Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Tính diện tích bằng tích phân xác định定（てい）積分（せきぶん）による面積（めんせき）の計算（けいさん）

Công thức公式

S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx
S = \int_{c}^{d} g(y) dy
V = \int_{a}^{b} S(x) dx

Ví dụ例題

Tính thể tích V của khối không gian biết mặt cắt vuông góc với trục x tại điểm x (từ x = 0 đến x = 2) có diện tích \(S(x) = x^{2}\).

x軸（じく）に垂直（すいちょく）な断面（だんめん）の面積（めんせき）が\(S(x) = x^{2}\)で表（あらわ）される立体（りったい）の、x = 0からx = 2までの体積（たいせき）Vを求（もと）めなさい。

  1. Sử dụng công thức thể tích khối không gian V = \(\int_{a}^{b}\) S(x) dx với a = 0, b = 2 và S(x) = x^2.a = 0, b = 2, S(x) = x^2として立体（りったい）の体積（たいせき）公式（こうしき）V = \(\int_{a}^{b}\) S(x) dxを適用（てきよう）します。
  2. Viết biểu thức tích phân: V = \(\int_{0}^{2}\) x^2 dx.定（てい）積分（せきぶん）の式（しき）を立（た）てます：V = \(\int_{0}^{2}\) x^2 dx。
  3. Tìm nguyên hàm của \(x^{2}\) là \(x^{3} / 3\). Thế cận từ 0 đến 2 thu được \(V = (2^{3} / 3) - 0 = 8 / 3\).\(x^{2}\)の原子（げんし）関数（かんすう）\(x^{3} / 3\)を求（もと）めます。0から2までの区間（くかん）を代入（だいにゅう）するとV = (8 / 3) - 0 = 8/3となります。
Thể tích của khối không gian là 8/3.この立体（りったい）の体積（たいせき）は8/3です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho hàm số f(x) = x trên đoạn [0, 3]. Tính diện tích S giữa đồ thị hàm số f(x) và trục x từ x = 0 đến x = 3.0 ≦ x ≦ 3における関数（かんすう） f(x) = x とx軸（じく）の間（あいだ）の面積（めんせき） S を求（もと）めなさい。

2. Một khối không gian nằm giữa hai mặt phẳng x = 1 và x = 3. Biết diện tích mặt cắt tại x là S(x) = 3. Tính thể tích V của khối không gian đó.x = 1 から x = 3 の間（あいだ）にある立体（りったい）において、xにおける断（だん）面積（めんせき）が S(x) = 3 であるとき、この立体（りったい）の体積（たいせき） V を求（もと）めなさい。

3. Cho hàm số g(y) = y trên đoạn y từ 0 đến 2. Tính diện tích S giữa đồ thị g(y) và trục y từ y = 0 đến y = 2.0 ≦ y ≦ 2における関数（かんすう） g(y) = y とy軸（じく）の間（あいだ）の面積（めんせき） S を求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.20.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.20.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Biết cách tính diện tích giới hạn bởi đường cong và trục tọa độ.曲線（きょくせん）と座標（ざひょう）軸（じく）で囲（かこ）まれた面積（めんせき）の計算（けいさん）方法（ほうほう）を理解（りかい）する。
  2. Biết cách tính thể tích khối không gian bằng tích phân diện tích mặt cắt.断（だん）面積（めんせき）の定積（ていせき）分（ぶん）により立体（りったい）の体積（たいせき）を計算（けいさん）できるようになる。
Trực giác · イメージ

Chia nhỏ hình thể và cộng dồn diện tích図形（ずけい）を細分（さいぶん）化（か）して面積（めんせき）を足し合（たしあ）わせる直感（ちょっかん）

Diện tích hoặc thể tích có thể được coi là tổng của vô số phần nhỏ cắt dọc theo một trục. Khi lấy tích phân diện tích mặt cắt S(x) từ a đến b, ta thu được tổng thể tích của khối không gian.

