Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Thể tích của khối tròn xoay Phần 1回転（かいてん）体（たい）の体積（たいせき） 第（だい）1部（ぶ）

Công thức公式

V = \pi \int_{a}^{b} \{f(x)\}^2 dx
V = \pi \int_{c}^{d} \{g(y)\}^2 dy
V = \pi \int_{t_1}^{t_2} h^2 dt
1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}

Ví dụ例題

Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = x, trục x, x = 0 và x = 2 quanh trục x.

y = x, x軸（じく）, x = 0, x = 2 で囲（かこ）まれた部分（ぶぶん）をx軸（じく）のまわりに回転（かいてん）させてできる立体（りったい）の体積（たいせき）Vを求（もと）めなさい。

  1. Sử dụng công thức thể tích khối tròn xoay quanh trục x: V = \(\pi\) \(\int_{a}^{b}\) {f(x)}^2 dx với f(x) = x, a = 0, b = 2.f(x) = x, a = 0, b = 2としてx軸（じく）まわりの回転（かいてん）体（たい）公式（こうしき） V = \(\pi\) \(\int_{a}^{b}\) {f(x)}^2 dx を適用（てきよう）します。
  2. Viết biểu thức tích phân: V = \(\pi\) \(\int_{0}^{2}\) x^2 dx.積分（せきぶん）式（しき）を組み立（くみた）てます：V = \(\pi\) \(\int_{0}^{2}\) x^2 dx。
  3. Tính nguyên hàm của \(x^{2}\) là \(x^{3} / 3\). Thế cận từ 0 đến 2 ta có \(V = \pi\) [\((2^{3} / 3) - 0\)] = \(8 \pi / 3\).\(x^{2}\)の原子（げんし）関数（かんすう）\(x^{3} / 3\)を計算（けいさん）し、0から2まで代入（だいにゅう）すると \(V = \pi\) \((8 / 3 - 0) = 8 \pi / 3\) となります。
Thể tích của khối tròn xoay là \(8 \pi / 3\).この回転（かいてん）体（たい）の体積（たいせき）は \(8 \pi / 3\) です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho hàm số f(x) = 2 trên đoạn x từ 0 đến 3. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục x, x = 0 và x = 3 quanh trục x.0 ≦ x ≦ 3 において、関数（かんすう） f(x) = 2 とx軸（じく）で囲（かこ）まれた部分（ぶぶん）をx軸（じく）のまわりに回転（かいてん）させてできる立体（りったい）の体積（たいせき） V を求（もと）めなさい。

2. Cho hàm số g(y) = y trên đoạn y từ 0 đến 1. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi x = g(y), trục y, y = 0 và y = 1 quanh trục y.0 ≦ y ≦ 1 において、関数（かんすう） g(y) = y とy軸（じく）で囲（かこ）まれた部分（ぶぶん）をy軸（じく）のまわりに回転（かいてん）させてできる立体（りったい）の体積（たいせき） V を求（もと）めなさい。

3. Cho h = 1 và t chạy từ 0 đến 2. Tính thể tích V theo công thức V = \(\pi\) \(\int_{0}^{2}\) h^2 dt.h = 1 とし、tが0から2まで変化（へんか）するとき、公式（こうしき） V = \(\pi\) \(\int_{0}^{2}\) h^2 dt を用（もち）いて体積（たいせき） V を求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.20.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.20.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu và vận dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay quanh trục x và trục y.x軸（じく）およびy軸（じく）のまわりの回転（かいてん）体（たい）の体積（たいせき）を計算（けいさん）する公式（こうしき）を理解（りかい）し活用（かつよう）できる。
  2. Đổi biến và tính thể tích khối tròn xoay theo tham số hoặc đường thẳng.媒介（ばいかい）変数（へんすう）や直線（ちょくせん）についての回転（かいてん）体（たい）の体積（たいせき）計算（けいさん）式（しき）を正（ただ）しく適用（てきよう）できるようになる。
Trực giác · イメージ

Mặt cắt hình tròn khi quay hình phẳng平面（へいめん）図形（ずけい）を回転（かいてん）させたときの円形（えんけい）断面（だんめん）

Khi quay đường cong quanh trục x, mỗi mặt cắt vuông góc với trục x là một hình tròn bán kính |f(x)|. Diện tích mặt cắt này là \(\pi\) {f(x)}^2, tích phân diện tích này sẽ cho thể tích toàn khối.

