Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Tiếp tuyến của đường bậc hai [1]2次（じ）曲線（きょくせん）の接線（せっせん） [1]

Công thức公式

\frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1
y_1y=2p(x+x_1)
y=mx-(m+3)
D=0

Ví dụ例題

Viết phương trình tiếp tuyến của elip \(x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} = 1\) tại tiếp điểm (x1, y1) và tìm điều kiện tiếp xúc D = 0 của đường thẳng y = mx - (m + 3).

楕円（だえん） \(x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} = 1\) 上（うえ）の点（てん） (x1, y1) における接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）を求（もと）め、直線（ちょくせん） y = mx - (m + 3) が接（せっ）するための条件（じょうけん） D = 0 を調（しら）べなさい。

  1. Áp dụng công thức tiếp tuyến của elip tại điểm (x1, y1), ta có phương trình \(x 1\cdot x / a^{2} + y 1\cdot y / b^{2} = 1\).点（てん）(x1, y1)における楕円（だえん）の接線（せっせん）公式（こうしき）を適用（てきよう）すると、方程（ほうてい）式（しき） \(x 1\cdot x / a^{2} + y 1\cdot y / b^{2} = 1\) が得（え）られます。
  2. Đối với đường thẳng y = mx - (m + 3), thế y vào phương trình đường bậc hai để thu được phương trình bậc hai theo x.直線（ちょくせん） y = mx - (m + 3) について、yを2次（じ）曲線（きょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）に代入（だいにゅう）してxの2次（じ）方程（ほうてい）式（しき）を得（え）ます。
  3. Cho biệt thức của phương trình bậc hai đó bằng 0 (D = 0) để tìm giá trị của m thỏa mãn điều kiện tiếp xúc.その2次（じ）方程（ほうてい）式（しき）の判別（はんべつ）式（しき）を0 (D = 0) と置（お）くことで、接（せっ）する条件（じょうけん）を満（み）たすmの値（あたい）を求（もと）めます。
Vậy tiếp tuyến tại điểm (x1, y1) có dạng \(x 1\cdot x / a^{2} + y 1\cdot y / b^{2} = 1\) và đường thẳng tiếp xúc khi D = 0.したがって、点（てん）(x1, y1)における接線（せっせん）は \(x 1\cdot x / a^{2} + y 1\cdot y / b^{2} = 1\) であり、直線（ちょくせん）が接（せっ）する条件（じょうけん）は D = 0 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Phương trình tiếp tuyến của elip \(x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} = 1\) tại tiếp điểm (x1, y1) nằm trên elip là phương trình nào?楕円（だえん） \(x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} = 1\) 上（うえ）の接点（せってん） (x1, y1) における接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）はどれですか。

2. Cho đường thẳng y = mx - (m + 3) và parabol \(y^{2} = 4 px\). Điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với parabol là gì?直線（ちょくせん） y = mx - (m + 3) と放物（ほうぶつ）線（せん） \(y^{2} = 4 px\) について、直線（ちょくせん）が放物（ほうぶつ）線（せん）に接（せっ）するための条件（じょうけん）はどれですか。

3. Phương trình tiếp tuyến của parabol \(y^{2} = 4 px\) tại tiếp điểm (x1, y1) nằm trên parabol có dạng nào sau đây?放物（ほうぶつ）線（せん） \(y^{2} = 4 px\) 上（うえ）の接点（せってん） (x1, y1) における接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）はどれですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.16.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.16.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững công thức phương trình tiếp tuyến của elip và parabol tại tiếp điểm (x1, y1).接点（せってん） (x1, y1) における楕円（だえん）と放物（ほうぶつ）線（せん）の接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）の公式（こうしき）をマスターする。
  2. Sử dụng điều kiện biệt thức D = 0 để tìm phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc hoặc điểm đi qua.傾（かたむ）きや通過（つうか）点（てん）が与（あた）えられた場合（ばあい）に判別（はんべつ）式（しき） D = 0 の条件（じょうけん）を用（もち）いて接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）を求（もと）める。
Trực giác · イメージ

Trực giác về tiếp tuyến và tiếp điểm接線（せっせん）と接点（せってん）に関（かん）する直感（ちょっかん）

Tiếp tuyến là đường thẳng chạm vào đường bậc hai tại duy nhất một điểm gọi là tiếp điểm. Ta có thể lập phương trình tiếp tuyến bằng công thức thay thế tọa độ tiếp điểm hoặc cho biệt thức D = 0.

