Lời giải từng bước

1. a) Dùng hằng đẳng thức lập phương của hiệu với $A=2x$, $B=3y$.

   $$(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3$$
   $$(2x-3y)^3=(2x)^3-3(2x)^2(3y)+3(2x)(3y)^2-(3y)^3$$
   $$(2x-3y)^3=8x^3-36x^2y+54xy^2-27y^3$$

2. b) Hai ngoặc có dạng hiệu hai bình phương. Đặt $t=y-2$ để biến đổi chúng thành $x+t$ và $x-t$.

   $$(x+y-2)(x-y+2)=(x+t)(x-t)=x^2-t^2$$
   $$x^2-(y-2)^2=x^2-y^2+4y-4$$

Lời giải từng bước

1. Đặt $S=x+y=3$, $P=xy=1$. Với dữ kiện là tổng và tích, dùng các đẳng thức đối xứng thay vì phải tìm riêng $x,y$.

   $$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=S^2-2P=3^2-2\cdot1=7$$

2. Áp dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương.

   $$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=S^3-3PS$$
   $$x^3+y^3=3^3-3\cdot1\cdot3=18$$

3. Nhân $x^2+y^2$ với $x^3+y^3$, rồi tách phần chéo $x^2y^3+x^3y^2=x^2y^2(x+y)$ để tính tổng bậc năm.

   $$(x^2+y^2)(x^3+y^3)=x^5+y^5+x^2y^2(x+y)$$
   $$x^5+y^5=7\cdot18-1^2\cdot3=123$$

Tự kiểm tra: Các kết quả chỉ phụ thuộc vào $x+y$ và $xy$, đúng với cách đặt $S,P$ ban đầu.

Lời giải từng bước

1. Vì số chia có bậc $2$, số dư phải có bậc nhỏ hơn $2$. Đặt $R(x)=ax+b$.

   $$P(x)=x^{100}+1$$
   $$P(x)=(x^2-1)Q(x)+R(x)$$

2. $1$ và $-1$ là nghiệm của $x^2-1$, nên thay hai giá trị này vào đẳng thức chia để tìm $a,b$.

   $$P(1)=2=R(1)=a+b$$
   $$P(-1)=2=R(-1)=-a+b$$
   $$2a=0\Rightarrow a=0,\qquad b=2$$

Tự kiểm tra: Kiểm tra nhanh: $x^2\equiv1\pmod{x^2-1}$ nên $x^{100}=(x^2)^{50}\equiv1$; do đó $x^{100}+1\equiv2$.

Lời giải từng bước

1. a) Dùng công thức bình phương của tổng ba hạng tử với $A=x^2$, $B=2x$, $C=-1$.

   $$(A+B+C)^2=A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC$$
   $$(x^2+2x-1)^2=x^4+4x^2+1+4x^3-2x^2-4x$$
   $$(x^2+2x-1)^2=x^4+4x^3+2x^2-4x+1$$

2. b) Ghép từng cặp để liên tiếp tạo hai hiệu bình phương.

   $$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
   $$(a^2-b^2)(a^2+b^2)=a^4-b^4$$
   $$(a^4-b^4)(a^4+b^4)=a^8-b^8$$

Lời giải từng bước

1. Bình phương điều kiện $a+b+c=0$ để tìm tổng các tích từng đôi.

   $$0=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$$
   $$0=6+2(ab+bc+ca)$$
   $$ab+bc+ca=-3$$

2. Cần tính $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$ trước khi bình phương $a^2+b^2+c^2$.

   $$(ab+bc+ca)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c)$$
   $$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=(-3)^2-2abc\cdot0=9$$

3. Bình phương tổng bình phương đã biết và thế giá trị vừa tìm được.

   $$(a^2+b^2+c^2)^2=a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$$
   $$36=a^4+b^4+c^4+2\cdot9$$
   $$a^4+b^4+c^4=18$$

Lời giải từng bước

1. Vì $P(x)$ là đa thức bậc $3$, đặt dạng tổng quát rồi dùng từng giá trị đã cho để lập hệ bốn hệ số.

   $$P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$
   $$P(0)=d=-3$$
   $$P(1)=-2\Rightarrow a+b+c=1$$
   $$P(-1)=-8\Rightarrow -a+b-c=-5$$
   $$P(2)=11\Rightarrow8a+4b+2c=14$$

2. Cộng hai phương trình chỉ chứa $a,b,c$ đầu tiên để khử $a,c$ và tìm $b$.

   $$(a+b+c)+(-a+b-c)=1+(-5)$$
   $$2b=-4\Rightarrow b=-2$$
   $$a+b+c=1\Rightarrow a+c=3$$

