Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Phương trình cực của đường tròn円（えん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）

Công thức公式

r = 2r_0 \cos(\theta - \theta_0)
r^2 - 2r r_0 \cos(\theta - \theta_0) + r_0^2 = a^2
r^2 = \frac{b^2}{1 - e^2 \cos^2 \theta}
e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}

Ví dụ例題

Cho đường tròn có tâm tại điểm (3, 0) trong hệ tọa độ cực và đi qua gốc cực. Hãy tìm phương trình cực của đường tròn này và tính r khi \(\theta = \pi / 3\).

極（ごく）座標（ざひょう）系（けい）において、中心（ちゅうしん）が極（ごく）座標（ざひょう）(3, 0)であり極（きょく）を通（とお）る円（えん）を考（かんが）えます。この円（えん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）を求（もと）め、\(\theta = \pi / 3\)のときのrの値（あたい）を計算（けいさん）しなさい。

  1. Do đường tròn đi qua cực và có tâm tại (\(r_{0}\), \(\theta_{0}\)) = (3, 0), bán kính đường tròn là \(r_{0} = 3\). Áp dụng công thức \(r = 2 r_{0} \cos (\theta - \theta_{0})\), ta có \(r = 2\cdot 3\cdot \cos (\theta - 0) = 6 \cos \theta\).円（えん）が極（きょく）を通（とお）り中心（ちゅうしん）が(\(r_{0}\), \(\theta_{0}\)) = (3, 0)であるため、半径（はんけい）は\(r_{0} = 3\)です。公式（こうしき）\(r = 2 r_{0} \cos (\theta - \theta_{0})\)を適用（てきよう）すると、\(r = 2\cdot 3\cdot \cos (\theta - 0) = 6 \cos \theta\)となります。
  2. Thay \(\theta = \pi / 3\) vào phương trình \(r = 6 \cos \theta\). Ta có \(\cos (\pi / 3) = 1 / 2\), do đó r = 6 * (1/2) = 3.\(\theta = \pi / 3\)を方程（ほうてい）式（しき）\(r = 6 \cos \theta\)に代入（だいにゅう）します。\(\cos (\pi / 3) = 1 / 2\)なので、r = 6 * (1/2) = 3を得（え）ます。
Phương trình cực của đường tròn là \(r = 6 \cos \theta\). Khi \(\theta = \pi / 3\), giá trị của r là 3.円（えん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）は\(r = 6 \cos \theta\)であり、\(\theta = \pi / 3\)のときrの値（あたい）は3となります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Trong hệ tọa độ cực, đường tròn đi qua gốc cực có tâm tại điểm (2, \(\pi / 4\)). Phương trình cực của đường tròn này là gì?極（ごく）座標（ざひょう）系（けい）において、極（きょく）を通（とお）り中心（ちゅうしん）が点（てん）(2, \(\pi / 4\))にある円（えん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）はどれか。

2. Một elip có bán trục lớn a = 5 và bán trục nhỏ b = 4. Giá trị tâm sai e của elip này là bao nhiêu?長（ちょう）半径（はんけい）a = 5、短（たん）半径（はんけい）b = 4である楕円（だえん）の離心（りしん）率（りつ）eの値（あたい）はいくらか。

3. Đường tròn có phương trình \(r^{2} - 4 r \cos (\theta) + 3 = 0\) có bán kính a bằng bao nhiêu?方程（ほうてい）式（しき）\(r^{2} - 4 r \cos (\theta) + 3 = 0\)で表（あらわ）される円（えん）の半径（はんけい）aの値（あたい）はいくらか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.16.3. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.16.3。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững công thức phương trình cực của đường tròn đi qua cực và đường tròn tổng quát.極（きょく）を通（とお）る円（えん）および一般（いっぱん）の円（えん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）の公式（こうしき）を習得（しゅうとく）する。
  2. Hiểu phương trình cực của elip và công thức tính tâm sai e từ bán trục a, b.楕円（だえん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）と、長（ちょう）半径（はんけい）a・短（たん）半径（はんけい）bから離心（りしん）率（りつ）eを求（もと）める公式（こうしき）を理解（りかい）する。
Trực giác · イメージ