面積（めんせき）や体積（たいせき）は、軸（じく）に沿（そ）って細（こま）かく切（き）った微小（びしょう）部分（ぶぶん）の無限（むげん）の集（あつ）まりとみなせます。断面（だんめん）の面積（めんせき）S(x)をaからbまで定（てい）積分（せきぶん）することで、立体（りったい）全体（ぜんたい）の体積（たいせき）が得（え）られます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 曲線（きょくせん）とx軸（じく）の間（あいだ）の面積（めんせき）Diện tích giữa đường cong và trục x

    Diện tích của vùng phẳng giới hạn bởi đồ thị f(x), trục x và hai đường thẳng x = a, x = b.

    グラフf(x)、x軸（じく）、および2直線（ちょくせん）x = a, x = bで囲（かこ）まれた領域（りょういき）の面積（めんせき）。

  • 曲線（きょくせん）とy軸（じく）の間（あいだ）の面積（めんせき）Diện tích giữa đường cong và trục y

    Diện tích của vùng phẳng giới hạn bởi đồ thị g(y), trục y và hai đường thẳng y = c, y = d.

    グラフg(y)、y軸（じく）、および2直線（ちょくせん）y = c, y = dで囲（かこ）まれた領域（りょういき）の面積（めんせき）。

  • 立体（りったい）Khối không gian

    Hình khối ba chiều chiếm một khoảng không gian trong hệ tọa độ.

    座標（ざひょう）空間（くうかん）において一定（いってい）の広（ひろ）がりを持（も）つ3次元（じげん）の図形（ずけい）。

  • 断面（だんめん）Mặt cắt

    Hình phẳng thu được khi cắt khối không gian bằng một mặt phẳng vuông góc với trục tọa độ.

    立体（りったい）を座標（ざひょう）軸（じく）に垂直（すいちょく）な平面（へいめん）で切（き）ったときに現（あらわ）れる平面（へいめん）図形（ずけい）。

  • 断（だん）面積（めんせき）Diện tích mặt cắt

    Diện tích của mặt cắt vuông góc với trục x tại vị trí x, kí hiệu là S(x).

    座標（ざひょう）xにおける軸（じく）に垂直（すいちょく）な断面（だんめん）の面積（めんせき）。S(x)と表（あらわ）される。

  • 体積（たいせき）Thể tích

    Dung tích toàn phần của khối không gian, tính bằng tích phân diện tích mặt cắt S(x) từ a đến b.

    立体（りったい）が占（し）める空間（くうかん）の大（おお）きさ。断（だん）面積（めんせき）S(x)をaからbまで定（てい）積分（せきぶん）して求（もと）める。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    積分（せきぶん）区間（くかん）と関数（かんすう）を特定（とくてい）する

    Xác định cận tích phân và hàm số

    Xác định đoạn tích phân [a, b] trên trục tọa độ và biểu thức của hàm số hoặc diện tích mặt cắt S(x).

    座標（ざひょう）軸（じく）上（じょう）の積分（せきぶん）区間（くかん）[a, b]と、関数（かんすう）または断（だん）面積（めんせき）S(x)の数式（すうしき）を特定（とくてい）します。

  2. 02
    定（てい）積分（せきぶん）の式（しき）を設計（せっけい）する

    Thiết lập biểu thức tích phân

    Áp dụng công thức S = \(\int_{a}^{b}\) |f(x)| dx cho diện tích hoặc V = \(\int_{a}^{b}\) S(x) dx cho thể tích.

    面積（めんせき）の場合（ばあい）はS = \(\int_{a}^{b}\) |f(x)| dx、体積（たいせき）の場合（ばあい）はV = \(\int_{a}^{b}\) S(x) dxの公式（こうしき）を適用（てきよう）します。

  3. 03
    原子（げんし）関数（かんすう）を求（もと）めて区間（くかん）を代入（だいにゅう）する

    Tính nguyên hàm và thế cận

    Tìm nguyên hàm của hàm số dưới dấu tích phân, sau đó thế giá trị cận trên b và cận dưới a vào để tính ra kết quả.

