Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Tính toán dãy tích phân xác định定積（ていせき）分列（ぶんれつ）の計算（けいさん）

Công thức公式

I_1=\int_{a}^{b}(x-a)(x-b)dx=-\frac{1}{6}(b-a)^3
I_n=\int_{a}^{b}(x-a)(x-b)^n dx=\frac{(a-b)^{n+2}}{(n+1)(n+2)}
I_{m,n}=\int_{a}^{b}(x-a)^m(x-b)^n dx
I_{m,n}=(-1)^n\frac{m!n!}{(m+n+1)!}(b-a)^{m+n+1}

Ví dụ例題

Tính giá trị của tích phân I = int_{0}^{2} x(x-2) dx bằng công thức 1/6.

1/6公式（こうしき）を用（もち）いて定（てい）積分（せきぶん） I = int_{0}^{2} x(x-2) dx の値（あたい）を求（もと）めなさい。

  1. Nhận dạng tích phân có dạng I_1 = int_{a}^{b} (x-a)(x-b) dx với a = 0 và b = 2.定（てい）積分（せきぶん）が a = 0, b = 2 のときの I_1 = int_{a}^{b} (x-a)(x-b) dx の形（かたち）であることを確認（かくにん）します。
  2. Áp dụng công thức I_1 = -(1/6)(b-a)^3 với b-a = 2 - 0 = 2.b-a = 2 - 0 = 2 として公式（こうしき） I_1 = -(1/6)(b-a)^3 を適用（てきよう）します。
  3. Tính toán giá trị -(1/6) * (2)^3 = -(1/6) * 8 = -4/3.計算（けいさん）を行（おこな）うと -(1/6) * (2)^3 = -(1/6) * 8 = -4/3 となります。
Vậy giá trị của tích phân là I = -4/3.したがって、求（もと）める定積（ていせき）分（ぶん）の値（あたい）は I = -4/3 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Giá trị của tích phân I = int_{1}^{3} (x-1)(x-3) dx bằng bao nhiêu?定（てい）積分（せきぶん） I = int_{1}^{3} (x-1)(x-3) dx の値（あたい）はいくらですか。

2. Sử dụng công thức I_n với a = 0, b = 1, tính giá trị của I = int_{0}^{1} x(x-1) dx.a = 0, b = 1 のときの公式（こうしき） I_n を用（もち）いて、I = int_{0}^{1} x(x-1) dx の値（あたい）を求（もと）めなさい。

3. Giá trị của tích phân I_{1,2} = int_{0}^{1} x(x-1)^2 dx bằng bao nhiêu?定（てい）積分（せきぶん） I_{1,2} = int_{0}^{1} x(x-1)^2 dx の値（あたい）はいくらですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.20.1 · MATH.12.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.20.1 · MATH.12.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu cách thiết lập công thức truy hồi cho dãy tích phân chứa số mũ.指数（しすう）を含（ふく）む定積（ていせき）分列（ぶんれつ）の漸化（ぜんか）式（しき）を導出（どうしゅつ）する方法（ほうほう）を理解（りかい）する。
  2. Sử dụng công thức tích phân từng phần để giảm bậc của số mũ trong tích phân.部分（ぶぶん）積分（せきぶん）法（ほう）を用（もち）いて定（てい）積分（せきぶん）の中（なか）の指数（しすう）の次数（じすう）を下（さ）げることができる。
  3. Áp dụng các công thức chuẩn I_1, I_n và I_{m,n} để giải nhanh bài toán tích phân xác định dạng lũy thừa.標準（ひょうじゅん）公式（こうしき） I_1, I_n, I_{m,n} を適用（てきよう）して累乗（るいじょう）型（がた）の定積（ていせき）分（ぶん）問題（もんだい）を迅速（じんそく）に解決（かいけつ）できる。
Trực giác · イメージ

Giảm bậc liên tiếp để đơn giản hóa tích phân lũy thừa次数（じすう）を段階（だんかい）的（てき）に下（さ）げて累乗（るいじょう）の積分（せきぶん）を単純（たんじゅん）化（か）する考（かんが）え方（かた）

Khi gặp tích phân chứa lũy thừa bậc cao, việc tính trực tiếp rất phức tạp. Bằng cách dùng tích phân từng phần, ta biểu diễn tích phân bậc n qua tích phân bậc n-1, tạo thành một dãy số có công thức truy hồi.