Trực giác về khoảng cách từ gốc cực đến đường tròn và đường bậc hai極（きょく）からの距離（きょり）と角度（かくど）による円（えん）・2次（じ）曲線（きょくせん）の捉（とら）え方（かた）

Trong hệ tọa độ cực, một điểm được xác định bởi khoảng cách r đến cực và góc \(\theta\). Sử dụng định lý cosin trong tam giác tạo bởi cực, tâm và điểm trên đường tròn, ta thu được mối liên hệ tổng quát giữa r và \(\theta\). Đối với đường bậc hai như elip, tâm sai e thể hiện mức độ dẹt của đường cong.

極（ごく）座標（ざひょう）では、点（てん）の位置（いち）は極（きょく）からの距離（きょり）rと偏角（へんかく）\(\theta\)で表（あらわ）されます。極（きょく）、中心（ちゅうしん）、曲線（きょくせん）上（じょう）の点（てん）で作（つく）る三角形（さんかくけい）に余弦（よげん）定理（ていり）を適用（てきよう）すると、rと\(\theta\)の間（あいだ）の関係（かんけい）式（しき）が得（え）られます。楕円（だえん）などの2次（じ）曲線（きょくせん）では、離心（りしん）率（りつ）eが曲線（きょくせん）のつぶれ具合（ぐあい）を表（あらわ）します。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 円（えん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）phương trình cực của đường tròn

    Phương trình biểu diễn vị trí các điểm thuộc đường tròn thông qua khoảng cách r và góc \(\theta\) trong hệ tọa độ cực.

    極（ごく）座標（ざひょう）系（けい）において、極（きょく）からの距離（きょり）rと偏角（へんかく）\(\theta\)を用（もち）いて円上（えんじょう）の点（てん）の位置（いち）を表（あらわ）す方程（ほうてい）式（しき）。

  • 極（ごく）座標（ざひょう）tọa độ cực

    Hệ tọa độ xác định điểm trên mặt phẳng bằng khoảng cách r từ gốc cực và góc \(\theta\) so với trục cực.

    極（きょく）からの距離（きょり）rと始線（しせん）からの偏角（へんかく）\(\theta\)のペアによって平面（へいめん）上（じょう）の点（てん）を示（しめ）す座標（ざひょう）系（けい）。

  • 半径（はんけい）bán kính

    Khoảng cách cố định từ tâm của đường tròn đến mọi điểm trên đường tròn đó.

    円（えん）の中心（ちゅうしん）からその円周（えんしゅう）上（じょう）の任意（にんい）の点（てん）までの一定（いってい）の距離（きょり）。

  • 楕円（だえん）elip

    Đường cong bậc hai đối xứng có phương trình cực r^2 = b^2 / (1 - e^2 cos^2 theta) khi nhận gốc tọa độ làm tâm.

    原点（げんてん）を中心（ちゅうしん）とするとき、極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）r^2 = b^2 / (1 - e^2 cos^2 theta)で表（あらわ）される対称（たいしょう）な2次（じ）曲線（きょくせん）。

  • 極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）phương trình cực

    Phương trình thiết lập mối quan hệ giữa khoảng cách r và góc quay \(\theta\) trong hệ tọa độ cực.

    極（ごく）座標（ざひょう）系（けい）において、距離（きょり）rと偏角（へんかく）\(\theta\)の関係（かんけい）を記述（きじゅつ）した方程（ほうてい）式（しき）。

  • 離心（りしん）率（りつ）tâm sai

    Đại lượng đo độ dẹt của đường elip, tính bởi công thức \(e = \sqrt{a^{2} - b^{2}} / a\).

    楕円（だえん）のつぶれ具合（ぐあい）を表（あらわ）す数値（すうち）で、公式（こうしき）\(e = \sqrt{a^{2} - b^{2}} / a\)により計算（けいさん）される。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    中心（ちゅうしん）の極（ごく）座標（ざひょう）と半径（はんけい）の特定（とくてい）

    Xác định tọa độ tâm và bán kính

    Xác định tọa độ cực của tâm (\(r_{0}\), \(\theta_{0}\)) và bán kính a. Việc này giúp chọn đúng dạng phương trình cực thích hợp.

