第1章 方程式と不等式 — Phương trình & Bất phương trình
Đơn thức (単項式 - tan'kōshiki): là biểu thức chỉ chứa tích của các số (gọi là hệ số) và các chữ (gọi là biến số). Ví dụ: $-3x^2y$, $\frac{1}{2}ab^3$, $5$, $x$.
Đa thức (多項式 - takōshiki): là tổng của hữu hạn các đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng đó gọi là hạng tử (項 - kō).
Đa thức rút gọn (整式 - seishiki): đa thức trong đó các hạng tử đồng dạng đã được gộp lại.
Bậc của đơn thức: tổng các số mũ của các biến. Ví dụ: $-3x^2y^4$ có bậc $2+4=6$.
Bậc của đa thức: bậc lớn nhất trong các hạng tử.
Hệ số tự do (定数項): hạng tử không chứa biến.
Khi đa thức có một biến (chẳng hạn biến $x$), ta sắp xếp theo lũy thừa giảm dần (降べき) hoặc tăng dần (昇べき) của $x$. Quy ước phổ biến: giảm dần.
Khi đa thức có nhiều biến, ta thường chọn một biến làm "biến chính" rồi sắp xếp theo lũy thừa của biến đó; các đa thức theo biến còn lại đóng vai trò "hệ số".
Ví dụ: Sắp xếp $P = 3xy^2 - x^3 + 2x^2y - 5 + xy + x^3 - y^2$ theo lũy thừa giảm của $x$:
$P = (2y)x^2 + (3y^2 + y)x + (- y^2 - 5)$
Chú ý: $-x^3 + x^3 = 0$ nên hạng tử bậc 3 triệt tiêu, bậc của $P$ (theo $x$) chỉ còn là 2.
Với mọi đa thức $A, B, C$:
Cho hai đa thức $A(x), B(x)$ với $B(x) \ne 0$. Tồn tại duy nhất hai đa thức $Q(x)$ (thương) và $R(x)$ (dư) sao cho:
$A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$ với $\deg R < \deg B$ hoặc $R = 0$.
Khi $R(x) = 0$, ta nói $A(x)$ chia hết cho $B(x)$, viết $B(x) \mid A(x)$.
Cách thực hiện: Chia theo "phép chia dài" (筆算) giống chia số nguyên — lấy hạng tử bậc cao nhất của $A$ chia cho hạng tử bậc cao nhất của $B$.
Khi chia đa thức $P(x)$ cho $(x - a)$, số dư là $P(a)$.
Hệ quả (定理の系): $P(x) \,\vdots\, (x-a) \iff P(a) = 0$.
Tổng quát hơn: khi chia $P(x)$ cho $(ax-b)$, số dư là $P\!\left(\dfrac{b}{a}\right)$.
Để chia $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0$ cho $(x - c)$:
Bước: Viết hệ số $P$ thành 1 hàng. Đem hệ số đầu xuống. Mỗi cột tiếp theo: nhân $c$ với kết quả trước, cộng hệ số trên.
Kết quả: các số (trừ số cuối) là hệ số của thương; số cuối là số dư.
Bài tập tự luyện — Bài 1
b) $(x + (y-2))(x - (y-2)) = x^2 - (y-2)^2 = x^2 - y^2 + 4y - 4$.
$x^4+y^4 = 7^2 - 2 = 47$; $x^5+y^5 = (x^2+y^2)(x^3+y^3) - x^2y^2(x+y) = 7\cdot 18 - 1\cdot 3 = 123$.
b) $(a^2-b^2)(a^2+b^2)(a^4+b^4) = (a^4-b^4)(a^4+b^4) = a^8 - b^8$.
$(a^2+b^2+c^2)^2 = a^4+b^4+c^4 + 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) = 36$.
$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 = (ab+bc+ca)^2 - 2abc(a+b+c) = 9 - 0 = 9$.