接線（せっせん）は2次（じ）曲線（きょくせん）と接点（せってん）と呼（よ）ばれるただ1点（てん）でのみ接触（せっしょく）する直線（ちょくせん）です。接点（せってん）の座標（ざひょう）を代入（だいにゅう）する公式（こうしき）を利用（りよう）するか、判別（はんべつ）式（しき） D = 0 と設定（せってい）することで接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）を導（みちび）くことができます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）phương trình tiếp tuyến

    Phương trình tiếp tuyến biểu diễn đường thẳng tiếp xúc với đường bậc hai tại một điểm hoặc có hệ số góc xác định. Phương trình này có dạng tuyến tính đối với biến x và y.

    接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）は2次（じ）曲線（きょくせん）に1点（てん）で接（せっ）する直線（ちょくせん）、または特定（とくてい）の傾（かたむ）きを持（も）つ直線（ちょくせん）を表（あらわ）します。この方程（ほうてい）式（しき）はxとyに関（かん）して線形（せんけい）な形（かたち）となります。

  • 接点（せってん）tiếp điểm

    Tiếp điểm là điểm chung duy nhất giữa đường bậc hai và tiếp tuyến. Tọa độ của tiếp điểm thỏa mãn cả phương trình đường bậc hai và phương trình tiếp tuyến.

    接点（せってん）は2次（じ）曲線（きょくせん）と接線（せっせん）の唯一（ゆいいつ）の共通（きょうつう）の点（てん）です。接点（せってん）の座標（ざひょう）は2次（じ）曲線（きょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）と接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）の両方（りょうほう）を満（み）たします。

  • 楕円（だえん）elip

    Elip có công thức tiếp tuyến tại điểm (x1, y1) thu được bằng cách thay \(x^{2}\) thành x1*x và \(y^{2}\) thành y1*y. Đây là quy tắc tách đôi tọa độ rất tiện lợi.

    楕円（だえん）の点（てん）(x1, y1)における接線（せっせん）公式（こうしき）は、\(x^{2}\)をx1*xに、\(y^{2}\)をy1*yに置き換（おきか）えることで得（え）られます。これは非常（ひじょう）に便利（べんり）な座標（ざひょう）分割（ぶんかつ）の規則（きそく）です。

  • 放物（ほうぶつ）線（せん）parabol

    Parabol dạng \(y^{2} = 4 px\) có phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm (x1, y1) là y1*y = 2p(x + x1). Quy tắc này thay \(y^{2}\) thành y1*y và x thành (x + x1)/2.

    放物（ほうぶつ）線（せん） \(y^{2} = 4 px\) の点（てん）(x1, y1)における接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）は y1*y = 2p(x + x1) です。この規則（きそく）では \(y^{2}\) を y1*y に、x を (x + x1)/2 に置き換（おきか）えます。

  • 接線（せっせん）tiếp tuyến

    Tiếp tuyến là đường thẳng có đúng một điểm chung với đường bậc hai và không cắt ngang qua đường tại điểm đó. Điều kiện tiếp xúc tương ứng với phương trình hoành độ có nghiệm kép.

    接線（せっせん）は2次（じ）曲線（きょくせん）とただ1つの共有（きょうゆう）点（てん）を持（も）ち、その点（てん）で曲線（きょくせん）を横切（よこぎ）らない直線（ちょくせん）です。接（せっ）する条件（じょうけん）は交点（こうてん）のx座標（ざひょう）方程（ほうてい）式（しき）が重解（じゅうかい）を持（も）つことに対応（たいおう）します。

  • 傾（かたむ）きhệ số góc

    Hệ số góc m quyết định hướng của tiếp tuyến. Khi cho trước hệ số góc m, ta tham số hóa phương trình đường thẳng y = mx + c rồi tìm c qua điều kiện D = 0.

