Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Ứng dụng và cách xét cực trị極値（きょくち）の応用（おうよう）と判定（はんてい）

Công thức公式

\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
f'(a) = 0, f''(a) > 0
f'(a) = 0, f''(a) < 0

Ví dụ例題

Cho hàm số \(f(x) = x^{3} - 3 x\) trên đoạn đóng [-2, 2]. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn này.

閉（へい）区間（くかん） [-2, 2] における関数（かんすう） \(f(x) = x^{3} - 3 x\) の最大（さいだい）値（ち）および最小（さいしょう）値（ち）を求（もと）めよ。

  1. Tính f'\((x) = 3 x^{2} - 3\). Cho f'(x) = 0 ta có x = 1 và x = -1, cả hai điểm này đều thuộc đoạn [-2, 2].f'\((x) = 3 x^{2} - 3\) を計算（けいさん）します。f'(x) = 0 とおくと x = 1 および x = -1 が得（え）られ、ともに閉（へい）区間（くかん） [-2, 2] 内（うち）に含（ふく）まれます。
  2. Tính giá trị của f(x) tại hai điểm cực trị và hai mút: f(-1) = 2, f(1) = -2, \(f(-2) = (-2)^{3} - 3 (-2) = -2\), \(f(2) = 2^{3} - 3 (2) = 2\).各（かく）極値（きょくち）点（てん）および端点（たんてん）での値（あたい）を計算（けいさん）します：f(-1) = 2、f(1) = -2、f(-2) = -2、f(2) = 2。
  3. So sánh các giá trị 2 và -2, ta kết luận giá trị lớn nhất là 2 và giá trị nhỏ nhất là -2.値（あたい） 2 と -2 を比較（ひかく）すると、最大（さいだい）値（ち）は 2、最小（さいしょう）値（ち）は -2 であることがわかります。
Trên đoạn [-2, 2], hàm số f(x) có giá trị lớn nhất là 2 và giá trị nhỏ nhất là -2.閉（へい）区間（くかん） [-2, 2] において、関数（かんすう） f(x) の最大（さいだい）値（ち）は 2、最小（さいしょう）値（ち）は -2 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho hàm số f(x) có f'(3) = 0 và f''(3) = 5. Khẳng định nào sau đây đúng?関数（かんすう） f(x) について f'(3) = 0 かつ f''(3) = 5 であるとき、正（ただ）しい記述（きじゅつ）はどれか。

2. Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = (2x + 1) / (x - 1) với x khác 1.x ≠ 1 における関数（かんすう） f(x) = (2x + 1) / (x - 1) の導（どう）関数（かんすう）を求（もと）めよ。

3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x) = x^{2} - 2 x\) trên đoạn đóng [0, 3].閉（へい）区間（くかん） [0, 3] における関数（かんすう） \(f(x) = x^{2} - 2 x\) の最大（さいだい）値（ち）を求（もと）めよ。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.19.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.19.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Áp dụng công thức đạo hàm của thương để tính đạo hàm của hàm phân thức.商（しょう）の微分（びぶん）公式（こうしき）を適用（てきよう）して分数（ぶんすう）関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）を計算（けいさん）できるようになる。
  2. Sử dụng đạo hàm cấp hai f''(a) để xét tính chất cực đại hoặc cực tiểu tại điểm có f'(a) = 0.f'(a) = 0 となる点（てん）で第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう） f''(a) を用（もち）いて極大（きょくだい）・極小（きょくしょう）を判定（はんてい）する。
  3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn đóng bằng cách so sánh các giá trị cực trị và giá trị tại mút đoạn.極値（きょくち）と端点（たんてん）での値（あたい）を比較（ひかく）することにより、閉（へい）区間（くかん）における関数（かんすう）の最大（さいだい）値（ち）と最小（さいしょう）値（ち）を求（もと）める。
Trực giác · イメージ

Độ cong của đồ thị và tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất trong giới hạnグラフの曲（ま）がり具合（ぐあい）と有限（ゆうげん）範囲（はんい）での最大（さいだい）・最小（さいしょう）

Đạo hàm cấp hai cho biết độ cong của đồ thị: nếu cong lên (f'' > 0) tại điểm dừng thì đó là đáy cực tiểu, nếu cong xuống (f'' < 0) thì đó là đỉnh cực đại. Trên một đoạn đóng, giá trị cao nhất hoặc thấp nhất có thể nằm ở các điểm cực trị hoặc tại chính hai mút của đoạn.