Vậy $a^4+b^4+c^4 = 36 - 18 = 18$.
$P(0) = d = -3$. $P(1) = a+b+c-3 = -2 \Rightarrow a+b+c = 1$.
$P(-1) = -a+b-c-3 = -8 \Rightarrow -a+b-c = -5$.
$P(2) = 8a+4b+2c-3 = 11 \Rightarrow 8a+4b+2c = 14$.
Giải: $a = 2, b = -2, c = 1, d = -3$. $P(x) = 2x^3 - 2x^2 + x - 3$.
Thương: $x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16$, dư 0.
Tức $x^5 - 32 = (x-2)(x^4+2x^3+4x^2+8x+16)$.
Chia hết cho 2 và 3 vì có 3 số nguyên liên tiếp.
Chia hết cho 5: xét $n \pmod 5$ — kiểm 5 trường hợp, mỗi trường hợp đều có 1 thừa số chia hết cho 5.
Vậy chia hết cho $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$. ∎
Phân tích một đa thức thành tích của các đa thức bậc thấp hơn gọi là 因数分解 (phân tích nhân tử). Mỗi đa thức trong tích đó gọi là một nhân tử (因数 - inshū).
Ngược với khai triển: Khai triển = tích → tổng. Phân tích nhân tử = tổng → tích.
Tìm nhân tử chung lớn nhất (UCNL) của tất cả các hạng tử rồi đặt ra ngoài.
Ví dụ: $6x^3y - 9x^2y^2 + 12x^2y = 3x^2y(2x - 3y + 4)$.
Nhận dạng dạng quen thuộc rồi đảo ngược hằng đẳng thức ① – ⑦ ở Bài 1.
Ví dụ: $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$; $\;27a^3 + 8b^3 = (3a+2b)(9a^2 - 6ab + 4b^2)$.
Chia các hạng tử thành các nhóm sao cho mỗi nhóm phân tích được nhân tử chung; sau đó đặt tiếp nhân tử chung giữa các nhóm.
Ví dụ: $ax + bx + ay + by = x(a+b) + y(a+b) = (a+b)(x+y)$.
Tách một hạng tử thành hai (hoặc nhiều) hạng tử để xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
Ví dụ: $x^2 - 5x + 6 = x^2 - 2x - 3x + 6 = x(x-2) - 3(x-2) = (x-2)(x-3)$.
Cho tam thức $ax^2 + bx + c$. Tìm $a_1, a_2, c_1, c_2$ sao cho $a_1 a_2 = a$, $c_1 c_2 = c$, $a_1 c_2 + a_2 c_1 = b$. Khi đó:
Ví dụ: $6x^2 + 7x - 3$. Ta tìm $2 \cdot 3 = 6$, $3 \cdot (-1) = -3$, $2\cdot(-1) + 3\cdot 3 = 7$ ✓.
Vậy $6x^2 + 7x - 3 = (2x + 3)(3x - 1)$.
Khi đa thức có biểu thức lặp lại, đặt $t = $ biểu thức đó.
Ví dụ: $P = (x^2+x)^2 - 8(x^2+x) + 12$. Đặt $t = x^2+x$:
$P = t^2 - 8t + 12 = (t-2)(t-6) = (x^2+x-2)(x^2+x-6) = (x-1)(x+2)(x-2)(x+3)$.
Giả sử đa thức bậc 4 (hoặc cao hơn) có thể viết thành tích của hai đa thức bậc thấp, với các hệ số chưa biết. Đồng nhất rồi giải hệ.
Ví dụ: $x^4 + 4 = (x^2+ax+b)(x^2-ax+c)$. Đồng nhất → $a=2, b=c=2$ → $x^4+4 = (x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$ (đây là Sophie Germain identity).
Nếu $P(x) = a_n x^n + \dots + a_0$ có nghiệm hữu tỉ $\dfrac{p}{q}$ (tối giản) thì $p \mid a_0$ và $q \mid a_n$.