3. Thay $b=-2$ vào phương trình tại $x=2$, rồi giải hệ hai ẩn $a,c$.

   $$8a+4(-2)+2c=14\Rightarrow4a+c=11$$
   $$(4a+c)-(a+c)=11-3\Rightarrow3a=8$$
   $$a=\frac{8}{3},\qquad c=3-\frac{8}{3}=\frac{1}{3}$$

4. Thế bốn hệ số vào dạng tổng quát của đa thức.

   $$P(x)=\frac{8}{3}x^3-2x^2+\frac{1}{3}x-3$$

Tự kiểm tra: Thay $x=0,1,-1,2$ lần lượt được $-3,-2,-8,11$, nên đa thức thỏa đủ bốn điều kiện.

Lời giải từng bước

1. Viết cả các hệ số bằng $0$ của $P(x)$ rồi dùng Horner với $2$, vì $x-2=0$ tại $x=2$.

   $$P(x)=x^5+0x^4+0x^3+0x^2+0x-32$$
   $$\text{coefficients: }1,0,0,0,0,-32$$

2. Hạ hệ số đầu, sau đó lặp lại quy tắc: nhân với $2$ rồi cộng vào hệ số kế tiếp.

   $$1\to2\to4\to8\to16\to0$$
   $$\begin{array}{r|rrrrrr}2&1&0&0&0&0&-32\\\hline&&2&4&8&16&32\\&1&2&4&8&16&0\end{array}$$

3. Năm số cuối trước số dư là hệ số của thương; số cuối cùng là số dư.

   $$Q(x)=x^4+2x^3+4x^2+8x+16$$
   $$R=0$$
   $$x^5-32=(x-2)(x^4+2x^3+4x^2+8x+16)$$

Tự kiểm tra: Theo định lý dư, $R=P(2)=2^5-32=0$, khớp với sơ đồ Horner.

Lời giải từng bước

1. Phân tích hiệu $n^5-n$ để nhận ra ba số nguyên liên tiếp $n-1,n,n+1$.

   $$n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)$$
   $$n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$$

2. Trong ba số nguyên liên tiếp luôn có một số chẵn và một số chia hết cho $3$, nên tích trên chia hết cho $2$ và $3$.

   $$2\mid n(n-1)(n+1)$$
   $$3\mid n(n-1)(n+1)$$

3. Xét $n$ theo modulo $5$. Nếu $n\equiv0,\pm1\pmod5$ thì một trong $n-1,n,n+1$ chia hết cho $5$; nếu $n\equiv\pm2\pmod5$ thì $n^2+1\equiv0\pmod5$.

   $$5\mid n(n-1)(n+1)(n^2+1)$$

4. Vì $2,3,5$ đôi một nguyên tố cùng nhau, chia hết cho cả ba số suy ra chia hết cho tích của chúng.

   $$30=2\cdot3\cdot5\mid n^5-n$$

Lời giải từng bước

1. Đây là cấp số nhân có số hạng đầu $1=2^0$, công bội $2$ và $100$ số hạng. Có thể suy ra công thức bằng cách nhân tổng với $2$ rồi trừ.

   $$A=1+2+2^2+\cdots+2^{99}$$
   $$2A=2+2^2+\cdots+2^{100}$$

2. Trừ hai đẳng thức: các hạng tử ở giữa triệt tiêu từng đôi.

   $$2A-A=2^{100}-1$$
   $$A=2^{100}-1$$

Lời giải từng bước

1. a) Đặt $P(x)=x^3-7x-6$. Thử nghiệm nguyên để tìm một nhân tử bậc nhất; $P(-1)=0$ nên $x+1$ là nhân tử.

   $$P(-1)=-1+7-6=0$$
   $$P(x)=(x+1)(x^2-x-6)$$
   $$x^2-x-6=(x-3)(x+2)$$

2. b) Chỉ có các lũy thừa chẵn, nên đặt $t=x^2$ để đưa về tam thức bậc hai. Sau khi phân tích theo $t$, thay lại $t=x^2$ và dùng hiệu hai bình phương.

   $$t^2-5t+4=(t-1)(t-4)$$
   $$x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4)$$
   $$=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$$

3. c) Sắp biểu thức theo lũy thừa của $a$. Dùng $c^2-b^2=-(b-c)(b+c)$ để đặt nhân tử chung $b-c$.

   $$E=a^2(b-c)+a(c^2-b^2)+bc(b-c)$$
   $$=(b-c){a^2-a(b+c)+bc}$$
   $$=(b-c)(a-b)(a-c)$$

Tự kiểm tra: Khai triển các tích để đối chiếu biểu thức ban đầu. Ở câu c), $(a-c)=-(c-a)$ nên kết quả cũng viết được là $-(a-b)(b-c)(c-a)$.