    被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）の原子（げんし）関数（かんすう）を求（もと）め、上端（じょうたん）bと下端（したば）aの値（あたい）をつき合（あ）わせて計算（けいさん）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên lấy giá trị tuyệt đối |f(x)| khi hàm số nằm dưới trục x làm cho diện tích bị âm.グラフがx軸（じく）の下側（したがわ）にあるときに絶対（ぜったい）値（ち）|f(x)|を付（つ）け忘（わす）れ、面積（めんせき）が負（ふ）の値（あたい）になってしまう。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn đảm bảo hàm dưới dấu tích phân là dương hoặc đổi dấu khi f(x) < 0 trên đoạn tích phân.積分（せきぶん）区間（くかん）でf(x) < 0となる場合（ばあい）は符号（ふごう）を反転（はんてん）させるか、絶対（ぜったい）値（ち）を付（つ）けて正（せい）の値（あたい）として積分（せきぶん）します。

Nhầm lẫn giữa biến tích phân x và y khi tính diện tích theo trục y.y軸（じく）まわりの面積（めんせき）計算（けいさん）で、積分（せきぶん）変数（へんすう）xとyを混同（こんどう）してしまう。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Khi lấy tích phân theo dy, biểu thức phải là g(y) và cận tích phân c, d phải nằm trên trục y.dyで積分（せきぶん）するときは、被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）をg(y)にし、積分（せきぶん）区間（くかん）c, dもy軸（じく）上（じょう）の値（あたい）にします。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Tích phân diện tích |f(x)| từ a đến b cho diện tích hình phẳng giữa đồ thị và trục x.aからbまでの|f(x)|の定積（ていせき）分（ぶん）は、グラフとx軸（じく）の間（あいだ）の面積（めんせき）を表（あらわ）します。
  • Tích phân g(y) từ c đến d cho diện tích hình phẳng giữa đồ thị và trục y.cからdまでのg(y)の定積（ていせき）分（ぶん）は、グラフとy軸（じく）の間（あいだ）の面積（めんせき）を表（あらわ）します。
  • Thể tích khối không gian được tính bằng tích phân diện tích mặt cắt S(x) từ a đến b.立体（りったい）の体積（たいせき）は、断（だん）面積（めんせき）S(x)をaからbまで定（てい）積分（せきぶん）することで求（もと）められます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị f(x) và trục x từ x = a đến x = b.

x=aからx=bまでのグラフf(x)とx軸（じく）の間（あいだ）の面積（めんせき）を求（もと）める公式（こうしき）。

S = \int_{c}^{d} g(y) dy

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị g(y) và trục y từ y = c đến y = d.

y=cからy=dまでのグラフg(y)とy軸（じく）の間（あいだ）の面積（めんせき）を求（もと）める公式（こうしき）。

V = \int_{a}^{b} S(x) dx

Công thức tính thể tích của khối không gian có diện tích mặt cắt vuông góc với trục x là S(x).

x軸（じく）に垂直（すいちょく）な断（だん）面積（めんせき）がS(x)である立体（りったい）の体積（たいせき）を求（もと）める公式（こうしき）。

EJU 2026 · MATH.20.2

Tích phân xác định cho phép chúng ta tính diện tích hình phẳng và thể tích khối không gian. Bài học này hướng dẫn cách lập công thức tích phân từ diện tích mặt cắt hoặc đường cong.

定（てい）積分（せきぶん）を用（もち）いることで、平面（へいめん）図形（ずけい）の面積（めんせき）や立体（りったい）の体積（たいせき）を計算（けいさん）できます。本課（ほんか）では、断面（だんめん）の面積（めんせき）や曲線（きょくせん）から積分（せきぶん）式（しき）を立（た）てる方法（ほうほう）を学（まな）びます。

定（てい）積分（せきぶん）による面積（めんせき）の計算（けいさん）
曲線とx軸の間の面積曲線とy軸の間の面積立体断面