Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Vận tốc và gia tốc Phần 1速度（そくど）・加速（かそく）度（ど） 第（だい）1部（ぶ）

Công thức公式

v = \frac{dx}{dt}
\alpha = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}
\vec{v} = \left(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}\right)
\vec{\alpha} = \left(\frac{d^2x}{dt^2}, \frac{d^2y}{dt^2}\right)

Ví dụ例題

Một điểm chuyển động trên mặt phẳng có tọa độ vị trí tại thời điểm t > 0 được cho bởi x = t^3 - 3t và y = 2t^2. Hãy xác định vectơ vận tốc \(\vec{v}\) và vectơ gia tốc \(\vec{\alpha}\) tại thời điểm t = 2.

時刻（じこく） t > 0 における平面（へいめん）上（じょう）の点（てん）の位置（いち）が x = t^3 - 3t, y = 2t^2 で与（あた）えられています。時刻（じこく） t = 2 における速度（そくど）ベクトル \(\vec{v}\) と加速（かそく）度（ど）ベクトル \(\vec{\alpha}\) を求（もと）めなさい。

  1. Tính đạo hàm dx/dt = 3t^2 - 3 và dy/dt = 4t. Thay t = 2 ta được dx/dt = 3(2)^2 - 3 = 9 và dy/dt = 4(2) = 8. Do đó \(\vec{v}\) = (9, 8).導（どう）関数（かんすう） dx/dt = 3t^2 - 3 および dy/dt = 4t を計算（けいさん）します。t = 2 を代入（だいにゅう）すると dx/dt = 9, dy/dt = 8 となり、\(\vec{v}\) = (9, 8) です。
  2. Tính đạo hàm cấp hai d^2x/dt^2 = 6t và d^2y/dt^2 = 4. Thay t = 2 ta được d^2x/dt^2 = 6(2) = 12 và d^2y/dt^2 = 4. Do đó \(\vec{\alpha}\) = (12, 4).2階（かい）導（どう）関数（かんすう） d^2x/dt^2 = 6t および d^2y/dt^2 = 4 を計算（けいさん）します。t = 2 を代入（だいにゅう）すると d^2x/dt^2 = 12, d^2y/dt^2 = 4 となり、\(\vec{\alpha}\) = (12, 4) です。
Vậy tại t = 2, vectơ vận tốc là \(\vec{v}\) = (9, 8) và vectơ gia tốc là \(\vec{\alpha}\) = (12, 4).したがって、t = 2 における速度（そくど）ベクトルは \(\vec{v}\) = (9, 8)、加速（かそく）度（ど）ベクトルは \(\vec{\alpha}\) = (12, 4) となります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng có vị trí \(x (t) = t^{2} - 4 t + 5\). Gia tốc \(\alpha\) của chất điểm tại thời điểm t = 3 là bao nhiêu?直線（ちょくせん）運動（うんどう）する質点（しつてん）の位置（いち）が \(x (t) = t^{2} - 4 t + 5\) で表（あらわ）されます。時刻（じこく） t = 3 における質点（しつてん）の加速（かそく）度（ど） \(\alpha\) はいくらですか。

2. Một điểm chuyển động trên mặt phẳng có tọa độ (x, y) = (2t, t^2 - t). Vectơ vận tốc \(\vec{v}\) tại t = 1 là:平面（へいめん）上（じょう）を運動（うんどう）する点（てん）の座標（ざひょう）が (x, y) = (2t, t^2 - t) で与（あた）えられます。t = 1 における速度（そくど）ベクトル \(\vec{v}\) はどれですか。

