Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Tích phân bất định của hàm số lượng giác Phần 2三角（さんかく）関数（かんすう）の不定（ふてい）積分（せきぶん） 第（だい）2部（ぶ）

Công thức公式

\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \{\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)\}
\sin \alpha \sin \beta = -\frac{1}{2} \{\cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta)\}
\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta
\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta

Ví dụ例題

Tính tích phân bất định ∫ \(\cos (3 x) \cos (x)\) dx.

不定（ふてい）積分（せきぶん） ∫ \(\cos (3 x) \cos (x)\) dx を求（もと）めなさい。

  1. Áp dụng công thức tích thành tổng: Áp dụng \(\cos (3 x) \cos (x) = (1 / 2)\)[\(\cos (4 x) + \cos (2 x)\)]. Biểu thức tích phân trở thành (1/2) ∫ [\(\cos (4 x) + \cos (2 x)\)] dx.積（せき）和（わ）の公式（こうしき）の適用（てきよう）：\(\cos (3 x) \cos (x) = (1 / 2)\)[\(\cos (4 x) + \cos (2 x)\)] を適用（てきよう）します。被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）は (1/2)[\(\cos (4 x) + \cos (2 x)\)] となります。
  2. Lấy nguyên hàm từng thành phần: Nguyên hàm của \(\cos (4 x)\) là \((1 / 4) \sin (4 x)\) và nguyên hàm của \(\cos (2 x)\) là \((1 / 2) \sin (2 x)\). Do đó kết quả là (1/2)[\((1 / 4) \sin (4 x) + (1 / 2) \sin (2 x)\)] + C.各項（かくこう）の原（げん）関数（かんすう）の計算（けいさん）：\(\cos (4 x)\) の原（げん）関数（かんすう）は \((1 / 4) \sin (4 x)\)、\(\cos (2 x)\) の原（げん）関数（かんすう）は \((1 / 2) \sin (2 x)\) です。よって (1/2)[\((1 / 4) \sin (4 x) + (1 / 2) \sin (2 x)\)] + C となります。
  3. Rút gọn kết quả: Nhân phân phối (1/2) ta được \((1 / 8) \sin (4 x) + (1 / 4) \sin (2 x) + C\).結果（けっか）の整理（せいり）：(1/2) を展開（てんかい）すると \((1 / 8) \sin (4 x) + (1 / 4) \sin (2 x) + C\) と整理（せいり）できます。
Vậy ∫ \(\cos (3 x) \cos (x)\) \(dx = (1 / 8) \sin (4 x) + (1 / 4) \sin (2 x) + C\).したがって、∫ \(\cos (3 x) \cos (x)\) \(dx = (1 / 8) \sin (4 x) + (1 / 4) \sin (2 x) + C\) となります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tính tích phân bất định I = ∫ \(\sin (4 x) \sin (2 x)\) dx.不定（ふてい）積分（せきぶん） I = ∫ \(\sin (4 x) \sin (2 x)\) dx を求（もと）めなさい。

2. Biểu diễn sin^3(x) qua các hàm lượng giác bậc nhất để chuẩn bị lấy tích phân.積分（せきぶん）するために sin^3(x) を1次（つぎ）の三角（さんかく）関数（かんすう）で表（あらわ）しなさい。

3. Tính tích phân bất định J = ∫ cos^3(x) dx.不定（ふてい）積分（せきぶん） J = ∫ cos^3(x) dx を求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.20.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.20.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Vận dụng công thức tích thành tổng cho cosα cosβ và sinα sinβ để biến đổi tích lượng giác.cosα cosβ および sinα sinβ の積（せき）和（わ）の公式（こうしき）を用（もち）いて三角（さんかく）関数（かんすう）の積（せき）を変形（へんけい）する。
  2. Sử dụng công thức góc nhân ba để hạ bậc sin^3 θ và cos^3 θ khi tính tích phân bất định.3倍角（ばいかく）の公式（こうしき）を利用（りよう）して sin^3 θ や cos^3 θ の次数（じすう）を下（さ）げて不定（ふてい）積分（せきぶん）を計算（けいさん）する。
Trực giác · イメージ

Biến đổi tích và bậc cao thành tổng các hàm lượng giác bậc nhất積（せき）や高次（こうじ）式（しき）を一（いち）次（じ）の三角（さんかく）関数（かんすう）の和（わ）に変換（へんかん）する直感（ちょっかん）

Việc tính tích phân trực tiếp của tích các hàm lượng giác hoặc lũy thừa bậc ba rất khó khăn. Khi biến đổi chúng thành tổng của các hàm cosin và sinh đơn lẻ, ta có thể lấy nguyên hàm trực tiếp từng phần tử.