高次（こうじ）の累乗（るいじょう）を含（ふく）む定（てい）積分（せきぶん）を直接（ちょくせつ）計算（けいさん）するのは複雑（ふくざつ）です。部分（ぶぶん）積分（せきぶん）法（ほう）を用（もち）いてn次（つぎ）の積分（せきぶん）をn-1次（つぎ）の積分（せきぶん）で表（あらわ）すことで、漸化（ぜんか）式（しき）を持（も）つ数列（すうれつ）として計算（けいさん）できます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 定積（ていせき）分列（ぶんれつ）dãy tích phân xác định

    Dãy số trong đó mỗi số hạng là một tích phân xác định phụ thuộc vào chỉ số nguyên n.

    各項（かくこう）が整数（せいすう）インデックスnに依存（いぞん）する定積（ていせき）分（ぶん）で表（あらわ）される数列（すうれつ）のことです。

  • 部分（ぶぶん）積分（せきぶん）tích phân từng phần

    Phương pháp biến đổi tích phân của tích hai hàm số bằng công thức u v minus tích phân v du.

    2つの関数（かんすう）の積（せき）の積分（せきぶん）をuv引き算（ひきざん）v duの積分（せきぶん）に変形（へんけい）する計算（けいさん）手法（しゅほう）です。

  • 漸化（ぜんか）式（しき）công thức truy hồi

    Mối quan hệ đại số liên hệ giữa số hạng I_n với các số hạng trước đó như I_{n-1} trong dãy tích phân.

    定積（ていせき）分列（ぶんれつ）において、第（だい）n項（こう）I_nとそれ以前（いぜん）の項（こう）I_{n-1}などとの間（あいだ）の関係（かんけい）式（しき）のことです。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1: 定積（ていせき）分列（ぶんれつ） I_n の形（かたち）を確認（かくにん）する

    Bước 1: Xác định dạng dãy tích phân I_n

    Xác định rõ tham số n trong biểu thức lấy tích phân và các cận tích phân a, b. Phân tích cấu trúc của các thừa số (x-a)^m và (x-b)^n.

    被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）に含（ふく）まれるパラメータnと積分（せきぶん）区間（くかん）a, bを明確（めいかく）にします。(x-a)^m や (x-b)^n の構造（こうぞう）を分析（ぶんせき）します。

  2. 02
    ステップ2: 部分（ぶぶん）積分（せきぶん）法（ほう）を適用（てきよう）する

    Bước 2: Áp dụng tích phân từng phần

    Chọn một thừa số để tính đạo hàm và thừa số còn lại để lấy nguyên hàm. Thực hiện biến đổi tích phân từng phần để giảm bậc của n.

    一方（いっぽう）の因数（いんすう）を微分（びぶん）用（よう）、他方（たほう）を積分（せきぶん）用（よう）として選択（せんたく）します。部分（ぶぶん）積分（せきぶん）を行（おこな）ってnの次数（じすう）を1つ下（さ）げます。

  3. 03
    ステップ3: 漸化（ぜんか）式（しき）を導出（どうしゅつ）する

    Bước 3: Thiết lập công thức truy hồi

    Biểu diễn I_n theo I_{n-1} hoặc theo các chỉ số nhỏ hơn. Kiểm tra điều kiện đầu như I_0 hoặc I_1 để bắt đầu dãy.

    I_nをI_{n-1}やより小（ちい）さなインデックスで表（あらわ）します。数列（すうれつ）を始（はじ）めるための初項（しょこう）I_0やI_1を計算（けいさん）します。

  4. 04
    ステップ4: 一般（いっぱん）公式（こうしき） I_1, I_n, I_{m,n} を活用（かつよう）する

    Bước 4: Sử dụng các công thức tổng quát I_1, I_n, I_{m,n}

    Đối với các dạng tích phân đặc biệt từ a đến b, thay trực tiếp các giá trị a, b, m, n vào công thức nghiệm chuẩn. Tính toán kết quả số học chính xác.

    aからbまでの特別（とくべつ）な定（てい）積分（せきぶん）に対（たい）しては、a, b, m, nの値（あたい）を標準（ひょうじゅん）公式（こうしき）に直接（ちょくせつ）代入（だいにゅう）します。正確（せいかく）な計算（けいさん）結果（けっか）を求（もと）めます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn dấu âm trong công thức 1/6 dẫn đến kết quả bị sai dấu.1/6公式（こうしき）のマイナス符号（ふごう）を見落（みお）とし、計算（けいさん）結果（けっか）の符号（ふごう）を誤（あやま）ること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Lưu ý rằng trên đoạn [a, b] với a < b, biểu thức (x-a)(x-b) luôn âm hoặc bằng 0 nên tích phân phải ra giá trị âm.a < b のとき、[a, b]区間（くかん）で (x-a)(x-b) は常（つね）に0以下（いか）となるため、積分（せきぶん）値（ち）は必（かなら）ず負（ふ）になることに注意（ちゅうい）します。