    中心（ちゅうしん）の極（ごく）座標（ざひょう）(\(r_{0}\), \(\theta_{0}\))と半径（はんけい）aを確認（かくにん）します。これにより適切（てきせつ）な極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）の形（かたち）を選択（せんたく）します。

  2. 02
    余弦（よげん）定理（ていり）を用（もち）いた極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）の導出（どうしゅつ）

    Áp dụng định lý cosin xây dựng phương trình

    Áp dụng định lý cosin cho tam giác với các đỉnh là cực, tâm và điểm (r, \(\theta\)) trên đường tròn. Kết quả thu được phương trình \(r^{2} - 2 r\) \(r_{0} \cos (\theta - \theta_{0}) + r_{0}^{2} = a^{2}\).

    極（きょく）、中心（ちゅうしん）、円上（えんじょう）の点（てん）(r, \(\theta\))を結（むす）ぶ三角形（さんかくけい）に余弦（よげん）定理（ていり）を適用（てきよう）します。これにより\(r^{2} - 2 r\) \(r_{0} \cos (\theta - \theta_{0}) + r_{0}^{2} = a^{2}\)が得（え）られます。

  3. 03
    極（きょく）を通（とお）る特別（とくべつ）な場合（ばあい）の検討（けんとう）

    Xét trường hợp đường tròn qua cực

    Khi bán kính a bằng khoảng cách \(r_{0}\) từ cực đến tâm, đường tròn đi qua cực. Phương trình đơn giản hóa thành \(r = 2 r_{0} \cos (\theta - \theta_{0})\).

    半径（はんけい）aが極（きょく）から中心（ちゅうしん）までの距離（きょり）\(r_{0}\)に等（ひと）しいとき、円（えん）は極（きょく）を通（とお）ります。方程（ほうてい）式（しき）は\(r = 2 r_{0} \cos (\theta - \theta_{0})\)に簡単（かんたん）化（か）されます。

  4. 04
    楕円（だえん）の方程（ほうてい）式（しき）と離心（りしん）率（りつ）の計算（けいさん）

    Biểu diễn elip và tính tâm sai

    Đối với elip nhận gốc tọa độ làm tâm, phương trình cực có dạng r^2 = b^2 / (1 - e^2 cos^2 theta). Tâm sai được tính bởi e = sqrt(a^2 - b^2) / a.

    原点（げんてん）を中心（ちゅうしん）とする楕円（だえん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）はr^2 = b^2 / (1 - e^2 cos^2 theta)となります。離心（りしん）率（りつ）eはe = sqrt(a^2 - b^2) / aで計算（けいさん）されます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn giữa đường tròn đi qua cực \(r = 2 r_{0} \cos (\theta - \theta_{0})\) và đường tròn có tâm tại cực r = a.極（きょく）を通（とお）る円（えん）\(r = 2 r_{0} \cos (\theta - \theta_{0})\)と、極（きょく）を中心（ちゅうしん）とする円（えん）r = aを混同（こんどう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Kiểm tra vị trí tâm: nếu tâm nằm tại cực (0,0) thì phương trình chỉ là r = a, còn nếu đường tròn đi qua cực thì bán kính bằng khoảng cách từ cực tới tâm \(r_{0}\).中心（ちゅうしん）の位置（いち）を確認（かくにん）します。中心（ちゅうしん）が極（きょく）(0,0)にある場合（ばあい）はr = aとなり、円（えん）が極（きょく）を通（とお）る場合（ばあい）は半径（はんけい）が極（きょく）から中心（ちゅうしん）までの距離（きょり）\(r_{0}\)と一致（いっち）します。

