áp dụng các công thức góc nhân đôi hoặc tích thành tổng.2倍角（ばいかく）や積（せき）和（わ）の公式（こうしき）を適用（てきよう）する際（さい）、外側（そとがわ）の係数（けいすう） 1/2 を掛（か）け忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn chú ý hệ số 1/2 xuất hiện trước các biểu thức biến đổi để không làm sai lệch kết quả.変換（へんかん）後（ご）の式（しき）の前（まえ）に現（あらわ）れる係数（けいすう） 1/2 を常（つね）に意識（いしき）し、正確（せいかく）に計算（けいさん）に含（ふく）めます。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Công thức hạ bậc đưa \(\sin^2\) \(\theta\) và \(\cos^2\) \(\theta\) về dạng bậc nhất theo \(\cos\) 2\(\theta\).次数（じすう）低減（ていげん）公式（こうしき）により \(\sin^2\) \(\theta\) および \(\cos^2\) \(\theta\) を \(\cos\) 2\(\theta\) の1次式（じしき）に変形（へんけい）できます。
  • Công thức biến đổi tích thành tổng giúp giải quyết các tích phân của tích hai hàm lượng giác.積（せき）和（わ）公式（こうしき）を用（もち）いることで、三角（さんかく）関数（かんすう）の積（せき）の積分（せきぶん）を効果（こうか）的（てき）に計算（けいさん）できます。
  • Luôn kiểm tra kỹ hệ số 1/2 và dấu cộng/trừ trong quá trình biến đổi lượng giác.三角（さんかく）関数（かんすう）の変形（へんけい）過程（かてい）では、係数（けいすう） 1/2 や符号（ふごう）を正（ただ）しくチェックすることが重要（じゅうよう）です。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta

Biến đổi tích sin và cos của cùng một góc thành hàm sin của góc nhân đôi.

同（おな）じ角（かく）の sin と cos の積（せき）を、2倍角（ばいかく）の sin に変換（へんかん）する公式（こうしき）です。

\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}

Công thức hạ bậc đối với \(\sin^2\) \(\theta\) giúp đưa về hàm \(\cos\) 2\(\theta\) bậc nhất.

\(\sin^2\) \(\theta\) の次数（じすう）を \(\cos\) 2\(\theta\) の1次式（じしき）へ低減（ていげん）する公式（こうしき）です。

\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}

Công thức hạ bậc đối với \(\cos^2\) \(\theta\) giúp đưa về hàm \(\cos\) 2\(\theta\) bậc nhất.

\(\cos^2\) \(\theta\) の次数（じすう）を \(\cos\) 2\(\theta\) の1次式（じしき）へ低減（ていげん）する公式（こうしき）です。

\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \{\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\}

Công thức biến đổi tích của \(\sin \alpha\) và \(\cos \beta\) thành tổng hai hàm sin.

\(\sin \alpha\) と \(\cos \beta\) の積（せき）を2つの sin の和（わ）に変換（へんかん）する積（せき）和（わ）公式（こうしき）です。

EJU 2026 · MATH.20.1

Bài học này hướng dẫn kỹ thuật hạ bậc và biến đổi tích thành tổng đối với các hàm số lượng giác khi tính tích phân bất định. Việc đưa biểu thức bậc cao hoặc dạng tích về dạng bậc nhất giúp tính nguyên hàm một cách trực tiếp.

本課（ほんか）では、不定（ふてい）積分（せきぶん）における三角（さんかく）関数（かんすう）の次数（じすう）低減（ていげん）および積（せき）和（わ）公式（こうしき）を用（もち）いた変形（へんけい）手法（しゅほう）を解説（かいせつ）します。高次（こうじ）式（しき）や積（せき）の形（かたち）を一（いち）次（じ）の和（わ）に変形（へんけい）することで、直接（ちょくせつ）原子（げんし）関数（かんすう）を求（もと）めることができます。

三角（さんかく）関数（かんすう）の不定（ふてい）積分（せきぶん） 第（だい）1部（ぶ）
三角関数2倍角の公式積を和に変形する公式