Ví dụ: $P(x) = 2x^3 - x^2 - 5x - 2$. Thử nghiệm hữu tỉ: $\pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{2}$. $P(2) = 16 - 4 - 10 - 2 = 0$ ✓
Chia $P(x) : (x-2) = 2x^2 + 3x + 1 = (2x+1)(x+1)$.
Vậy $P(x) = (x-2)(2x+1)(x+1)$.
Đặt $t = x^2+5x+5$: $(t-1)(t+1) - 24 = t^2 - 25 = (t-5)(t+5) = (x^2+5x)(x^2+5x+10) = x(x+5)(x^2+5x+10)$.
- Đặt nhân tử chung trước tiên (nếu có).
- Nhận dạng hằng đẳng thức $(a\pm b)^2, a^2-b^2, a^3\pm b^3, \dots$.
- Nhóm hạng tử (chia thành 2 cặp / 3 cặp).
- Với tam thức bậc hai: dùng thập tự / công thức nghiệm.
- Với bậc cao: dùng đặt ẩn phụ, định lý nghiệm hữu tỉ, hệ số bất định.
Bài tập tự luyện — Bài 2
Vậy $= (x+1)(x-3)(x+2)$.
b) Đặt $t = x^2$: $t^2 - 5t + 4 = (t-1)(t-4) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$.
c) Khai triển và sắp theo $a$ rồi nhóm, hoặc thay $a = b$ để thấy biểu thức bằng 0 → có nhân tử $(a-b)$. Tương tự $(b-c), (c-a)$.
Kết quả: $-(a-b)(b-c)(c-a)$.
$\mathbb{N}$: số tự nhiên ($0, 1, 2, \dots$) — 自然数
$\mathbb{Z}$: số nguyên (gồm âm, không, dương) — 整数
$\mathbb{Q}$: số hữu tỉ (có thể viết $\dfrac{p}{q}, p, q \in \mathbb{Z}, q \ne 0$) — 有理数
$\mathbb{R}$: số thực (gồm hữu tỉ và vô tỉ) — 実数
$\mathbb{I}$: số vô tỉ (không phải hữu tỉ) — 無理数. Ví dụ: $\sqrt{2}, \pi, e$.
Quan hệ bao hàm: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
Số thập phân hữu hạn (有限小数): ví dụ $0.25 = \dfrac{1}{4}$.
Số thập phân tuần hoàn (循環小数): ví dụ $0.\overline{3} = \dfrac{1}{3}$, $0.\overline{142857} = \dfrac{1}{7}$.
Định lý: Số hữu tỉ ⟺ thập phân hữu hạn hoặc tuần hoàn. Số vô tỉ ⟺ thập phân vô hạn không tuần hoàn.
Đổi số tuần hoàn → phân số: Đặt $x = 0.\overline{abc}$ → $1000 x = abc.\overline{abc}$ → $999 x = abc$ → $x = \dfrac{abc}{999}$.
Giá trị tuyệt đối của số thực $a$: $$|a| = \begin{cases} a & \text{nếu } a \ge 0 \\ -a & \text{nếu } a < 0 \end{cases}$$
Ý nghĩa hình học: $|a|$ = khoảng cách từ điểm $a$ đến gốc 0 trên trục số. $|a-b|$ = khoảng cách từ $a$ đến $b$.
• $x < -2$: $-(x+2) - (x-3) = 7 \Rightarrow -2x + 1 = 7 \Rightarrow x = -3$ (✓ vì $-3 < -2$).
• $-2 \le x \le 3$: $(x+2) - (x-3) = 5 \ne 7$ → vô nghiệm.
• $x > 3$: $(x+2) + (x-3) = 7 \Rightarrow 2x - 1 = 7 \Rightarrow x = 4$ (✓ vì $4 > 3$).
