Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Số điểm chung của đường bậc hai và đường thẳng2次（じ）曲線（きょくせん）と直線（ちょくせん）の共有（きょうゆう）点（てん）の個数（こすう）

Công thức公式

\frac{D}{4}=(2k)^2-8(k^2-4)=-4(k^2-8)
X=\frac{\alpha+\beta}{2}
Y=\frac{3}{2}(\alpha+\beta)+k
y=-x

Ví dụ例題

Cho đường thẳng y = 3x + k và đường bậc hai. Xét điều kiện của k để đường thẳng cắt đường bậc hai tại 2 điểm phân biệt và tìm phương trình quỹ tích của trung điểm đoạn nối hai giao điểm.

直線（ちょくせん） y = 3x + k と2次（じ）曲線（きょくせん）を考（かんが）えます。直線（ちょくせん）が2次（じ）曲線（きょくせん）と異（こと）なる2点（てん）で交（まじ）わるkの条件（じょうけん）を求（もと）め、2つの交点（こうてん）を結（むす）ぶ線分（せんぶん）の中点（ちゅうてん）の軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）を求（もと）めなさい。

  1. Lập phương trình hoành độ giao điểm và tính \(D / 4 = (2 k)^{2} - 8 (k^{2} - 4) = -4 (k^{2} - 8)\). Để có 2 giao điểm phân biệt, ta cần D/4 > 0, tức là \(k^{2} < 8\).x座標（ざひょう）の交点（こうてん）方程（ほうてい）式（しき）を作成（さくせい）し、判別（はんべつ）式（しき） \(D / 4 = (2 k)^{2} - 8 (k^{2} - 4) = -4 (k^{2} - 8)\) を計算（けいさん）します。異（こと）なる2点（てん）で交（まじ）わるには D/4 > 0 つまり \(k^{2} < 8\) が必要（ひつよう）です。
  2. Gọi hai nghiệm là \(\alpha\) và \(\beta\). Hoành độ trung điểm là \(X = (\alpha + \beta) / 2\) và tung độ trung điểm là \(Y = (3 / 2) (\alpha + \beta) + k\).2解（かい）をα, βとすると、中点（ちゅうてん）のx座標（ざひょう）は X = (α + β)/2、y座標（ざひょう）は Y = (3/2)(α + β) + k となります。
  3. Biểu diễn k theo X rồi thế vào Y, ta thu được phương trình quỹ tích y = -x với giới hạn thích hợp của x.Xからkを求（もと）めてYの式（しき）に代入（だいにゅう）すると、適切（てきせつ）なxの範囲（はんい）を持（も）つ軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき） y = -x が得（え）られます。
Vậy đường thẳng cắt đường bậc hai tại 2 điểm phân biệt khi \(k^{2} < 8\), và quỹ tích trung điểm nằm trên đường thẳng y = -x.したがって、直線（ちょくせん）が2次（じ）曲線（きょくせん）と異（こと）なる2点（てん）で交（まじ）わる条件（じょうけん）は \(k^{2} < 8\) であり、中点（ちゅうてん）の軌跡（きせき）は直線（ちょくせん） y = -x 上（うえ）にあります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Biểu thức biệt thức rút gọn D/4 nào sau đây tương đương với -\(4 (k^{2} - 8)\)?次（つぎ）の記述（きじゅつ）のうち、-\(4 (k^{2} - 8)\) に等（ひと）しい簡易（かんい）判別（はんべつ）式（しき） D/4 の展開（てんかい）式（しき）はどれですか。

2. Cho hai nghiệm \(\alpha\) và \(\beta\) của phương trình hoành độ giao điểm. Công thức tính hoành độ trung điểm X của đoạn nối hai giao điểm là gì?交点（こうてん）のx座標（ざひょう）方程（ほうてい）式（しき）の2解（かい）をα, βとするとき、2交点（こうてん）を結（むす）ぶ線分（せんぶん）の中点（ちゅうてん）のx座標（ざひょう）Xを表（あらわ）す式（しき）はどれですか。

3. Nếu biệt thức rút gọn là \(D / 4 = -4 (k^{2} - 8)\), điều kiện của k để đường thẳng và đường bậc hai có đúng 2 điểm chung phân biệt là gì?簡易（かんい）判別（はんべつ）式（しき）が \(D / 4 = -4 (k^{2} - 8)\) であるとき、直線（ちょくせん）と2次（じ）曲線（きょくせん）が相異（そうい）なる2個（こ）の共有（きょうゆう）点（てん）を持（も）つためのkの条件（じょうけん）はどれですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.16.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 3 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.16.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）3区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Biết cách phương trình hóa giao điểm và dùng biệt thức để tìm số điểm chung.交点（こうてん）を方程（ほうてい）式（しき）化（か）し、判別（はんべつ）式（しき）を用（もち）いて共有（きょうゆう）点（てん）の個数（こすう）を求（もと）める方法（ほうほう）を理解（りかい）する。
  2. Tính tọa độ trung điểm của đoạn thẳng nối hai giao điểm và xác định phương trình quỹ tích.2つの交点（こうてん）を結（むす）ぶ線分（せんぶん）の中点（ちゅうてん）座標（ざひょう）を計算（けいさん）し、軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）を決定（けってい）する。
Trực giác · イメージ