Lời giải từng bước

1. Muốn dùng hiệu hai bình phương, trước hết tạo bình phương $(x^2+2y^2)^2$. Bình phương này dư $4x^2y^2$, nên thêm rồi bớt đúng hạng tử đó.

   $$x^4+4y^4=x^4+4x^2y^2+4y^4-4x^2y^2$$
   $$=(x^2+2y^2)^2-(2xy)^2$$

2. Áp dụng $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ với $A=x^2+2y^2$, $B=2xy$.

   $$x^4+4y^4=(x^2-2xy+2y^2)(x^2+2xy+2y^2)$$

Tự kiểm tra: Nhân hai nhân tử theo hiệu hai bình phương: các hạng $4x^2y^2$ triệt tiêu, còn $x^4+4y^4$.

Lời giải từng bước

1. Đặt $x=0.41666\ldots$. Có hai chữ số không lặp sau dấu phẩy và chu kỳ gồm một chữ số $6$. Nhân với $100$ và $1000$ để hai phần thập phân lặp giống nhau.

   $$100x=41.6666\ldots$$
   $$1000x=416.6666\ldots$$

2. Lấy phương trình sau trừ phương trình trước. Phần thập phân vô hạn triệt tiêu, rồi rút gọn phân số bằng cách chia cả tử và mẫu cho $75$.

   $$900x=416-41=375$$
   $$x=\frac{375}{900}=\frac{5}{12}$$

Tự kiểm tra: $5\div12=0.41666\ldots$, đúng với số đã cho.

Lời giải từng bước

1. Với $k>0$, điều kiện $|u|\ge k$ nghĩa là $u$ ở ngoài khoảng $(-k,k)$: $u\le-k$ hoặc $u\ge k$. Áp dụng với $u=2x+1$, $k=3$.

   $$2x+1\le-3\quad\lor\quad2x+1\ge3$$

2. Giải từng nhánh và lấy hợp hai tập nghiệm. Chia cho số dương $2$ nên giữ nguyên chiều bất phương trình.

   $$2x\le-4\Rightarrow x\le-2$$
   $$2x\ge2\Rightarrow x\ge1$$

Tự kiểm tra: Hai đầu mút $x=-2$ và $x=1$ đều cho giá trị tuyệt đối bằng $3$, nên được lấy. Giá trị $x=0$ ở giữa cho $1<3$, nên bị loại.

Lời giải từng bước

1. Đặt $u=\sqrt6$, $v=\sqrt2$. Vì $u>v>0$ nên hai mẫu $u-v$ và $u+v$ đều khác $0$. Quy đồng mẫu số.

   $$A=\frac{u+v}{u-v}+\frac{u-v}{u+v}$$
   $$=\frac{(u+v)^2+(u-v)^2}{(u-v)(u+v)}$$

2. Khai triển tử số: hai hạng tử chéo trái dấu triệt tiêu. Mẫu số là hiệu hai bình phương.

   $$A=\frac{2u^2+2v^2}{u^2-v^2}$$
   $$=\frac{2(6+2)}{6-2}=\frac{16}{4}=4$$

Lời giải từng bước

1. a) Tìm hai số không âm có tổng bằng $9$ và tích bằng $20$, vì $4\sqrt5=2\sqrt{20}$. Hai số đó là $5$ và $4$.

   $$\sqrt{9+4\sqrt5}=\sqrt{5+4+2\sqrt{5\cdot4}}$$
   $$=\sqrt5+\sqrt4=\sqrt5+2$$

2. b) Viết $6\sqrt3=2\sqrt{27}$. Tìm hai số có tổng $12$ và tích $27$: $9$ và $3$. Với dấu trừ, lấy căn của số lớn trừ căn của số nhỏ để kết quả không âm.

   $$\sqrt{12-6\sqrt3}=\sqrt{9+3-2\sqrt{9\cdot3}}$$
   $$=\sqrt9-\sqrt3=3-\sqrt3$$

Tự kiểm tra: Cả hai kết quả đều không âm. Bình phương lần lượt được $9+4\sqrt5$ và $12-6\sqrt3$, đúng các biểu thức dưới dấu căn.

