Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Phương trình cực và tọa độ vuông góc極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）と直交（ちょっこう）座標（ざひょう）

Công thức公式

r \cos \theta = x
r \sin \theta = y
r = \sqrt{x^2 + y^2}
\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1

Ví dụ例題

Cho phương trình cực của một đường thẳng là \(r \cos (\theta) = 3\). Hãy chuyển phương trình cực này sang tọa độ vuông góc và xác định khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó.

直線（ちょくせん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき） \(r \cos (\theta) = 3\) が与（あた）えられています。この極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）を直交（ちょっこう）座標（ざひょう）に変換（へんかん）し、原点（げんてん）からこの直線（ちょくせん）までの距離（きょり）を求（もと）めなさい。

  1. Áp dụng công thức liên hệ \(r \cos (\theta) = x\), ta thay \(r \cos (\theta)\) bằng x vào phương trình.関係（かんけい）式（しき） \(r \cos (\theta) = x\) を適用（てきよう）し、方程（ほうてい）式（しき）の \(r \cos (\theta)\) を x に置き換（おきか）えます。
  2. Ta thu được phương trình trong hệ tọa độ vuông góc là x = 3.直交（ちょっこう）座標（ざひょう）系（けい）における方程（ほうてい）式（しき） x = 3 が得（え）られます。
  3. Đường thẳng x = 3 là đường thẳng song song với trục Oy, do đó khoảng cách từ gốc tọa độ (0, 0) đến đường thẳng này chính bằng 3.直線（ちょくせん） x = 3 はy軸（じく）に平行（へいこう）な直線（ちょくせん）であるため、原点（げんてん）(0, 0)からこの直線（ちょくせん）までの距離（きょり）はまさに3となります。
Phương trình trong tọa độ vuông góc là x = 3 và khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng bằng 3.直交（ちょっこう）座標（ざひょう）での方程（ほうてい）式（しき）は x = 3 であり、原点（げんてん）から直線（ちょくせん）までの距離（きょり）は 3 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho điểm A trong tọa độ cực có r = 5 và \(\cos (\theta) = 3 / 5\). Hoành độ x của điểm A trong tọa độ vuông góc bằng bao nhiêu?極（ごく）座標（ざひょう）における点（てん）Aが r = 5 かつ \(\cos (\theta) = 3 / 5\) で与（あた）えられています。直交（ちょっこう）座標（ざひょう）における点（てん）Aのx座標（ざひょう）はいくらですか。

2. Phương trình cực \(r \cos (\theta) = 4\) tương ứng với đường thẳng nào trong tọa độ vuông góc?極（ごく）方程（ほうてい）式（しき） \(r \cos (\theta) = 4\) は直交（ちょっこう）座標（ざひょう）においてどの直線（ちょくせん）に対応（たいおう）しますか。

3. Nếu điểm M có tọa độ vuông góc (x, y) = (3, 4), giá trị của bán kính cực r bằng bao nhiêu?点（てん）Mの直交（ちょっこう）座標（ざひょう）が (x, y) = (3, 4) のとき、極（ごく）径（けい） r の値（あたい）はいくらですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.16.3. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.16.3。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững các công thức chuyển đổi qua lại giữa tọa độ cực và tọa độ vuông góc.極（ごく）座標（ざひょう）と直交（ちょっこう）座標（ざひょう）の間（あいだ）の相互（そうご）変換（へんかん）公式（こうしき）をマスターすること。
  2. Biết cách lập và biến đổi phương trình cực của đường thẳng.直線（ちょくせん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）の立（りっ）式（しき）と変形（へんけい）方法（ほうほう）を理解（りかい）すること。
  3. Áp dụng công thức lượng giác góc nhân đôi để đơn giản hóa phương trình cực.倍角（ばいかく）の公式（こうしき）を適用（てきよう）して極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）を簡略（かんりゃく）化（か）できること。
Trực giác · イメージ

Trực giác về sự chuyển đổi giữa hệ tọa độ cực và tọa độ vuông góc極（ごく）座標（ざひょう）系（けい）と直交（ちょっこう）座標（ざひょう）系（けい）の変換（へんかん）に関（かん）する直感（ちょっかん）的（てき）理解（りかい）

Tọa độ vuông góc dựa trên lưới tọa độ x và y thẳng đứng, trong khi tọa độ cực dựa trên khoảng cách và góc xoay từ tia gốc. Việc chuyển đổi qua lại giúp ta chọn hệ tọa độ tối ưu nhất cho từng dạng bài toán.

直交（ちょっこう）座標（ざひょう）は垂直（すいちょく）なx軸（じく）とy軸（じく）の格子（こうし）に基（もと）づいており、極（ごく）座標（ざひょう）は始線（しせん）からの距離（きょり）と回転（かいてん）角（かく）に基（もと）づきます。相互（そうご）に変換（へんかん）することで、各（かく）問題（もんだい）に最適（さいてき）な座標（ざひょう）系（けい）を選択（せんたく）できます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）phương trình cực

    Phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa bán kính cực r và góc cực \(\theta\) của các điểm trên hình.