    傾（かたむ）きmは接線（せっせん）の方向（ほうこう）を決定（けってい）します。傾（かたむ）きmが与（あた）えられたとき、直線（ちょくせん）の式（しき）を y = mx + c とパラメータ化（か）し、D = 0 の条件（じょうけん）からcを求（もと）めます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    2次（じ）曲線（きょくせん）の形（かたち）と接点（せってん）の確認（かくにん）

    Xác định dạng đường bậc hai và tiếp điểm

    Kiểm tra xem bài toán cho tiếp điểm (x1, y1) trên elip hay parabol, hoặc cho hệ số góc m của đường thẳng.

    問題（もんだい）が楕円（だえん）や放物（ほうぶつ）線（せん）上（じょう）の接点（せってん）(x1, y1)を与（あた）えているか、あるいは直線（ちょくせん）の傾（かたむ）きmを与（あた）えているかを確認（かくにん）します。

  2. 02
    公式（こうしき）を用（もち）いた接線（せっせん）方程（ほうてい）式（しき）の作成（さくせい）

    Áp dụng công thức tiếp tuyến tại điểm

    Nếu biết tiếp điểm (x1, y1), sử dụng công thức tách đôi biến để viết ngay phương trình tiếp tuyến của elip hoặc parabol.

    接点（せってん）(x1, y1)が分（わ）かっている場合（ばあい）は、変数（へんすう）分割（ぶんかつ）の公式（こうしき）を用（もち）いて楕円（だえん）や放物（ほうぶつ）線（せん）の接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）を直（ただ）ちに記述（きじゅつ）します。

  3. 03
    D = 0 による接（せっ）する条件（じょうけん）の設定（せってい）

    Thiết lập điều kiện tiếp xúc với D = 0

    Nếu đường thẳng chứa tham số như y = mx + c, thế y vào phương trình đường bậc hai và giải điều kiện D = 0 để tìm c.

    直線（ちょくせん）が y = mx + c のようにパラメータを含（ふく）む場合（ばあい）、yを2次（じ）曲線（きょくせん）に代入（だいにゅう）し D = 0 の条件（じょうけん）を解（と）いてcを求（もと）めます。

  4. 04
    接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）の整理（せいり）と結論（けつろん）

    Rút gọn và kết luận phương trình tiếp tuyến

    Thay các giá trị tham số tìm được vào phương trình đường thẳng để thu me được phương trình tiếp tuyến hoàn chỉnh.

    得（え）られたパラメータの値（あたい）を直線（ちょくせん）の式（しき）に代入（だいにゅう）し、完全（かんぜん）な接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）を完成（かんせい）させます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Sử dụng công thức \((x 1\cdot x) / a^{2} + (y 1\cdot y) / b^{2} = 1\) cho điểm (x1, y1) nằm ngoài elip thay vì điểm nằm trên elip.楕円（だえん）上（じょう）の点（てん）ではなく、楕円（だえん）の外側（そとがわ）にある点（てん）(x1, y1)に対（たい）して公式（こうしき） \((x 1\cdot x) / a^{2} + (y 1\cdot y) / b^{2} = 1\) を適用（てきよう）してしまう誤（あやま）り。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Công thức tiếp tuyến tại điểm chỉ áp dụng khi (x1, y1) nằm trên đường bậc hai; nếu điểm nằm ngoài, phải gọi đường thẳng chứa m và dùng D = 0.点（てん）における接線（せっせん）の公式（こうしき）は(x1, y1)が2次（じ）曲線（きょくせん）上（じょう）にある場合（ばあい）のみ適用（てきよう）できます。外部（がいぶ）の点（てん）の場合（ばあい）は傾（かたむ）きmを用（もち）いて D = 0 を利用（りよう）してください。

