Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Tích phân bất định cơ bản Phần 2基本（きほん）の不定（ふてい）積分（せきぶん） 第（だい）2部（ぶ）

Công thức公式

\int x^\alpha dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C
\int \frac{1}{x} dx = \log |x| + C
\int e^x dx = e^x + C
\int \sin x dx = -\cos x + C

Ví dụ例題

Tính tích phân bất định của biểu thức \(e^{x} + \sin x\).

式（しき） \(e^{x} + \sin x\) の不定（ふてい）積分（せきぶん）を計算（けいさん）しなさい。

  1. Sử dụng phép toán tuyến tính, ta tách tích phân của \((e^{x} + \sin x)\) dx thành tổng hai tích phân là tích phân của \(e^{x}\) dx cộng với tích phân của \(\sin x\) dx.線形（せんけい）演算（えんざん）を使用（しよう）して、\((e^{x} + \sin x)\) dxの積分（せきぶん）を、\(e^{x}\) dxの積分（せきぶん）と\(\sin x\) dxの積分（せきぶん）の和（わ）に分解（ぶんかい）します。
  2. Áp dụng các công thức cơ bản, tích phân của \(e^{x}\) dx bằng \(e^{x}\) và tích phân của \(\sin x\) dx bằng -\(\cos x\).基本（きほん）公式（こうしき）を適用（てきよう）すると、\(e^{x}\) dxの積分（せきぶん）は\(e^{x}\)となり、\(\sin x\) dxの積分（せきぶん）は-\(\cos x\)となります。
  3. Kết hợp hai kết quả trên và thêm hằng số tích phân C, ta thu được biểu thức \(e^{x} - \cos x + C\).上記（じょうき）の2つの結果（けっか）を組み合（くみあ）わせ、積分（せきぶん）定数（ていすう）Cを加（くわ）えることで、式（しき） \(e^{x} - \cos x + C\) を得（え）ます。
Tích phân bất định của \((e^{x} + \sin x)\) dx là \(e^{x} - \cos x + C\).\((e^{x} + \sin x)\) dx の不定（ふてい）積分（せきぶん）は \(e^{x} - \cos x + C\) です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tích phân bất định của hàm số \(f(x) = e^{x}\) là biểu thức nào sau đây?関数（かんすう） \(f(x) = e^{x}\) の不定（ふてい）積分（せきぶん）は次（つぎ）のうちどれですか。

2. Kết quả tính tích phân bất định của hàm số \(f(x) = \sin x\) là gì?関数（かんすう） \(f(x) = \sin x\) の不定（ふてい）積分（せきぶん）を計算（けいさん）した結果（けっか）は何（なん）ですか。

3. Cho hàm số f(x) = 1/x với x khác 0. Tích phân bất định của f(x) dx bằng biểu thức nào?xが0でない関数（かんすう） f(x) = 1/x が与（あた）えられています。f(x) dx の不定（ふてい）積分（せきぶん）はどの式（しき）に等（ひと）しいですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.20.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.20.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Thuộc và vận dụng chính xác các công thức tính tích phân bất định cơ bản cho hàm lũy thừa, 1/x, \(e^{x}\) và \(\sin x\).累乗（るいじょう）関数（かんすう）、1/x、\(e^{x}\)、\(\sin x\)の基本（きほん）不定（ふてい）積分（せきぶん）公式（こうしき）を正確（せいかく）に記憶（きおく）し適用（てきよう）する。
  2. Hiểu và áp dụng phép toán tuyến tính để tách tích phân của tổng hoặc hiệu các hàm số.関数（かんすう）の和（わ）や差（さ）の積分（せきぶん）を分解（ぶんかい）するために線形（せんけい）演算（えんざん）を理解（りかい）し適用（てきよう）する。
  3. Tránh các lỗi phổ biến về dấu và điều kiện của biến số trong quá trình biến đổi.変形（へんけい）過程（かてい）における符号（ふごう）や変数（へんすう）の条件（じょうけん）に関（かん）するよくある間違（まちが）いを回避（かいひ）する。
Trực giác · イメージ

Biến đổi tổng thể thành các phần tử cơ bản全体（ぜんたい）を基本（きほん）要素（ようそ）へ分解（ぶんかい）する

Phép toán tuyến tính cho phép chia một biểu thức phức tạp thành tổng các biểu thức đơn giản hơn. Sau đó, ta dùng các công thức cơ bản đã biết để tìm nguyên hàm cho từng phần tử rồi kết hợp lại.