第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）はグラフの凹凸（おうとつ）を表（あらわ）します。停留（ていりゅう）点（てん）で下（した）に凸（とつ）（f'' > 0）なら極小（きょくしょう）、上（うえ）に凸（とつ）（f'' < 0）なら極大（きょくだい）となります。また、閉（へい）区間（くかん）では最（もっと）も高（たか）い値（あたい）や低（ひく）い値（あたい）が極値（きょくち）点（てん）だけでなく区間（くかん）の端点（たんてん）に現（あらわ）れることがあります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 必要（ひつよう）条件（じょうけん）Điều kiện cần

    Điều kiện f'(a) = 0 là điều kiện cần để hàm số có cực trị tại x = a (khi hàm số có đạo hàm). Tuy nhiên, điều kiện này chưa đủ mà cần kiểm tra sự đổi dấu hoặc đạo hàm cấp hai.

    f'(a) = 0 であることは、可（か）微分（びぶん）関数（かんすう）が x = a で極値（きょくち）をとるための必要（ひつよう）条件（じょうけん）です。ただし十分（じゅうぶん）条件（じょうけん）ではないため、符号（ふごう）変化（へんか）や第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）の確認（かくにん）が必要（ひつよう）です。

  • 商（しょう）の微分（びぶん）Đạo hàm của thương

    Quy tắc tính đạo hàm của hàm số dạng u/v. Quy tắc này rất hữu ích khi xét biến thiên của hàm số phân thức.

    u/v の形（かたち）をした関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）を求（もと）める計算（けいさん）規則（きそく）です。分数（ぶんすう）関数（かんすう）の増減（ぞうげん）を調（しら）べる際（さい）に非常（ひじょう）に役（やく）に立（た）ちます。

  • 第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）Đạo hàm cấp hai

    Đạo hàm của đạo hàm cấp một, kí hiệu là f''(x). Dấu của f''(a) tại điểm dừng f'(a) = 0 cho biết điểm đó là cực đại hay cực tiểu.

    1次（じ）導（どう）関数（かんすう）をさらに微分（びぶん）した関数（かんすう）で、f''(x) と表記（ひょうき）します。f'(a) = 0 である点（てん）で f''(a) の符号（ふごう）を見（み）れば極大（きょくだい）か極小（きょくしょう）かが判定（はんてい）できます。

  • 最大（さいだい）値（ち）Giá trị lớn nhất

    Giá trị lớn nhất mà hàm số đạt được trên tập xác định hoặc trên một đoạn đóng cho trước. Để tìm giá trị này, ta so sánh các giá trị cực trị và giá trị tại mút đoạn.

    指定（してい）された定義（ていぎ）域（いき）や閉（へい）区間（くかん）内（ない）で関数（かんすう）がとる最（もっと）も大（おお）きい値（あたい）です。極値（きょくち）と区間（くかん）の端点（たんてん）での値（あたい）を比較（ひかく）して求（もと）めます。

  • 最小（さいしょう）値（ち）Giá trị nhỏ nhất

    Giá trị nhỏ nhất mà hàm số đạt được trên tập xác định hoặc trên một đoạn đóng cho trước. Nó được xác định bằng cách so sánh tất cả các điểm nghi vấn và biên.