Thay sai dạng khi lập tiếp tuyến parabol, chẳng hạn thay x thành x1*x thay vì (x + x1)/2.放物（ほうぶつ）線（せん）の接線（せっせん）を求（もと）める際（さい）、xを (x + x1)/2 ではなく x1*x に誤（あやま）って置き換（おきか）えてしまう誤（あやま）り。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Với bậc nhất của x trong phương trình parabol, phải thay bằng (x + x1)/2 theo đúng quy tắc biến đổi.放物（ほうぶつ）線（せん）の方程（ほうてい）式（しき）におけるxの1次項（じこう）は、正（ただ）しい変形（へんけい）規則（きそく）に従（したが）って (x + x1)/2 に置き換（おきか）えてください。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Phương trình tiếp tuyến của elip tại (x1, y1) có dạng \(x 1\cdot x / a^{2} + y 1\cdot y / b^{2} = 1\).楕円（だえん）上（じょう）の点（てん） (x1, y1) における接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）は \(\frac{x_1x}{a^2}\)+\(\frac{y_1y}{b^2}\)=1 です。
  • Phương trình tiếp tuyến của parabol \(y^{2} = 4 px\) tại (x1, y1) có dạng y1*y = 2p(x + x1).放物（ほうぶつ）線（せん） \(y^{2} = 4 px\) 上（うえ）の点（てん） (x1, y1) における接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）は \(y_{1} y = 2 p (x + x_{1})\) です。
  • Khi tiếp tuyến đi qua điểm cho trước hoặc có hệ số góc m, ta tìm tham số bằng điều kiện biệt thức D = 0.接線（せっせん）が通過（つうか）点（てん）や傾（かたむ）きmで与（あた）えられる場合（ばあい）、判別（はんべつ）式（しき） D = 0 の条件（じょうけん）を用（もち）いてパラメータを決定（けってい）します。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1

Phương trình tiếp tuyến của elip \(x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} = 1\) tại tiếp điểm (x1, y1). Công thức này có được bằng cách thay \(x^{2}\) thành x1*x và \(y^{2}\) thành y1*y.

楕円（だえん） \(x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} = 1\) 上（うえ）の点（てん）(x1, y1)における接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）です。この公式（こうしき）は \(x^{2}\) を x1*x に、\(y^{2}\) を y1*y に置き換（おきか）えることで得（え）られます。

y_1y=2p(x+x_1)

Phương trình tiếp tuyến của parabol \(y^{2} = 4 px\) tại tiếp điểm (x1, y1). Ta thay \(y^{2}\) thành y1*y và x thành (x + x1)/2 để thu được biểu thức này.

放物（ほうぶつ）線（せん） \(y^{2} = 4 px\) 上（うえ）の点（てん）(x1, y1)における接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）です。\(y^{2}\) を y1*y に、x を (x + x1)/2 に置き換（おきか）えることでこの式（しき）が得（え）られます。

y=mx-(m+3)

Phương trình đường thẳng phụ thuộc hệ số góc m và đi qua điểm cho trước. Biểu thức này được dùng để thế vào phương trình đường bậc hai nhằm tìm tiếp tuyến.

傾（かたむ）きmに依存（いぞん）し、指定（してい）された点（てん）を通（とお）る直線（ちょくせん）の式（しき）です。この式（しき）を2次（じ）曲線（きょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）に代入（だいにゅう）して接線（せっせん）を求（もと）めるために使用（しよう）されます。

D=0

Điều kiện biệt thức D = 0 thể hiện phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép. Đây là điều kiện cần và đủ để đường thẳng tiếp xúc với đường bậc hai.

判別（はんべつ）式（しき） D = 0 の条件（じょうけん）は、交点（こうてん）のx座標（ざひょう）方程（ほうてい）式（しき）が重解（じゅうかい）を持（も）つことを表（あらわ）します。これが直線（ちょくせん）が2次（じ）曲線（きょくせん）に接（せっ）するための必要（ひつよう）十（じゅう）分（ふん）条件（じょうけん）です。

EJU 2026 · MATH.16.1

Bài học hướng dẫn phương pháp lập phương trình tiếp tuyến của elip và parabol tại tiếp điểm hoặc qua hệ số góc. Qua đó bạn áp dụng thành thạo công thức tiếp tuyến và điều kiện tiếp xúc với D = 0.

本課（ほんか）では楕円（だえん）や放物（ほうぶつ）線（せん）の接点（せってん）における接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）および傾（かたむ）きを用（もち）いた接線（せっせん）の導出（どうしゅつ）方法（ほうほう）を解説（かいせつ）します。接線（せっせん）の公式（こうしき）と D = 0 の接（せっ）する条件（じょうけん）を適切（てきせつ）に活用（かつよう）できるようになります。

2次（じ）曲線（きょくせん）の接線（せっせん） [1]
接線の方程式接点楕円放物線