3. Một vật chuyển động trên mặt phẳng với tọa độ x = t^3, y = t^2. Vectơ gia tốc \(\vec{\alpha}\) tại t = 1 là:平面（へいめん）上（じょう）を運動（うんどう）する物体（ぶったい）の座標（ざひょう）が x = t^3, y = t^2 です。t = 1 における加速（かそく）度（ど）ベクトル \(\vec{\alpha}\) はどれですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.19.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.19.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững cách tính vận tốc v và gia tốc \(\alpha\) trong chuyển động trên đường thẳng bằng đạo hàm cấp một và cấp hai của vị trí x(t).位置（いち） x(t) の1階（かい）および2階（かい）微分（びぶん）を用（もち）いて、直線（ちょくせん）上（じょう）の運動（うんどう）における速度（そくど） v と加速（かそく）度（ど） \(\alpha\) を計算（けいさん）する方法（ほうほう）を習得（しゅうとく）する。
  2. Biết cách biểu diễn vectơ vận tốc \(\vec{v}\) và vectơ gia tốc \(\vec{\alpha}\) thông qua các thành phần đạo hàm x'(t) và y'(t) trong mặt phẳng.平面（へいめん）上（じょう）の運動（うんどう）において、導（どう）関数（かんすう） x'(t) と y'(t) の成分（せいぶん）を用（もち）いて速度（そくど）ベクトル \(\vec{v}\) および加速（かそく）度（ど）ベクトル \(\vec{\alpha}\) を表現（ひょうげん）する方法（ほうほう）を理解（りかい）する。
  3. Áp dụng thành thạo đạo hàm theo thời gian t để giải các bài toán chuyển động thực tế.時間（じかん） t に関（かん）する微分（びぶん）を習熟（しゅうじゅく）し、実際（じっさい）の運動（うんどう）問題（もんだい）を正確（せいかく）に解決（かいけつ）できるようにする。
Trực giác · イメージ

Đạo hàm là tốc độ thay đổi vị trí theo thời gian微分（びぶん）は時間（じかん）に対（たい）する位置（いち）の変化（へんか）率（りつ）である

Khi một vật di chuyển, vị trí của nó thay đổi theo thời gian t. Đạo hàm bậc nhất cho biết sự thay đổi vị trí tức thời, chính là vận tốc. Đạo hàm bậc hai cho biết sự thay đổi vận tốc tức thời, chính là gia tốc.

物体（ぶったい）が移動（いどう）するとき、その位置（いち）は時間（じかん） t とともに変化（へんか）します。1階（かい）微分（びぶん）は瞬間（しゅんかん）的（てき）な位置（いち）の変化（へんか）を表（あらわ）す速度（そくど）となり、2階（かい）微分（びぶん）は瞬間（しゅんかん）的（てき）な速度（そくど）の変化（へんか）を表（あらわ）す加速（かそく）度（ど）となります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 直線（ちょくせん）上（じょう）の運動（うんどう）chuyển động trên đường thẳng

    Chuyển động trong đó vị trí của vật được xác định bởi một tọa độ x(t) trên trục số.

    物体（ぶったい）の位置（いち）が数（すう）軸（じく）上（じょう）の1つの座標（ざひょう） x(t) によって表（あらわ）される運動（うんどう）のことです。

  • 速度（そくど）vận tốc

    Tốc độ thay đổi vị trí theo thời gian t, được tính bằng đạo hàm cấp một dx/dt.

    時間（じかん） t に対（たい）する位置（いち）の変化（へんか）率（りつ）であり、1階（かい）導（どう）関数（かんすう） dx/dt によって計算（けいさん）されます。

  • 加速（かそく）度（ど）gia tốc

    Tốc độ thay đổi của vận tốc theo thời gian t, được tính bằng đạo hàm dv/dt hoặc \(d^{2} x / dt^{2}\).

    時間（じかん） t に対（たい）する速度（そくど）の変化（へんか）率（りつ）であり、dv/dt または \(d^{2} x / dt^{2}\) によって計算（けいさん）されます。

  • 平面（へいめん）上（じょう）の運動（うんどう）chuyển động trên mặt phẳng

    Chuyển động trong đó vị trí của vật được xác định bởi cặp tọa độ (x(t), y(t)) trên mặt phẳng oxy.

    物体（ぶったい）の位置（いち）が平面（へいめん）上（じょう）の座標（ざひょう）の組（くみ） (x(t), y(t)) によって表（あらわ）される運動（うんどう）のことです。

  • 速度（そくど）ベクトルvectơ vận tốc

    Vectơ có các thành phần là đạo hàm của tọa độ x và y theo thời gian, ký hiệu \(\vec{v}\) = (dx/dt, dy/dt).