線形（せんけい）演算（えんざん）により、複雑（ふくざつ）な式（しき）をより簡単（かんたん）な式（しき）の和（わ）に分解（ぶんかい）できます。その後（あと）、既知（きち）の基本（きほん）公式（こうしき）を使用（しよう）して各（かく）要素（ようそ）の原始（げんし）関数（かんすう）を求（もと）め、それらを組み合（くみあ）わせます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 線形（せんけい）演算（えんざん）phép toán tuyến tính

    Phép toán tuyến tính trong tích phân cho phép lấy tích phân của một tổng bằng tổng các tích phân thành phần. Tính chất này cũng cho phép đưa hằng số ra ngoài dấu tích phân. Nhờ đó, bài toán tính tích phân phức tạp được đưa về các tích phân cơ bản.

    積分（せきぶん）における線形（せんけい）演算（えんざん）は、和（わ）の積分（せきぶん）を個別（こべつ）の積分（せきぶん）の和（わ）に分解（ぶんかい）することを可能（かのう）にします。この性質（せいしつ）により、定数（ていすう）を積分（せきぶん）の外（そと）に出（だ）すことも可能（かのう）になります。これにより、複雑（ふくざつ）な積分（せきぶん）問題（もんだい）が基本（きほん）的（てき）な積分（せきぶん）に帰着（きちゃく）されます。

  • 基本（きほん）公式（こうしき）công thức cơ bản

    Công thức cơ bản là các quy tắc tính nguyên hàm trực tiếp cho các hàm sơ cấp như hàm lũy thừa, hàm mũ, hàm lượng giác. Việc ghi nhớ các công thức này giúp tính toán nhanh chóng mà không cần suy luận lại từ đầu. Đây là nền tảng để giải quyết mọi bài toán tích phân bất định.

    基本（きほん）公式（こうしき）は、累乗（るいじょう）関数（かんすう）、指数（しすう）関数（かんすう）、三角（さんかく）関数（かんすう）などの初等（しょとう）関数（かんすう）の原始（げんし）関数（かんすう）を直接（ちょくせつ）計算（けいさん）するための規則（きそく）です。これらの公式（こうしき）を記憶（きおく）することで、最初（さいしょ）から推論（すいろん）することなく迅速（じんそく）に計算（けいさん）できます。これはすべての不定（ふてい）積分（せきぶん）問題（もんだい）を解決（かいけつ）する基礎（きそ）となります。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    線形（せんけい）演算（えんざん）により式（しき）を分解（ぶんかい）する

    Phân tích biểu thức bằng phép toán tuyến tính

    Tách biểu thức cần tính tích phân thành tổng hoặc hiệu của từng hàm số đơn giản hơn. Đưa các hệ số hằng số ra trước mỗi dấu tích phân tương ứng.

    積分（せきぶん）対象（たいしょう）の式（しき）を、より簡単（かんたん）な関数（かんすう）の和（わ）や差（さ）に分解（ぶんかい）します。対応（たいおう）する各（かく）積分（せきぶん）記号（きごう）の前（まえ）に定数（ていすう）係数（けいすう）を取（とり）リ出（だ）します。

  2. 02
    基本（きほん）公式（こうしき）を検索（けんさく）して適用（てきよう）する

    Tra cứu và áp dụng công thức cơ bản

    Nhận diện dạng hàm số trong từng tích phân thành phần để áp dụng đúng công thức tương ứng như hàm lũy thừa, 1/x, \(e^{x}\) hay \(\sin x\).

    累乗（るいじょう）関数（かんすう）、1/x、\(e^{x}\)、\(\sin x\)など、対応（たいおう）する公式（こうしき）を正（ただ）しく適用（てきよう）するために各項（かくこう）の関数（かんすう）の形（かたち）を識別（しきべつ）します。

  3. 03
    原始（げんし）関数（かんすう）をまとめ定数（ていすう）Cを加（くわ）える

    Gộp các nguyên hàm và thêm hằng số C

    Tổng hợp các kết quả nguyên hàm thành phần lại với nhau. Cuối cùng, thêm một hằng số tích phân C chung cho toàn bộ biểu thức kết quả.

    各項（かくこう）の原始（げんし）関数（かんすう）の結果（けっか）を1つにまとめます。最後（さいご）に、結果（けっか）の式（しき）全体（ぜんたい）に対（たい）して共通（きょうつう）の積分（せきぶん）定数（ていすう）Cを1つ加（くわ）えます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn dấu khi tính tích phân của \(\sin x\) thành \(\cos x + C\).\(\sin x\)の積分（せきぶん）を計算（けいさん）する際（さい）に符号（ふごう）を間違（まちが）えて \(\cos x + C\) とすること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Lưu ý rằng tích phân của \(\sin x\) dx phải bằng -\(\cos x + C\) vì đạo hàm của \(\cos x\) là -\(\sin x\).\(\cos x\)の導（どう）関数（かんすう）が -\(\sin x\) であるため、\(\sin x\) dxの積分（せきぶん）は -\(\cos x + C\) になることに注意（ちゅうい）してください。