Tính sai tâm sai e của elip khi nhầm công thức \(e = \sqrt{a^{2} - b^{2}} / a\) thành \(\sqrt{a^{2} + b^{2}} / a\).楕円（だえん）の離心（りしん）率（りつ）の公式（こうしき）を\(e = \sqrt{a^{2} + b^{2}} / a\)と誤（あやま）って記憶（きおく）し、計算（けいさん）を間違（まちが）えること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Nhớ rằng với elip, bán trục lớn a luôn lớn hơn bán trục nhỏ b, do đó tâm sai \(e = \sqrt{a^{2} - b^{2}} / a\) luôn thỏa mãn 0 < e < 1.楕円（だえん）では長（ちょう）半径（はんけい）aが短（たん）半径（はんけい）bより常（つね）に大（おお）きいため、離心（りしん）率（りつ）\(e = \sqrt{a^{2} - b^{2}} / a\)は必（かなら）ず0 < e < 1の範囲（はんい）になることを確認（かくにん）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Đường tròn qua gốc cực với tâm (\(r_{0}\), \(\theta_{0}\)) có phương trình đơn giản \(r = 2 r_{0} \cos (\theta - \theta_{0})\).極（きょく）を通（とお）り中心（ちゅうしん）が(\(r_{0}\), \(\theta_{0}\))の円（えん）は、簡単（かんたん）な極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）\(r = 2 r_{0} \cos (\theta - \theta_{0})\)で表（あらわ）されます。
  • Phương trình đường tròn tổng quát có tâm (\(r_{0}\), \(\theta_{0}\)) và bán kính a là \(r^{2} - 2 r\) \(r_{0} \cos (\theta - \theta_{0}) + r_{0}^{2} = a^{2}\).中心（ちゅうしん）(\(r_{0}\), \(\theta_{0}\))、半径（はんけい）aの一般（いっぱん）の円（えん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）は\(r^{2} - 2 r\) \(r_{0} \cos (\theta - \theta_{0}) + r_{0}^{2} = a^{2}\)です。
  • Elip tâm tại cực có phương trình r^2 = b^2 / (1 - e^2 cos^2 theta) với tâm sai e = sqrt(a^2 - b^2) / a.極（きょく）を中心（ちゅうしん）とする楕円（だえん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）はr^2 = b^2 / (1 - e^2 cos^2 theta)であり、離心（りしん）率（りつ）はe = sqrt(a^2 - b^2) / aです。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

r = 2r_0 \cos(\theta - \theta_0)

Phương trình cực của đường tròn bán kính \(r_{0}\) đi qua gốc cực và có tâm tại (\(r_{0}\), \(\theta_{0}\)).

極（きょく）を通（とお）り、中心（ちゅうしん）が(\(r_{0}\), \(\theta_{0}\))で半径（はんけい）\(r_{0}\)の円（えん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）。

r^2 - 2r r_0 \cos(\theta - \theta_0) + r_0^2 = a^2

Phương trình cực tổng quát của đường tròn bán kính a có tâm tại điểm (\(r_{0}\), \(\theta_{0}\)).

中心（ちゅうしん）が(\(r_{0}\), \(\theta_{0}\))で半径（はんけい）aの円（えん）の一般（いっぱん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）。

r^2 = \frac{b^2}{1 - e^2 \cos^2 \theta}

Phương trình cực của elip có bán trục lớn a, bán trục nhỏ b và tâm sai e.

長（ちょう）半径（はんけい）a、短（たん）半径（はんけい）b、離心（りしん）率（りつ）eを持（も）つ楕円（だえん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）。

e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}

Công thức tính tâm sai e của elip từ bán trục lớn a và bán trục nhỏ b.

長（ちょう）半径（はんけい）aと短（たん）半径（はんけい）bから楕円（だえん）の離心（りしん）率（りつ）eを求（もと）める公式（こうしき）。

EJU 2026 · MATH.16.3

Phương trình cực của đường tròn và đường bậc hai biểu diễn mối quan hệ giữa khoảng cách và góc hướng trong hệ tọa độ cực. Việc nắm vững các dạng phương trình này giúp giải nhanh các bài toán hình học trong kỳ thi EJU.

円（えん）や2次（じ）曲線（きょくせん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）は、極（ごく）座標（ざひょう）系（けい）における距離（きょり）と偏差（へんさ）角（かく）の関係（かんけい）を表（あらわ）します。これらの標準（ひょうじゅん）形（けい）を理解（りかい）することで、EJUの平面（へいめん）図形（ずけい）問題（もんだい）を効率（こうりつ）的（てき）に解（と）くことができます。

円（えん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）
円の極方程式極座標半径楕円