Lời giải từng bước

1. Vì $2-\sqrt3>0$, $x$ xác định và khác $0$. Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp $2+\sqrt3$.

   $$x=\frac{2+\sqrt3}{(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)}$$
   $$=\frac{2+\sqrt3}{4-3}=2+\sqrt3$$
   $$\frac1x=2-\sqrt3$$

2. Cộng hai biểu thức; các căn thức triệt tiêu.

   $$x+\frac1x=(2+\sqrt3)+(2-\sqrt3)=4$$

3. Dùng $a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$ với $a=x$, $b=1/x$. Vì $ab=1$, chỉ cần tổng vừa tính, không cần khai triển hai biểu thức chứa căn.

   $$x^3+\frac1{x^3}=\left(x+\frac1x\right)^3-3\left(x+\frac1x\right)$$
   $$=4^3-3\cdot4=52$$

Lời giải từng bước

1. Các mẫu là hằng số khác $0$, nên điều kiện xác định là $x\in\mathbb R$. Nhân cả hai vế với bội chung $6>0$; chiều bất phương trình không đổi.

   $$3(x-1)-2(2x+1)\le x-6$$

2. Bỏ ngoặc và chuyển các hạng chứa $x$ về một vế. Chú ý dấu trừ trước $2(2x+1)$.

   $$3x-3-4x-2\le x-6$$
   $$-x-5\le x-6$$
   $$-2x\le-1$$

3. Chia hai vế cho $-2$. Vì chia cho số âm, phải đảo chiều bất phương trình.

   $$x\ge\frac12$$

Tự kiểm tra: Thay $x=1/2$ vào đề, hai vế cùng bằng $-11/12$, nên lấy dấu bằng. Thay $x=0$ thì bất phương trình sai.

Lời giải từng bước

1. Giải từng bất phương trình rồi lấy giao. Đặt $t=(a+5)/3$ là cận trên; cận này không được lấy vì bất phương trình thứ hai là dấu $<$.

   $$x\ge-2,\qquad x<\frac{a+5}{3}=t$$

2. Khoảng bắt đầu từ số nguyên $-2$. Để chứa đúng ba số nguyên, phải chứa $-2,-1,0$ và không chứa $1$. Vì vậy cần $t>0$ để lấy $0$, đồng thời $t\le1$ để loại $1$.

   $$0<\frac{a+5}{3}\le1$$

3. Nhân các vế với $3>0$ rồi trừ $5$ để tìm khoảng của tham số $a$.

   $$0<a+5\le3$$
   $$-5<a\le-2$$

Tự kiểm tra: Nếu $a=-5$, cận trên bằng $0$ nên chỉ có hai số nguyên $-2,-1$: phải loại. Nếu $a=-2$, khoảng là $[-2,1)$, chứa đúng $-2,-1,0$: được lấy.

Lời giải từng bước

1. Phương trình chỉ chứa $x^4$ và $x^2$, nên đặt $t=x^2$. Với nghiệm thực $x$, phải có $t\ge0$.

   $$t^2-5t+4=0$$

2. Phân tích tam thức. Cả hai giá trị của $t$ đều không âm, nên đều được nhận.

   $$(t-1)(t-4)=0$$
   $$t=1\quad\lor\quad t=4$$

3. Thay lại $t=x^2$. Mỗi giá trị dương của $t$ cho hai nghiệm đối nhau của $x$.

   $$x^2=1\Rightarrow x=\pm1$$
   $$x^2=4\Rightarrow x=\pm2$$

Tự kiểm tra: Vế trái cũng bằng $(x^2-1)(x^2-4)$. Cả bốn nghiệm đều làm ít nhất một nhân tử bằng $0$.

Lời giải từng bước

1. Dùng Viète để biểu diễn tổng và tích hai nghiệm. Điều kiện có nghiệm thực phải được kiểm tra sau khi tìm các giá trị ứng viên của $m$.

   $$S=x_1+x_2=1-m,\qquad P=x_1x_2=m+2$$

2. Đổi tổng bình phương thành $S^2-2P$ và dùng điều kiện bằng $9$.

   $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$
   $$=(1-m)^2-2(m+2)=m^2-4m-3$$
   $$m^2-4m-3=9$$

3. Giải phương trình tham số. Hai giá trị thu được mới là ứng viên, chưa phải đều là đáp án.

   $$m^2-4m-12=(m-6)(m+2)=0$$
   $$m=6\quad\lor\quad m=-2$$

4. Kiểm tra biệt thức $\Delta\ge0$. Với $m=6$, phương trình không có nghiệm thực nên loại. Với $m=-2$, điều kiện được thỏa mãn.

   $$\Delta=(m-1)^2-4(m+2)$$
   $$m=6:\quad\Delta=25-32=-7<0$$
   $$m=-2:\quad\Delta=9-0=9>0$$

Tự kiểm tra: Thay $m=-2$, phương trình thành $x^2-3x=0$, có hai nghiệm $0$ và $3$. Tổng bình phương bằng $0^2+3^2=9$.