    図形（ずけい）上（じょう）の点（てん）の極（ごく）径（けい）rと偏角（へんかく）\(\theta\)の関係（かんけい）を表（あらわ）す方程（ほうてい）式（しき）です。

  • 直交（ちょっこう）座標（ざひょう）tọa độ vuông góc

    Hệ tọa độ Cartesian xác định vị trí điểm bằng hai trục vuông góc Ox và Oy.

    互（たが）いに直交（ちょっこう）するOx軸（じく）とOy軸（じく）によって点（てん）の位置（いち）を特定（とくてい）するデカルト座標（ざひょう）系（けい）です。

  • 直線（ちょくせん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）phương trình cực của đường thẳng

    Dạng biểu diễn đường thẳng trong hệ tọa độ cực thông qua quan hệ giữa r và \(\theta\).

    rと\(\theta\)の関係（かんけい）を通（つう）じて極（ごく）座標（ざひょう）系（けい）で直線（ちょくせん）を表現（ひょうげん）した形式（けいしき）です。

  • 定点（ていてん）điểm cố định

    Điểm có tọa độ không đổi được dùng làm mốc hoặc cực trong hệ tọa độ.

    座標（ざひょう）系（けい）において基準（きじゅん）や極（きょく）として用（もち）いられる、座標（ざひょう）が変化（へんか）しない固定（こてい）された点（てん）です。

  • 始線（しせん）tia gốc

    Tia xuất phát từ cực (tương ứng với nửa trục dương Ox) dùng để đo góc cực \(\theta\).

    偏角（へんかく）\(\theta\)を測（はか）る基準（きじゅん）となる、極（きょく）から伸（の）びる線（せん）（x軸（じく）の正（せい）の部分（ぶぶん）に対応（たいおう））です。

  • 単位（たんい）円（えん）đường tròn đơn vị

    Đường tròn có bán kính r = 1 có tâm tại gốc tọa độ, ứng với \(r^{2} = x^{2} + y^{2} = 1\).

    原点（げんてん）を中心（ちゅうしん）とし半径（はんけい）r = 1の円（えん）であり、\(r^{2} = x^{2} + y^{2} = 1\) に対応（たいおう）します。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：基本（きほん）関係（かんけい）式（しき） \(r \cos \theta = x\) および \(r \sin \theta = y\) の適用（てきよう）

    Bước 1: Áp dụng các công thức liên hệ cơ bản \(r \cos \theta = x\) và \(r \sin \theta = y\)

    Thay thế x và y bằng \(r \cos (\theta)\) và \(r \sin (\theta)\) khi muốn đổi từ phương trình vuông góc sang phương trình cực. Thao tác ngược lại được dùng khi muốn đưa về mặt phẳng Cartesian.

    直交（ちょっこう）座標（ざひょう）の方程（ほうてい）式（しき）から極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）へ変換（へんかん）する際（さい）、xとyを \(r \cos (\theta)\) と \(r \sin (\theta)\) に置き換（おきか）えます。直交（ちょっこう）座標（ざひょう）系（けい）に戻（もど）す場合（ばあい）は逆（ぎゃく）の操作（そうさ）を行（おこな）います。

  2. 02
    ステップ2：半径（はんけい）の関係（かんけい）式（しき） \(r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\) の利用（りよう）

    Bước 2: Sử dụng quan hệ bán kính \(r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\)

    Thay \(r^{2} = x^{2} + y^{2}\) vào các biểu thức chứa bán kính cực r. Điều này giúp loại bỏ đại lượng r và thu được phương trình theo x và y.

    極（ごく）径（けい）rを含（ふく）む式（しき）に \(r^{2} = x^{2} + y^{2}\) を代入（だいにゅう）します。これにより変数（へんすう）rを消去（しょうきょ）し、xとyのみの方程（ほうてい）式（しき）を得（え）ることができます。

  3. 03
    ステップ3：直線（ちょくせん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）の立（りっ）式（しき）

    Bước 3: Thiết lập phương trình cực của đường thẳng

    Đường thẳng vuông góc với trục cực tại x = c có phương trình cực dạng \(r \cos (\theta) = c\). Từ đó suy ra \(r = c / \cos (\theta)\).

    x = c で始線（しせん）に垂直（すいちょく）な直線（ちょくせん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）は \(r \cos (\theta) = c\) となります。ここから \(r = c / \cos (\theta)\) が導（みちび）かれます。