Quên đổi dấu (-1)^n trong công thức tổng quát I_{m,n} khi n là số lẻ.一般（いっぱん）公式（こうしき） I_{m,n} において、nが奇数（きすう）のときの (-1)^n の符号（ふごう）処理（しょり）を忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn kiểm tra tính chẵn lẻ của n để xác định đúng dấu (-1)^n ở trước biểu thức giai thừa.階乗（かいじょう）の式（しき）の前（まえ）にある (-1)^n の符号（ふごう）を正確（せいかく）に確定（かくてい）させるため、常（つね）にnの奇（き）偶（たま）を確認（かくにん）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Tích phân từng phần là công cụ cốt lõi để thiết lập công thức truy hồi cho dãy tích phân xác định.部分（ぶぶん）積分（せきぶん）法（ほう）は定積（ていせき）分列（ぶんれつ）の漸化（ぜんか）式（しき）を導出（どうしゅつ）するための中核（ちゅうかく）となる手法（しゅほう）です。
  • Công thức 1/6 giúp tính nhanh tích phân của hàm bậc hai có hai nghiệm trùng cận tích phân.1/6公式（こうしき）は積分（せきぶん）端点（たんてん）と一致（いっち）する2つの解（かい）を持（も）つ2次（じ）関数（かんすう）の定（てい）積分（せきぶん）を迅速（じんそく）に計算（けいさん）できます。
  • Công thức tổng quát I_{m,n} cho phép tính trực tiếp tích phân lũy thừa tích hai nhân tử dựa vào giai thừa.一般（いっぱん）公式（こうしき） I_{m,n} により、階乗（かいじょう）を用（もち）いて2因数（いんすう）の累乗（るいじょう）の積（せき）の定（てい）積分（せきぶん）を直接（ちょくせつ）計算（けいさん）できます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

I_1=\int_{a}^{b}(x-a)(x-b)dx=-\frac{1}{6}(b-a)^3

Công thức 1/6 kinh điển tính tích phân của tích hai nhân tử bậc nhất (x-a)(x-b) trên đoạn [a, b].

[a, b]区間（くかん）における1次（じ）因数（いんすう）の積（せき）(x-a)(x-b)の定（てい）積分（せきぶん）を求（もと）める著名（ちょめい）な1/6公式（こうしき）です。

I_n=\int_{a}^{b}(x-a)(x-b)^n dx=\frac{(a-b)^{n+2}}{(n+1)(n+2)}

Công thức tính tích phân của (x-a)(x-b)^n trên đoạn [a, b] theo n.

[a, b]区間（くかん）における(x-a)(x-b)^nの定（てい）積分（せきぶん）をnを用（もち）いて表（あらわ）す標準（ひょうじゅん）公式（こうしき）です。

I_{m,n}=\int_{a}^{b}(x-a)^m(x-b)^n dx

Ký hiệu tổng quát cho dãy tích phân hai chỉ số m và n trên đoạn [a, b].

[a, b]区間（くかん）における2つのインデックスm, nを持（も）つ定積（ていせき）分列（ぶんれつ）の一般（いっぱん）記法（きほう）です。

I_{m,n}=(-1)^n\frac{m!n!}{(m+n+1)!}(b-a)^{m+n+1}

Công thức tổng quát tính tích phân I_{m,n} bằng tích các giai thừa và lũy thừa của (b-a).

階乗（かいじょう）と(b-a)の累乗（るいじょう）を用（もち）いて定（てい）積分（せきぶん）I_{m,n}の値（あたい）を直接（ちょくせつ）計算（けいさん）する一般（いっぱん）公式（こうしき）です。

EJU 2026 · MATH.20.1 · MATH.12.2

Bài học này trình bày phương pháp tính toán dãy tích phân xác định bằng kỹ thuật tích phân từng phần và lập công thức truy hồi. Người học sẽ vận dụng các công thức chuẩn để tính giá trị tích phân lũy thừa một cách hiệu quả.

本課（ほんか）では、部分（ぶぶん）積分（せきぶん）法（ほう）と漸化（ぜんか）式（しき）の作成（さくせい）による定積（ていせき）分列（ぶんれつ）の計算（けいさん）手法（しゅほう）を解説（かいせつ）します。標準（ひょうじゅん）公式（こうしき）を活用（かつよう）して、累乗（るいじょう）を含（ふく）む定（てい）積分（せきぶん）の値（あたい）を効率（こうりつ）的（てき）に求（もと）める技術（ぎじゅつ）を習得（しゅうとく）します。

定積（ていせき）分列（ぶんれつ）の計算（けいさん）
定積分列部分積分漸化式