Trực giác về giao điểm và trung điểm共有（きょうゆう）点（てん）と中点（ちゅうてん）に関（かん）する直感（ちょっかん）

Khi đường thẳng cắt đường bậc hai như elip tại hai điểm, vị trí của hai giao điểm phụ thuộc vào tham số của đường thẳng. Biệt thức của phương trình hoành độ giao điểm sẽ quyết định số điểm chung là hai, một hay không có điểm nào.

直線（ちょくせん）が楕円（だえん）などの2次（じ）曲線（きょくせん）と2点（てん）で交（まじ）わるとき、交点（こうてん）の位置（いち）は直線（ちょくせん）のパラメータに依存（いぞん）します。交点（こうてん）のx座標（ざひょう）に関（かん）する方程（ほうてい）式（しき）の判別（はんべつ）式（しき）が、共有（きょうゆう）点（てん）が2個（こ）、1個（こ）、または0個（こ）であるかを決定（けってい）します。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 共有（きょうゆう）点（てん）の個数（こすう）số điểm chung

    Số điểm chung là số giao điểm giữa đường bậc hai và đường thẳng. Nó tương ứng với số nghiệm thực phân biệt của phương trình hoành độ giao điểm.

    共有（きょうゆう）点（てん）の個数（こすう）は2次（じ）曲線（きょくせん）と直線（ちょくせん）の交点（こうてん）の数（かず）です。これはx座標（ざひょう）に関（かん）する方程（ほうてい）式（しき）の相異（そうい）なる実数（じっすう）解（かい）の個数（こすう）に対応（たいおう）します。

  • 判別（はんべつ）式（しき）biệt thức

    Biệt thức D hoặc D/4 được dùng để kiểm tra số nghiệm của phương trình bậc hai. Khi D > 0 có 2 điểm chung, D = 0 có 1 điểm chung và D < 0 không có điểm chung.

    判別（はんべつ）式（しき）DまたはD/4は2次（じ）方程（ほうてい）式（しき）の解（かい）の個数（こすう）を調（しら）べるために用（もち）いられます。D>0で共有（きょうゆう）点（てん）2個（こ）、D=0で1個（こ）、D<0で0個（こ）となります。

  • 楕円（だえん）elip

    Elip là một dạng đường bậc hai phổ biến có dạng tổng quát hoặc dạng chính chính. Khi xét giao điểm với đường thẳng, ta thế y vào phương trình elip để đưa về phương trình bậc hai theo x.

    楕円（だえん）は代表（だいひょう）的（てき）な2次（じ）曲線（きょくせん）の一（ひと）つです。直線（ちょくせん）との共有（きょうゆう）点（てん）を考（かんが）える際（さい）は、直線（ちょくせん）の式（しき）を楕円（だえん）の式（しき）に代入（だいにゅう）してxの2次（じ）方程（ほうてい）式（しき）に帰着（きちゃく）させます。

  • 接線（せっせん）tiếp tuyến

    Tiếp tuyến là đường thẳng chỉ có đúng 1 điểm chung với đường bậc hai. Điều này xảy ra khi biệt thức của phương trình hoành độ giao điểm bằng 0.

    接線（せっせん）は2次（じ）曲線（きょくせん）とただ1つの共有（きょうゆう）点（てん）を持（も）つ直線（ちょくせん）です。これは交点（こうてん）のx座標（ざひょう）の方程（ほうてい）式（しき）の判別（はんべつ）式（しき）が0になるときに相当（そうとう）します。

  • 中点（なかてん）trung điểm

    Trung điểm của đoạn thẳng nối hai giao điểm có tọa độ được tính qua tổng hai nghiệm của phương trình bậc hai. Ta sử dụng định lý Vi-ét để biểu diễn tọa độ trung điểm theo tham số.

    2つの交点（こうてん）を結（むす）ぶ線分（せんぶん）の中点（ちゅうてん）座標（ざひょう）は、2次（じ）方程（ほうてい）式（しき）の解（かい）の和（わ）を用（もち）いて表（あらわ）されます。解（かい）と係数（けいすう）の関係（かんけい）を利用（りよう）して中点（ちゅうてん）の座標（ざひょう）をパラメータで表現（ひょうげん）します。

  • 軌跡（きせき）quỹ tích

    Quỹ tích là tập hợp tất cả các vị trí của trung điểm khi tham số thay đổi. Bằng cách khử tham số giữa tọa độ X và Y, ta thu được phương trình quỹ tích.