曲線（きょくせん）を図形（ずけい）の軸（じく）まわりに回転（かいてん）させると、x軸（じく）に垂直（すいちょく）な断面（だんめん）は半径（はんけい）|f(x)|の円（えん）になります。この断（だん）面積（めんせき）\(\pi\) {f(x)}^2を積分（せきぶん）することで立体（りったい）全体（ぜんたい）の体積（たいせき）が求（もと）められます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 回転（かいてん）体（たい）khối tròn xoay

    Khối không gian nhận được khi quay một hình phẳng quanh một đường thẳng cố định một góc 360 độ.

    平面（へいめん）図形（ずけい）を一定（いってい）の直線（ちょくせん）（回転（かいてん）軸（じく））のまわりに1回転（かいてん）させてできる立体（りったい）。

  • x軸（じく）のまわりの回転（かいてん）体（たい）khối tròn xoay quanh trục x

    Khối tròn xoay tạo thành khi quay vùng phẳng giới hạn bởi y = f(x) và trục x quanh trục x.

    y = f(x)とx軸（じく）で囲（かこ）まれた領域（りょういき）をx軸（じく）のまわりに回転（かいてん）させてできる立体（りったい）。

  • y軸（じく）のまわりの回転（かいてん）体（たい）khối tròn xoay quanh trục y

    Khối tròn xoay tạo thành khi quay vùng phẳng giới hạn bởi x = g(y) và trục y quanh trục y.

    x = g(y)とy軸（じく）で囲（かこ）まれた領域（りょういき）をy軸（じく）のまわりに回転（かいてん）させてできる立体（りったい）。

  • 直線（ちょくせん）のまわりの回転（かいてん）体（たい）khối tròn xoay quanh đường thẳng

    Khối tròn xoay tạo thành khi quay một hình phẳng quanh một đường thẳng bất kỳ làm trục quay.

    平面（へいめん）図形（ずけい）を任意（にんい）の直線（ちょくせん）を回転（かいてん）軸（じく）として回転（かいてん）させてできる立体（りったい）。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    回転（かいてん）軸（じく）と半径（はんけい）の式（しき）を特定（とくてい）する

    Xác định trục quay và biểu thức bán kính

    Xác định trục quay (trục x, trục y hoặc đường thẳng) và tìm biểu thức bán kính mặt cắt tròn.

    回転（かいてん）軸（じく）（x軸（じく）、y軸（じく）、直線（ちょくせん））を確認（かくにん）し、円（えん）断面（だんめん）の半径（はんけい）を表（あらわ）す式（しき）を求（もと）めます。

  2. 02
    体積（たいせき）の積分（せきぶん）式（しき）を立（た）てる

    Lập công thức tích phân thể tích

    Nhân \(\pi\) với bình phương bán kính để có diện tích mặt cắt, sau đó lấy tích phân trên khoảng cận đã cho.

    半径（はんけい）の2乗（のり）に\(\pi\)を掛（か）けて断（だん）面積（めんせき）を求（もと）め、与（あた）えられた区間（くかん）で定（てい）積分（せきぶん）の式（しき）を作成（さくせい）します。

  3. 03
    定（てい）積分（せきぶん）を計算（けいさん）する

    Tính giá trị tích phân

    Thực hiện tính nguyên hàm của hàm bình phương và thế cận để tìm thể tích V.