Bài tập tự luyện — Bài 3
Cho $a \ge 0$. Căn bậc hai số học của $a$ là số không âm $x$ sao cho $x^2 = a$, ký hiệu $\sqrt{a}$.
Hai căn bậc hai của $a > 0$ là $\sqrt{a}$ và $-\sqrt{a}$. Quy ước: $\sqrt{0} = 0$.
Với $a < 0$, $\sqrt{a}$ không xác định trên $\mathbb{R}$.
Mẫu: $[(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}][(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}] = (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 - 5 = 5 + 2\sqrt{6} - 5 = 2\sqrt{6}$.
Kết quả: $\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}{12} = \dfrac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}$.
Nếu $a > 0, b > 0, a > b$ và $a^2 - b$ là số chính phương, ta có:
Mẹo nhớ: tìm hai số có tổng bằng a và tích bằng b.
Bài tập tự luyện — Bài 4
$\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{12-2\sqrt{27}}$. $x+y=12, xy=27 → x=9,y=3$. $= 3 - \sqrt{3}$.
$x^3 + \dfrac{1}{x^3} = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x+\dfrac{1}{x}\right) = 64 - 12 = 52$.
Bất phương trình bậc nhất một ẩn $x$ có dạng $ax + b > 0$ (hoặc $\ge, <, \le$) với $a \ne 0$.
Quy tắc biến đổi:
① Cộng (trừ) cùng một biểu thức vào 2 vế: chiều bất phương trình không đổi.
② Nhân (chia) 2 vế cho cùng một số dương: chiều không đổi.
③ Nhân (chia) 2 vế cho cùng một số âm: phải đổi chiều bất phương trình.
Bài tập tự luyện — Bài 5
Để có đúng 3 số nguyên ($-2, -1, 0$): cần $0 < \dfrac{a+5}{3} \le 1 \iff -5 < a \le -2$.
Phương trình bậc hai một ẩn có dạng $ax^2 + bx + c = 0$ với $a \ne 0$.
$\Delta > 0$ → 2 nghiệm thực phân biệt.
$\Delta = 0$ → 1 nghiệm kép $x = -\dfrac{b}{2a}$.
$\Delta < 0$ → vô nghiệm thực (có 2 nghiệm phức).
Nếu $x_1, x_2$ là 2 nghiệm của $ax^2+bx+c = 0$ thì:
Hệ quả ngược: Hai số có tổng $S$, tích $P$ là nghiệm của $X^2 - SX + P = 0$ (cần $S^2 \ge 4P$).
Các biểu thức đối xứng thường gặp:
| Loại nghiệm | Δ | S = x₁+x₂ | P = x₁x₂ |
|---|---|---|---|
| 2 nghiệm trái dấu | (tự thỏa) | — | $P < 0$ |
| 2 nghiệm cùng dương | $\Delta \ge 0$ | $S > 0$ | $P > 0$ |
| 2 nghiệm cùng âm | $\Delta \ge 0$ | $S < 0$ | $P > 0$ |
| 2 nghiệm phân biệt | $\Delta > 0$ | — | — |
1. Phương trình trùng phương: $ax^4 + bx^2 + c = 0$. Đặt $t = x^2 \ge 0$.
2. Phương trình đối xứng: $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0$ (a ≠ 0). Chia $x^2$, đặt $t = x + \dfrac{1}{x}$.
3. Phương trình chứa căn $\sqrt{f(x)} = g(x)$: điều kiện $g(x) \ge 0$, $f(x) \ge 0$, bình phương 2 vế.
4. Phương trình chứa $|f(x)|$: chia khoảng hoặc bình phương khi cả 2 vế cùng dấu.
Bài tập tự luyện — Bài 6
Kiểm tra $\Delta = (m-1)^2 - 4(m+2) \ge 0$: với $m=6$: $25 - 32 = -7 < 0$ ❌. Với $m=-2$: $9 - 0 = 9 \ge 0$ ✓.
Vậy $m = -2$.