    時間（じかん）に関（かん）する x 座標（ざひょう）と y 座標（ざひょう）の微分（びぶん）を成分（せいぶん）とするベクトルで、\(\vec{v}\) = (dx/dt, dy/dt) と表（あらわ）されます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1: 時間（じかん）で位置（いち）を微分（びぶん）して直線（ちょくせん）上（じょう）の速度（そくど）を求（もと）める

    Bước 1: Đạo hàm vị trí theo thời gian để tìm vận tốc trên đường thẳng

    Cho phương trình vị trí x(t) trên đường thẳng. Đạo hàm x(t) theo t để thu được v(t) = dx/dt.

    直線（ちょくせん）上（じょう）の位置（いち）の関数（かんすう） x(t) が与（あた）えられたとき、t で微分（びぶん）して v(t) = dx/dt を求（もと）めます。

  2. 02
    ステップ2: 速度（そくど）を時間（じかん）で微分（びぶん）して加速（かそく）度（ど）を求（もと）める

    Bước 2: Đạo hàm vận tốc theo thời gian để tìm gia tốc

    Đạo hàm tiếp v(t) theo t (hoặc đạo hàm cấp hai của x(t)) để thu được gia tốc \(\alpha (t) = d^{2} x / dt^{2}\).

    v(t) をさらに t で微分（びぶん）（または x(t) の2階（かい）微分（びぶん））して、加速（かそく）度（ど） \(\alpha (t) = d^{2} x / dt^{2}\) を求（もと）めます。

  3. 03
    ステップ3: 平面（へいめん）運動（うんどう）において x 座標（ざひょう）と y 座標（ざひょう）を独立（どくりつ）に時間（じかん）微分（びぶん）する

    Bước 3: Đạo hàm độc lập các tọa độ x và y trong chuyển động mặt phẳng

    Với vị trí (x(t), y(t)), đạo hàm riêng biệt x'(t) và y'(t) để ghép thành vectơ vận tốc \(\vec{v}\) = (dx/dt, dy/dt).

    位置（いち） (x(t), y(t)) に対（たい）して、x'(t) と y'(t) を個別（こべつ）に微分（びぶん）し、速度（そくど）ベクトル \(\vec{v}\) = (dx/dt, dy/dt) を構成（こうせい）します。

  4. 04
    ステップ4: 座標（ざひょう）の2階（かい）微分（びぶん）を行（おこな）って加速（かそく）度（ど）ベクトルを構成（こうせい）する

    Bước 4: Đạo hàm cấp hai các tọa độ để lập vectơ gia tốc

    Đạo hàm cấp hai x''(t) và y''(t) theo t để viết vectơ gia tốc \(\vec{\alpha}\) = (d^2x/dt^2, d^2y/dt^2).

    x''(t) と y''(t) を求（もと）めることで、加速（かそく）度（ど）ベクトル \(\vec{\alpha}\) = (d^2x/dt^2, d^2y/dt^2) を作成（さくせい）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn giữa vận tốc dx/dt (có thể âm) và tốc độ (độ lớn, luôn không âm).速度（そくど） dx/dt（負（ふ）の値（あたい）を取（と）り得（う）る）と速（はや）さ（大（おお）きさ、常（つね）に非（ひ）負（ふ））を混同（こんどう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Vận tốc trên đường thẳng mang dấu để chỉ chiều chuyển động, trong khi gia tốc mang dấu chỉ sự thay đổi vận tốc.直線（ちょくせん）上（じょう）の速度（そくど）は運動（うんどう）の向（む）きを表（あらわ）す符号（ふごう）を持（も）ち、加速（かそく）度（ど）は速度（そくど）の変化（へんか）の向（む）きを表（あらわ）す符号（ふごう）を持（も）ちます。