    軌跡（きせき）はパラメータが変化（へんか）するときの中点（ちゅうてん）が描（えが）く図形（ずけい）全体（ぜんたい）です。XとYの座標（ざひょう）からパラメータを消去（しょうきょ）することで軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）が得（え）られます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    x座標（ざひょう）の交点（こうてん）方程（ほうてい）式（しき）の作成（さくせい）

    Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm

    Thay phương trình đường thẳng y = m x + k vào phương trình đường bậc hai. Biến đổi về dạng phương trình bậc hai theo biến x.

    直線（ちょくせん）の式（しき）y=mx+kを2次（じ）曲線（きょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）に代入（だいにゅう）します。これをxに関（かん）する2次（じ）方程（ほうてい）式（しき）の形（かたち）に整理（せいり）します。

  2. 02
    判別（はんべつ）式（しき）による共有（きょうゆう）点（てん）の個数（こすう）の判定（はんてい）

    Tính biệt thức để tìm số điểm chung

    Tính biệt thức D hoặc D/4 của phương trình bậc hai theo tham số k. Xét dấu của D để kết luận số điểm chung là 2, 1 hay 0.

    xの2次（じ）方程（ほうてい）式（しき）の判別（はんべつ）式（しき）DまたはD/4をパラメータkを用（もち）いて計算（けいさん）します。Dの符号（ふごう）を調（しら）べることで共有（きょうゆう）点（てん）が2個（こ）、1個（こ）、0個（こ）であるかを判定（はんてい）します。

  3. 03
    中点（ちゅうてん）座標（ざひょう）のパラメータ表示（ひょうじ）

    Biểu diễn tọa độ trung điểm

    Gọi \(\alpha\) và \(\beta\) là hai nghiệm của phương trình, dùng Vi-ét tính hoành độ trung điểm \(X = (\alpha + \beta) / 2\). Sau đó thay X vào đường thẳng để tìm tung độ trung điểm Y.

    方程（ほうてい）式（しき）の2解（かい）をα, βとし、解（かい）と係数（けいすう）の関係（かんけい）から中点（ちゅうてん）のx座標（ざひょう）X=(α+β)/2を求（もと）めます。次（つぎ）にXを直線（ちょくせん）の式（しき）に代入（だいにゅう）して中点（ちゅうてん）のy座標（ざひょう）Yを求（もと）めます。

  4. 04
    パラメータ消去（しょうきょ）による軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）の導出（どうしゅつ）

    Khử tham số để tìm phương trình quỹ tích

    Rút tham số k từ biểu thức của X hoặc Y rồi thế vào biểu thức còn lại. Kết quả thu được là phương trình liên hệ trực tiếp giữa X và Y thể hiện quỹ tích.

    XまたはYの式（しき）からパラメータkを孤立（こりつ）させて他方（たほう）に代入（だいにゅう）します。得（え）られたXとYの直接（ちょくせつ）の関係（かんけい）式（しき）が軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）となります。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên kiểm tra điều kiện D > 0 khi tìm quỹ tích trung điểm làm quỹ tích bị lấy dư phần không tồn tại giao điểm.中点（ちゅうてん）の軌跡（きせき）を求（もと）める際（さい）に D > 0 の条件（じょうけん）確認（かくにん）を忘（わす）れ、交点（こうてん）が存在（そんざい）しない範囲（はんい）まで軌跡（きせき）に含（ふく）まれてしまう誤（あやま）り。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn tìm điều kiện của tham số k từ D > 0 để giới hạn tập giá trị của hoành độ X trong phương trình quỹ tích.常（つね）に D > 0 からパラメータkの範囲（はんい）を求（もと）め、軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）におけるx座標（ざひょう）Xの範囲（はんい）を制限（せいげん）してください。