    2乗（のり）された関数（かんすう）の原子（げんし）関数（かんすう）を計算（けいさん）し、区間（くかん）を代入（だいにゅう）して体積（たいせき）Vを求（もと）めます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên nhân hằng số \(\pi\) vào công thức thể tích khối tròn xoay.回転（かいてん）体（たい）の体積（たいせき）公式（こうしき）において円周（えんしゅう）率（りつ）\(\pi\)を掛（か）け忘（わす）れる。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Mặt cắt của khối tròn xoay luôn là hình tròn diện tích \(\pi\) \(r^{2}\), do đó bắt buộc phải có hằng số \(\pi\) phía trước tích phân.回転（かいてん）体（たい）の断面（だんめん）は常（つね）に半径（はんけい）rの円（えん）（面積（めんせき）\(\pi\) \(r^{2}\)）となるため、積分（せきぶん）の前（まえ）に必（かなら）ず\(\pi\)を掛（か）けます。

Bình phương toàn bộ tích phân thay vì bình phương hàm số bên trong dấu tích phân.被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）を2乗（のり）するのではなく、定積（ていせき）分（ぶん）全体（ぜんたい）を2乗（の）してしまう。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Bán kính mặt cắt mới là f(x), do đó ta cần tính bình phương {f(x)}^2 trước khi lấy tích phân.断面（だんめん）の半径（はんけい）がf(x)であるため、積分（せきぶん）を行（おこな）う前（まえ）に関数（かんすう）{f(x)}^2の2乗（のり）を計算（けいさん）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Thể tích khối tròn xoay quanh trục x được tính bằng tích phân của \(\pi\) {f(x)}^2 từ a đến b.x軸（じく）まわりの回転（かいてん）体（たい）の体積（たいせき）は、aからbまでの\(\pi\) {f(x)}^2の定積（ていせき）分（ぶん）で求（もと）められます。
  • Thể tích khối tròn xoay quanh trục y được tính bằng tích phân của \(\pi\) {g(y)}^2 từ c đến d.y軸（じく）まわりの回転（かいてん）体（たい）の体積（たいせき）は、cからdまでの\(\pi\) {g(y)}^2の定積（ていせき）分（ぶん）で求（もと）められます。
  • Luôn lưu ý nhân hằng số \(\pi\) và bình phương bán kính trước khi lấy tích phân.積分（せきぶん）計算（けいさん）を行（おこな）う前（まえ）に、必（かなら）ず半径（はんけい）の2乗（のり）と円周（えんしゅう）率（りつ）\(\pi\)を掛（か）けることに注意（ちゅうい）します。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

V = \pi \int_{a}^{b} \{f(x)\}^2 dx

Công thức tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh trục x từ x = a đến x = b.

x=aからx=bまで、x軸（じく）のまわりに回転（かいてん）させた立体（りったい）の体積（たいせき）を求（もと）める公式（こうしき）。

V = \pi \int_{c}^{d} \{g(y)\}^2 dy

Công thức tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh trục y từ y = c đến y = d.

y=cからy=dまで、y軸（じく）のまわりに回転（かいてん）させた立体（りったい）の体積（たいせき）を求（もと）める公式（こうしき）。

V = \pi \int_{t_1}^{t_2} h^2 dt

Công thức tính thể tích khối tròn xoay theo biến tham số t từ t1 đến t2.

媒介（ばいかい）変数（へんすう）tに関（かん）してt1からt2まで回転（かいてん）体（たい）の体積（たいせき）を計算（けいさん）する公式（こうしき）。

1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}

Đẳng thức lượng giác hỗ trợ biến đổi hàm số khi tính tích phân khối tròn xoay liên quan đến hàm lượng giác.

三角（さんかく）関数（かんすう）を含（ふく）む回転（かいてん）体（たい）の体積（たいせき）計算（けいさん）において変形（へんけい）に用（もち）いる等式（とうしき）。

EJU 2026 · MATH.20.2

Khối tròn xoay được tạo thành khi quay một hình phẳng quanh một trục tọa độ hoặc đường thẳng. Bài học này trình bày các công thức tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân xác định.

回転（かいてん）体（たい）は、平面（へいめん）図形（ずけい）を座標（ざひょう）軸（じく）や直線（ちょくせん）のまわりに回転（かいてん）させて得（え）られる立体（りったい）です。本課（ほんか）では、定（てい）積分（せきぶん）を用（もち）いて回転（かいてん）体（たい）の体積（たいせき）を計算（けいさん）する公式（こうしき）を学（まな）びます。

回転（かいてん）体（たい）の体積（たいせき） 第（だい）1部（ぶ）
回転体x軸のまわりの回転体y軸のまわりの回転体直線のまわりの回転体