Tính đạo hàm theo vị trí x thay vì đạo hàm theo thời gian t khi tìm gia tốc.加速（かそく）度（ど）を求（もと）める際（さい）に、時間（じかん） t ではなく位置（いち） x で微分（びぶん）してしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Gia tốc \(\alpha\) luôn là đạo hàm bậc nhất của vận tốc v theo thời gian t, tức là \(\alpha = dv / dt = d^{2} x / dt^{2}\).加速（かそく）度（ど） \(\alpha\) は常（つね）に時間（じかん） t に関（かん）する速度（そくど） v の1階（かい）導（どう）関数（かんすう）、つまり \(\alpha = dv / dt = d^{2} x / dt^{2}\) です。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Trong chuyển động đường thẳng, vận tốc v = dx/dt và gia tốc \(\alpha = dv / dt = d^{2} x / dt^{2}\).直線（ちょくせん）運動（うんどう）において、速度（そくど）は v = dx/dt、加速（かそく）度（ど）は \(\alpha = dv / dt = d^{2} x / dt^{2}\) です。
  • Trong chuyển động mặt phẳng, vectơ vận tốc \(\vec{v}\) = (dx/dt, dy/dt).平面（へいめん）運動（うんどう）において、速度（そくど）ベクトルは \(\vec{v}\) = (dx/dt, dy/dt) です。
  • Vectơ gia tốc trong mặt phẳng được xác định bởi hai đạo hàm cấp hai \(\vec{\alpha}\) = (d^2x/dt^2, d^2y/dt^2).平面（へいめん）における加速（かそく）度（ど）ベクトルは、2つの2階（かい）導（どう）関数（かんすう） \(\vec{\alpha}\) = (d^2x/dt^2, d^2y/dt^2) で定（さだ）まります。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

v = \frac{dx}{dt}

Vận tốc v là đạo hàm cấp một của vị trí x theo thời gian t.

速度（そくど） v は、位置（いち） x の時間（じかん） t に関（かん）する1階（かい）導（どう）関数（かんすう）です。

\alpha = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}

Gia tốc \(\alpha\) là đạo hàm cấp một của v hoặc đạo hàm cấp hai của x theo thời gian t.

加速（かそく）度（ど） \(\alpha\) は、速度（そくど） v の1階（かい）導（どう）関数（かんすう）または位置（いち） x の時間（じかん） t に関（かん）する2階（かい）導（どう）関数（かんすう）です。

\vec{v} = \left(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}\right)

Vectơ vận tốc trong mặt phẳng có hai thành phần là đạo hàm của x và y theo t.

平面（へいめん）上（じょう）の速度（そくど）ベクトルは、x と y の時間（じかん）微分（びぶん）を成分（せいぶん）に持（も）ちます。

\vec{\alpha} = \left(\frac{d^2x}{dt^2}, \frac{d^2y}{dt^2}\right)

Vectơ gia tốc trong mặt phẳng có các thành phần là đạo hàm cấp hai của x và y theo t.

平面（へいめん）上（じょう）の加速（かそく）度（ど）ベクトルは、x と y の時間（じかん）に関（かん）する2階（かい）導（どう）関数（かんすう）を成分（せいぶん）に持（も）ちます。

EJU 2026 · MATH.19.2

Bài học này giúp bạn hiểu cách đạo hàm tọa độ theo thời gian t để xác định vận tốc và gia tốc trong chuyển động trên đường thẳng và mặt phẳng. Đây là nền tảng quan trọng để xử lý các bài toán động học trong kỳ thi EJU Toán Course 2.

本課（ほんか）では、時間（じかん） t に関（かん）する座標（ざひょう）の微分（びぶん）を用（もち）いて、直線（ちょくせん）および平面（へいめん）上（じょう）の運動（うんどう）における速度（そくど）と加速（かそく）度（ど）を求（もと）める方法（ほうほう）を学（まな）びます。これはEJU数学（すうがく）コース2の動力（どうりょく）学（がく）問題（もんだい）を解（と）くための重要（じゅうよう）な基礎（きそ）となります。

速度（そくど）・加速（かそく）度（ど） 第（だい）1部（ぶ）
直線上の運動速度加速度平面上の運動