Nhầm lẫn giữa hoành độ trung điểm \(X = (\alpha + \beta) / 2\) và tổng hai nghiệm \(\alpha + \beta\).中点（ちゅうてん）のx座標（ざひょう） X = (α + β)/2 と2解（かい）の和（わ） α + β を混同（こんどう）してしまう誤（あやま）り。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Nhớ chia 2 cho tổng hai nghiệm khi tính hoành độ trung điểm của đoạn thẳng nối hai giao điểm.2つの交点（こうてん）を結（むす）ぶ線分（せんぶん）の中点（ちゅうてん）のx座標（ざひょう）を計算（けいさん）するときは、必（かなら）ず2解（かい）の和（わ）を2で割（わ）ることを忘（わす）れないでください。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Số điểm chung của đường thẳng và đường bậc hai phụ thuộc vào dấu của biệt thức D thu được từ phương trình hoành độ giao điểm.直線（ちょくせん）と2次（じ）曲線（きょくせん）の共有（きょうゆう）点（てん）の個数（こすう）は、交点（こうてん）のx座標（ざひょう）方程（ほうてい）式（しき）から得（え）られる判別（はんべつ）式（しき）Dの符号（ふごう）に依存（いぞん）します。
  • Hoành độ trung điểm đoạn nối hai giao điểm được xác định bằng công thức \(X = (\alpha + \beta) / 2\) thông qua định lý Vi-ét.2交点（こうてん）を結（むす）ぶ線分（せんぶん）の中点（ちゅうてん）のx座標（ざひょう）は、解（かい）と係数（けいすう）の関係（かんけい）を用（もち）いて X = (α + β)/2 の公式（こうしき）で求（もと）められます。
  • Phương trình quỹ tích của trung điểm thu được bằng cách khử tham số k và áp dụng điều kiện D > 0 để giới hạn miền giá trị.中点（ちゅうてん）の軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）は、パラメータkを消去（しょうきょ）し、D > 0 の条件（じょうけん）を適用（てきよう）して範囲（はんい）を制限（せいげん）することで得（え）られます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\frac{D}{4}=(2k)^2-8(k^2-4)=-4(k^2-8)

Biệt thức rút gọn D/4 được tính để xét số giao điểm theo tham số k. Điều kiện D/4 > 0 tương đương với \(k^{2} < 8\) để đường thẳng cắt đường bậc hai tại hai điểm phân biệt.

パラメータkにおける交点（こうてん）の個数（こすう）を調（しら）べるため、簡易（かんい）判別（はんべつ）式（しき）D/4を計算（けいさん）します。D/4 > 0の条件（じょうけん）は\(k^{2} < 8\)と同値（どうち）であり、直線（ちょくせん）と2次（じ）曲線（きょくせん）が異（こと）なる2点（てん）で交（まじ）わることを示（しめ）します。

X=\frac{\alpha+\beta}{2}

Hoành độ trung điểm X của đoạn thẳng nối hai giao điểm bằng trung bình cộng hai nghiệm \(\alpha\) và \(\beta\). Ta thế tổng hai nghiệm từ định lý Vi-ét vào đây.

2つの交点（こうてん）を結（むす）ぶ線分（せんぶん）の中点（ちゅうてん）のx座標（ざひょう）Xは、2解（かい）αとβの相加（そうか）平均（へいきん）として表（あらわ）されます。解（かい）と係数（けいすう）の関係（かんけい）から得（え）られる2解（かい）の和（わ）をここに代入（だいにゅう）します。

Y=\frac{3}{2}(\alpha+\beta)+k

Tung độ trung điểm Y được xác định bằng cách thay hoành độ X vào phương trình đường thẳng. Biểu thức này liên hệ tung độ trung điểm với tổng hai nghiệm và tham số k.

中点（ちゅうてん）のy座標（ざひょう）Yは、中点（ちゅうてん）のx座標（ざひょう）を直線（ちょくせん）の式（しき）に代入（だいにゅう）することで得（え）られます。この式（しき）は中点（ちゅうてん）のy座標（ざひょう）を解（かい）の和（わ）とパラメータkに関連（かんれん）付（つ）けます。

y=-x

Phương trình y = -x là kết quả sau khi khử tham số k giữa X và Y. Đây chính là phương trình đường thẳng chứa quỹ tích của trung điểm.

方程（ほうてい）式（しき） y = -x は、XとYの式（しき）からパラメータkを消去（しょうきょ）して得（え）られる結果（けっか）です。これが中点（ちゅうてん）の軌跡（きせき）を含（ふく）む直線（ちょくせん）の式（しき）となります。

EJU 2026 · MATH.16.1

Bài học giúp bạn xác định số điểm chung của đường bậc hai với đường thẳng và tìm quỹ tích trung điểm. Qua đó bạn nắm vững cách dùng biệt thức để xét vị trí tương đối và lập phương trình quỹ tích.

本課（ほんか）では2次（じ）曲線（きょくせん）と直線（ちょくせん）の共有（きょうゆう）点（てん）の個数（こすう）を判定（はんてい）し、中点（ちゅうてん）の軌跡（きせき）を求（もと）める方法（ほうほう）を学（まな）びます。判別（はんべつ）式（しき）を用（もち）いて位置（いち）関係（かんけい）を調（しら）べる手法（しゅほう）と軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）の導出（どうしゅつ）をマスターします。

2次（じ）曲線（きょくせん）と直線（ちょくせん）の共有（きょうゆう）点（てん）の個数（こすう）
共有点の個数判別式楕円接線