    指定（してい）された定義（ていぎ）域（いき）や閉（へい）区間（くかん）内（ない）で関数（かんすう）がとる最（もっと）も小（ちい）さい値（あたい）です。すべての極値（きょくち）候補（こうほ）と端点（たんてん）での値（あたい）を比較（ひかく）して判定（はんてい）します。

  • 閉（へい）区間（くかん）Đoạn đóng

    Tập hợp các số thực nằm giữa hai mút a và b bao gồm cả hai điểm mút, kí hiệu là [a, b]. Một hàm số liên tục trên đoạn đóng luôn đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

    両端（りょうたん）の点（てん） a と b を含（ふく）む実数（じっすう）の集合（しゅうごう）で、[a, b] と表（あらわ）されます。閉（へい）区間（くかん）上（じょう）の連続（れんぞく）関数（かんすう）は必（かなら）ず最大（さいだい）値（ち）と最小（さいしょう）値（ち）をとります。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：関数（かんすう）の1次（じ）導（どう）関数（かんすう）と第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）を計算（けいさん）する

    Bước 1: Tính đạo hàm bậc một và bậc hai của hàm số

    Dùng các quy tắc như đạo hàm của thương để tính f'(x), sau đó tiếp tục lấy đạo hàm để tìm f''(x). Đạo hàm bậc hai giúp xét nhanh tính chất cực trị mà không cần bảng biến thiên.

    商（しょう）の微分（びぶん）公式（こうしき）などを用（もち）いて f'(x) を計算（けいさん）し、さらに微分（びぶん）して f''(x) を求（もと）めます。第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）を使（つか）うと増減（ぞうげん）表（ひょう）を作（つく）らずに極値（きょくち）を迅速（じんそく）に判定（はんてい）できます。

  2. 02
    ステップ2：f'(x) = 0 を解（と）き f''(a) の符号（ふごう）を判定（はんてい）する

    Bước 2: Giải f'(x) = 0 và xét dấu của f''(a)

    Tìm nghiệm x = a của phương trình f'(x) = 0. Nếu f''(a) > 0 thì tại a có cực tiểu; nếu f''(a) < 0 thì tại a có cực đại.

    方程（ほうてい）式（しき） f'(x) = 0 の解（かい） x = a を求（もと）めます。f''(a) > 0 ならば a で極小（きょくしょう）となり、f''(a) < 0 ならば a で極大（きょくだい）となります。

  3. 03
    ステップ3：閉（へい）区間（くかん）における最大（さいだい）値（ち）と最小（さいしょう）値（ち）を求（もと）める

    Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đóng

    Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị nằm trong đoạn đóng và tại hai mút của đoạn. So sánh tất cả các giá trị này để chọn ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

    閉（へい）区間（くかん）内（ない）にある極値（きょくち）点（てん）での値（あたい）と、区間（くかん）の両（りょう）端点（たんてん）での値（あたい）を計算（けいさん）します。これらの値（あたい）をすべて比較（ひかく）して、最大（さいだい）値（ち）および最小（さいしょう）値（ち）を特定（とくてい）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên kiểm tra giá trị của hàm số tại hai mút của đoạn đóng khi tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.閉（へい）区間（くかん）における最大（さいだい）・最小（さいしょう）を求（もと）める際（さい）に、区間（くかん）の両（りょう）端点（たんてん）での関数（かんすう）の値（あたい）を計算（けいさん）し忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Trên đoạn đóng, giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất có thể xuất hiện tại mút đoạn chứ không nhất thiết tại điểm cực trị. Luôn phải so sánh giá trị tại mút với các giá trị cực trị.閉（へい）区間（くかん）では、最大（さいだい）値（ち）や最小（さいしょう）値（ち）が極値（きょくち）点（てん）ではなく区間（くかん）の端点（たんてん）に現（あらわ）れることがあります。必（かなら）ず端点（たんてん）での値（あたい）と極値（きょくち）を比較（ひかく）してください。