  4. 04
    ステップ4：倍角（ばいかく）の公式（こうしき）を用（もち）いた三角（さんかく）関数（かんすう）の変形（へんけい）

    Bước 4: Biến đổi biểu thức lượng giác bằng công thức nhân đôi

    Sử dụng cos(2 theta) = 2 cos^2(theta) - 1 để đơn giản hóa các phương trình có chứa cos(2 theta). Biến đổi này giúp quy phương trình cực phức tạp về dạng bậc hai theo r cos(theta).

    cos(2 theta) = 2 cos^2(theta) - 1 を用（もち）いて cos(2 theta) を含（ふく）む方程（ほうてい）式（しき）を簡略（かんりゃく）化（か）します。この変形（へんけい）により、複雑（ふくざつ）な極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）を r cos(theta) の2次（じ）形式（けいしき）に帰着（きちゃく）させます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn giữa \(r \cos (\theta)\) và \(r \sin (\theta)\) dẫn đến xác định sai hoành độ x và tung độ y.\(r \cos (\theta)\) と \(r \sin (\theta)\) を混同（こんどう）し、x座標（ざひょう）とy座標（ざひょう）を誤（あやま）って特定（とくてい）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Ghi nhớ rằng \(r \cos (\theta)\) luôn gắn liền với hoành độ x, còn \(r \sin (\theta)\) gắn liền với tung độ y.\(r \cos (\theta)\) は常（つね）にx座標（ざひょう）に、\(r \sin (\theta)\) はy座標（ざひょう）に対応（たいおう）することを覚（おぼ）えておきましょう。

Quên điều kiện r >= 0 khi áp dụng \(r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\) trong biến đổi phương trình.方程（ほうてい）式（しき）の変形（へんけい）において \(r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\) を適用（てきよう）する際（さい）、r >= 0 の条件（じょうけん）を忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Bán kính cực r đại diện cho khoảng cách nên luôn mang giá trị không âm, cần chú ý miền xác định của các biến.極（ごく）径（けい）rは距離（きょり）を表（あらわ）すため常（つね）に非（ひ）負（ふ）の値（あたい）をとります。変数（へんすう）の定義（ていぎ）域（いき）に注意（ちゅうい）してください。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Công thức \(r \cos (\theta) = x\) và \(r \sin (\theta) = y\) dùng để chuyển đổi tọa độ cực sang tọa độ vuông góc.公式（こうしき） \(r \cos (\theta) = x\) および \(r \sin (\theta) = y\) は極（ごく）座標（ざひょう）から直交（ちょっこう）座標（ざひょう）への変換（へんかん）に用（もち）いられます。
  • Khoảng cách r từ gốc tọa độ đến điểm (x, y) được tính bằng \(r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\).原点（げんてん）から点（てん）(x, y)までの距離（きょり）rは \(r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\) で計算（けいさん）されます。
  • Phương trình cực của đường thẳng vuông góc với tia gốc có dạng \(r \cos (\theta) = c\).始線（しせん）に垂直（すいちょく）な直線（ちょくせん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）は \(r \cos (\theta) = c\) の形式（けいしき）を持（も）ちます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

r \cos \theta = x

Công thức chuyển đổi hoành độ x từ tọa độ cực sang tọa độ vuông góc.

極（ごく）座標（ざひょう）から直交（ちょっこう）座標（ざひょう）のx座標（ざひょう）へ変換（へんかん）する公式（こうしき）です。

r \sin \theta = y

Công thức chuyển đổi tung độ y từ tọa độ cực sang tọa độ vuông góc.

極（ごく）座標（ざひょう）から直交（ちょっこう）座標（ざひょう）のy座標（ざひょう）へ変換（へんかん）する公式（こうしき）です。

r = \sqrt{x^2 + y^2}

Công thức tính khoảng cách r từ gốc tọa độ đến điểm (x, y).

原点（げんてん）から点（てん）(x, y)までの距離（きょり）rを計算（けいさん）する公式（こうしき）です。

\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1

Công thức nhân đôi của cosin dùng để đơn giản hóa phương trình cực.

極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）を簡略（かんりゃく）化（か）するために用（もち）いられるコサインの倍角（ばいかく）公式（こうしき）です。

EJU 2026 · MATH.16.3

Bài học cung cấp phương pháp chuyển đổi hai chiều giữa phương trình cực và tọa độ vuông góc, đồng thời thiết lập phương trình cực của đường thẳng. Kiến thức này là công cụ quan trọng giúp giải quyết các bài toán tọa độ nâng cao trong EJU.

本課（ほんか）では、極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）と直交（ちょっこう）座標（ざひょう）の間（あいだ）の相互（そうご）変換（へんかん）方法（ほうほう）および直線（ちょくせん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）の導出（どうしゅつ）を学（まな）びます。この知識（ちしき）はEJUにおける高度（こうど）な座標（ざひょう）問題（もんだい）を解決（かいけつ）するための重要（じゅうよう）なツールです。

極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）と直交（ちょっこう）座標（ざひょう）
極方程式直交座標直線の極方程式定点