三角（さんかく）関数（かんすう）の積（せき）や3乗（のり）の直接（ちょくせつ）の積分（せきぶん）は困難（こんなん）です。これらを単独（たんどく）の正弦（せいげん）や余弦（よげん）の和（わ）に変形（へんけい）することで、各項（かくこう）の原形（げんけい）を簡単（かんたん）に求（もと）めることが可能（かのう）になります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 3倍角（ばいかく）の公式（こうしき）công thức góc nhân ba

    Công thức biểu diễn \(\sin 3\)θ và \(\cos 3\)θ qua sin θ và cos θ, giúp đưa lũy thừa bậc ba về dạng bậc nhất.

    \(\sin 3\)θ や \(\cos 3\)θ を sin θ や cos θ で表（あらわ）し、3乗（のり）の項（こう）を1次式（じしき）に次数（じすう）下（さ）げする公式（こうしき）です。

  • 半角（はんかく）の公式（こうしき）công thức nửa góc

    Công thức liên hệ giữa hàm lượng giác của góc θ và góc θ/2 hoặc 2θ, dùng để hạ bậc các biểu thức lượng giác.

    角（かく） θ と角（かく） θ/2 または 2θ の三角（さんかく）関数（かんすう）の関係（かんけい）を示（しめ）し、次数（じすう）を下（さ）げるために用（もち）いられる公式（こうしき）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    三角（さんかく）関数（かんすう）の積（つ）または3乗（のり）の形（かたち）の識別（しきべつ）

    Nhận dạng dạng bài tích lượng giác hoặc lũy thừa bậc ba

    Xác định xem tích phân chứa tích cosα cosβ, sinα sinβ hay lũy thừa sin^3 θ, cos^3 θ. Việc nhận dạng đúng dạng giúp chọn công thức biến đổi phù hợp ngay từ đầu.

    被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）が cosα cosβ、sinα sinβ の積（つ）または sin^3 θ、cos^3 θ の3乗（のり）の形（かたち）であるかを確認（かくにん）します。正（ただ）しい形（かたち）を識別（しきべつ）することで適切（てきせつ）な変形（へんけい）公式（こうしき）を選択（せんたく）できます。

  2. 02
    積（せき）和（わ）公式（こうしき）または3倍角（ばいかく）の公式（こうしき）による変形（へんけい）

    Biến đổi tích thành tổng hoặc hạ bậc

    Sử dụng công thức tích thành tổng hoặc công thức góc nhân ba để biến đổi biểu thức về dạng tổng bậc nhất. Điều này loại bỏ các phép nhân và lũy thừa phức tạp.

    積（せき）和（わ）の公式（こうしき）または3倍角（ばいかく）の公式（こうしき）を適用（てきよう）し、被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）を1次（つぎ）の加法（かほう）形式（けいしき）に書き換（かきか）えます。これにより複雑（ふくざつ）な積（せき）や乗（じょう）乗（じょう）を解消（かいしょう）します。

  3. 03
    各項（かくこう）の不定（ふてい）積分（せきぶん）と積分（せきぶん）定数（ていすう） C の付加（ふか）

    Lấy nguyên hàm từng phần tử và cộng hằng số C

    Tính tích phân bất định của từng hàm sin và cos bậc nhất vừa tìm được. Cuối cùng, thêm hằng số tích phân C vào kết quả.

    得（え）られた各（かく）1次（つぎ）の正弦（せいげん）・余弦（よげん）関数（かんすう）の不定（ふてい）積分（せきぶん）を個別（こべつ）に計算（けいさん）します。最後（さいご）に積分（せきぶん）定数（ていすう） C を解（かい）に加（くわ）えます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên dấu trừ phía trước công thức biến đổi tích sin α sin β thành cos.sin α sin β の積（せき）和（わ）公式（こうしき）適用（てきよう）時（じ）に冒頭（ぼうとう）のマイナス符号（ふごう）を忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Nhớ rằng sin α sin β = -(1/2)[cos(α+β) - cos(α-β)], dấu trừ là bắt buộc.sin α sin β = -(1/2)[cos(α+β) - cos(α-β)] であり、負（ふ）の符号（ふごう）が必要（ひつよう）であることを確認（かくにん）します。