Quên dấu giá trị tuyệt đối trong kết quả tích phân của 1/x dx, viết thành \(\log x + C\).1/x dxの積分（せきぶん）結果（けっか）で絶対（ぜったい）値（ち）記号（きごう）を忘（わす）れ、\(\log x + C\) と書（か）くこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn viết log |x| + C để đảm bảo biểu thức logarit có nghĩa với mọi x khác 0.xが0でないすべての値（あたい）に対（たい）して対数（たいすう）式（しき）が意味（いみ）を持（も）つよう、常（つね）に log |x| + C と記述（きじゅつ）してください。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Phép toán tuyến tính giúp chia tích phân của tổng các hàm số thành tổng các tích phân đơn giản.線形（せんけい）演算（えんざん）により、関数（かんすう）の和（わ）の積分（せきぶん）を簡単（かんたん）な積分（せきぶん）の和（わ）に分解（ぶんかい）できます。
  • Các công thức cơ bản cung cấp nguyên hàm trực tiếp cho các hàm \(x^{\alpha}\), 1/x, \(e^{x}\) và \(\sin x\).基本（きほん）公式（こうしき）は、\(x^{\alpha}\)、1/x、\(e^{x}\)、\(\sin x\)の各（かく）関数（かんすう）の原始（げんし）関数（かんすう）を直接（ちょくせつ）与（あた）えます。
  • Cần lưu ý dấu âm khi tính tích phân của \(\sin x\) và giá trị tuyệt đối trong log |x|.\(\sin x\)の積分（せきぶん）におけるマイナス符号（ふごう）と、log |x|における絶対（ぜったい）値（ち）記号（きごう）に注意（ちゅうい）が必要（ひつよう）です。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\int x^\alpha dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C

Công thức tính tích phân bất định cho hàm lũy thừa với số mũ \(\alpha\) khác âm 1.

マイナス1以外（いがい）の指数（しすう）\(\alpha\)を持（も）つ累乗（るいじょう）関数（かんすう）の不定（ふてい）積分（せきぶん）を計算（けいさん）する公式（こうしき）です。

\int \frac{1}{x} dx = \log |x| + C

Công thức tính tích phân bất định cho hàm 1/x với kết quả là hàm logarit tự nhiên của giá trị tuyệt đối x.

1/xの不定（ふてい）積分（せきぶん）を計算（けいさん）する公式（こうしき）であり、結果（けっか）はxの絶対（ぜったい）値（ち）の自然（しぜん）対数（たいすう）関数（かんすう）となります。

\int e^x dx = e^x + C

Công thức tính tích phân bất định cho hàm mũ cơ số e, giữ nguyên hàm \(e^{x}\) cộng thêm hằng số C.

底（そこ）がeの指数（しすう）関数（かんすう）の不定（ふてい）積分（せきぶん）を計算（けいさん）する公式（こうしき）で、\(e^{x}\)のまま定数（ていすう）Cが加（くわ）わります。

\int \sin x dx = -\cos x + C

Công thức tính tích phân bất định cho hàm lượng giác \(\sin x\) với kết quả là âm \(\cos x\) cộng hằng số C.

三角（さんかく）関数（かんすう）\(\sin x\)の不定（ふてい）積分（せきぶん）を計算（けいさん）する公式（こうしき）で、結果（けっか）はマイナス\(\cos x\)に定数（ていすう）Cを加（くわ）えたものになります。

EJU 2026 · MATH.20.1

Bài học này hướng dẫn áp dụng các công thức cơ bản và tính chất tuyến tính để tính tích phân bất định của các hàm số thường gặp. Người học sẽ thực hành tìm nguyên hàm của hàm lũy thừa, hàm phân thức, hàm mũ và hàm lượng giác.

本課（ほんか）では、基本（きほん）公式（こうしき）と線形（せんけい）性（せい）を適用（てきよう）して、よく使（つか）われる関数（かんすう）の不定（ふてい）積分（せきぶん）を計算（けいさん）する方法（ほうほう）を解説（かいせつ）します。累乗（るいじょう）関数（かんすう）、分数（ぶんすう）関数（かんすう）、指数（しすう）関数（かんすう）、三角（さんかく）関数（かんすう）の原始（げんし）関数（かんすう）を求（もと）める練習（れんしゅう）を行（おこな）います。

基本（きほん）の不定（ふてい）積分（せきぶん） 第（だい）2部（ぶ）
線形演算基本公式