Kết luận x = a là cực tiểu khi f'(a) = 0 và f''(a) < 0 do nhầm dấu của đạo hàm cấp hai.第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）の符号（ふごう）を誤認（ごにん）し、f'(a) = 0 かつ f''(a) < 0 のとき a を極小（きょくしょう）と誤（ご）判定（はんてい）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Khi f''(a) < 0, đồ thị cong xuống nên điểm đó là điểm cực đại. Đồ thị chỉ đạt cực tiểu khi f''(a) > 0.f''(a) < 0 のときグラフは上（うえ）に凸（とつ）となるため極大（きょくだい）点（てん）です。f''(a) > 0 のときのみ極（ごく）小点（しょうてん）となります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Công thức đạo hàm của thương giúp tính đạo hàm chính xác của hàm số phân thức.商（しょう）の微分（びぶん）公式（こうしき）により、分数（ぶんすう）関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）を正確（せいかく）に計算（けいさん）できます。
  • Dấu của đạo hàm cấp hai f''(a) khi f'(a) = 0 xác định nhanh chóng điểm a là cực tiểu (f'' > 0) hay cực đại (f'' < 0).f'(a) = 0 のときの第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう） f''(a) の符号（ふごう）は、a が極小（きょくしょう）（f'' > 0）か極大（きょくだい）（f'' < 0）かを迅速（じんそく）に決定（けってい）します。
  • Trên đoạn đóng, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất được tìm bằng cách so sánh tất cả các giá trị cực trị thuộc đoạn với giá trị tại hai mút.閉（へい）区間（くかん）における最大（さいだい）値（ち）と最小（さいしょう）値（ち）は、区間（くかん）内（ない）のすべての極値（きょくち）と両（りょう）端点（たんてん）での値（あたい）を比較（ひかく）することで求（もと）まります。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

Công thức tính đạo hàm của một thương hai hàm số. Công thức này cho phép tìm đạo hàm của hàm số phân thức một cách chính xác.

2つの関数（かんすう）の商（しょう）の導（どう）関数（かんすう）を計算（けいさん）するための公式（こうしき）です。分数（ぶんすう）関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）を正確（せいかく）に求（もと）めるために使用（しよう）されます。

f'(a) = 0, f''(a) > 0

Tiêu chuẩn đạo hàm cấp hai cho điểm cực tiểu. Nếu tại x = a đạo hàm bằng 0 và đạo hàm cấp hai dương thì hàm số đạt giá trị cực tiểu tại a.

極小（きょくしょう）値（ち）を判定（はんてい）するための第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）の基準（きじゅん）です。x = a で導（どう）関数（かんすう）が0かつ第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）が正（せい）であれば、関数（かんすう）は a で極小（きょくしょう）値（ち）をとります。

f'(a) = 0, f''(a) < 0

Tiêu chuẩn đạo hàm cấp hai cho điểm cực đại. Nếu tại x = a đạo hàm bằng 0 và đạo hàm cấp hai âm thì hàm số đạt giá trị cực đại tại a.

極大（きょくだい）値（ち）を判定（はんてい）するための第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）の基準（きじゅん）です。x = a で導（どう）関数（かんすう）が0かつ第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）が負（ふ）であれば、関数（かんすう）は a で極大（きょくだい）値（ち）をとります。

EJU 2026 · MATH.19.2

Bài học này hướng dẫn ứng dụng đạo hàm cấp hai và công thức đạo hàm của thương để xét cực trị cũng như tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn đóng. Bạn sẽ thành thạo các phương pháp xác định tính chất của điểm dừng.

この課（か）では、第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）や商（しょう）の微分（びぶん）公式（こうしき）を用（もち）いて極値（きょくち）を判定（はんてい）し、閉（へい）区間（くかん）における最大（さいだい）値（ち）・最小（さいしょう）値（ち）を求（もと）める方法（ほうほう）を学（まな）びます。停留（ていりゅう）点（てん）の性質（せいしつ）を判定（はんてい）する手法（しゅほう）をマスターします。

極値（きょくち）の応用（おうよう）と判定（はんてい）
必要条件商の微分第2次導関数最大値