Quên nhân hệ số 1/k khi lấy nguyên hàm của \(\cos (kx)\) hoặc \(\sin (kx)\).\(\cos (kx)\) や \(\sin (kx)\) の積分（せきぶん）時（じ）に 1/k の係数（けいすう）を掛（か）け忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Khi lấy nguyên hàm của \(\cos (kx)\), luôn nhớ chia cho k để được (1/k) \(\sin (kx)\).\(\cos (kx)\) を積分（せきぶん）する際（さい）は、必（かなら）ず k で割（わ）って (1/k) \(\sin (kx)\) となるように注意（ちゅうい）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Dùng công thức tích thành tổng cosα cosβ và sinα sinβ để đưa tích hai cos hoặc hai sin về tổng hiệu các cos.cosα cosβ や sinα sinβ の積（せき）和（わ）公式（こうしき）を用（もち）いて、2つの積（せき）を余弦（よげん）の和（わ）や差（さ）に変形（へんけい）します。
  • Dùng công thức góc nhân ba sin 3θ và cos 3θ để hạ bậc sin^3 θ và cos^3 θ về bậc nhất trước khi tính tích phân.3倍角（ばいかく）の公式（こうしき）を利用（りよう）して sin^3 θ や cos^3 θ の3乗（のり）の項（こう）を1次（つぎ）の形（かたち）に次数（じすう）下（さ）げして積分（せきぶん）します。
  • Sau khi đưa về dạng bậc nhất, tính nguyên hàm từng phần tử và nhớ chia cho hệ số của x cùng với hằng số C.1次式（じしき）に変形（へんけい）後（ご）、各項（かくこう）を積分（せきぶん）し、x の係数（けいすう）で割（わ）ることを忘（わす）れずに積分（せきぶん）定数（ていすう） C を付加（ふか）します。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \{\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)\}

Công thức biến đổi tích cosα cosβ thành tổng hai cosin để dễ lấy tích phân.

cosα cosβ の積（せき）を2つの余弦（よげん）の和（わ）に変換（へんかん）して積分（せきぶん）を容易（ようい）にする公式（こうしき）。

\sin \alpha \sin \beta = -\frac{1}{2} \{\cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta)\}

Công thức biến đổi tích sinα sinβ thành hiệu hai cosin để tính nguyên hàm.

sinα sinβ の積（せき）を余弦（よげん）の差（さ）に変換（へんかん）して原（げん）関数（かんすう）を求（もと）める公式（こうしき）。

\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta

Công thức góc nhân ba của sin, giúp rút sin^3 θ = (3sin θ - sin 3θ)/4 để lấy tích phân.

正弦（せいげん）の3倍角（ばいかく）の公式（こうしき）で、sin^3 θ = (3sin θ - sin 3θ)/4 として積分（せきぶん）する際（さい）に用（もち）います。

\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta

Công thức góc nhân ba của cos, giúp rút cos^3 θ = (cos 3θ + 3cos θ)/4 để hạ bậc.

余弦（よげん）の3倍角（ばいかく）の公式（こうしき）で、cos^3 θ = (cos 3θ + 3cos θ)/4 と変形（へんけい）して次数（じすう）を下（さ）げるのに使（つか）います。

EJU 2026 · MATH.20.1

Bài học hướng dẫn biến đổi các tích và lũy thừa của hàm số lượng giác thành tổng để tính tích phân bất định. Phương pháp này giúp đưa biểu thức lượng giác phức tạp về các dạng cơ bản dễ lấy nguyên hàm.

本課（ほんか）では三角（さんかく）関数（かんすう）の積（せき）や累乗（るいじょう）を和（わ）の形（かたち）に変形（へんけい）して不定（ふてい）積分（せきぶん）を計算（けいさん）する方法（ほうほう）を学（まな）びます。この手法（しゅほう）により複雑（ふくざつ）な三角（さんかく）関数（かんすう）を基本（きほん）形（けい）の積分（せきぶん）に帰着（きちゃく）させることができます。

三角（さんかく）関数（かんすう）の不定（ふてい）積分（せきぶん） 第（だい）2部（ぶ）
3倍角の公式半角の公式