第3章 三角比と計量 — Tỉ số lượng giác & Đo lường
Cánh cửa vào lượng giác. Học sin/cos/tan của góc nhọn và mở rộng đến góc tù; định lý sin, cosin, công thức diện tích — vũ khí giải tam giác.
Định nghĩa — Tam giác vuông
Trong tam giác vuông có góc nhọn $\theta$:
$\sin\theta = \dfrac{\text{đối}}{\text{huyền}}$ · $\cos\theta = \dfrac{\text{kề}}{\text{huyền}}$ · $\tan\theta = \dfrac{\text{đối}}{\text{kề}}$
Mẹo nhớ tiếng Nhật: 「サイン (s) → kề-huyền sai!」 — đọc thuộc "sin = đối/huyền, cos = kề/huyền, tan = đối/kề".
Tam giác vuông tại C, góc nhọn $\theta$ tại A. Cạnh đối, kề, huyền tương ứng với $\theta$.
Giá trị lượng giác đặc biệt (要暗記！)
| θ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | 1 |
| cos | 1 | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | 0 |
| tan | 0 | $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | 1 | $\sqrt{3}$ | — |
Mẹo nhớ sin: Lần lượt là $\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}$ = $0, \dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, 1$. Cos thì đảo ngược.
Các hệ thức cơ bản (基本公式)
① $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
② $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$
③ $1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}$
④ Bù phụ: $\sin(90° - \theta) = \cos\theta$, $\cos(90° - \theta) = \sin\theta$, $\tan(90° - \theta) = \dfrac{1}{\tan\theta}$
VÍ DỤ 1 Tính giá trị lượng giác
Cho $\sin\theta = \dfrac{3}{5}$ với $0° < \theta < 90°$. Tính $\cos\theta, \tan\theta$.
LỜI GIẢI
B1 $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$.
B2 Vì $\theta$ nhọn nên $\cos\theta > 0 \Rightarrow \cos\theta = \dfrac{4}{5}$.
B3 $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{3}{4}$.
$\cos\theta = \dfrac{4}{5},\ \tan\theta = \dfrac{3}{4}$.
Bài tập tự luyện — Bài 10
10.1. Cho $\tan\theta = 2$, $\theta$ nhọn. Tính $\sin\theta, \cos\theta$.
$1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta} \Rightarrow \cos^2\theta = \dfrac{1}{5} \Rightarrow \cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
$\sin\theta = \cos\theta \cdot \tan\theta = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
$\sin\theta = \cos\theta \cdot \tan\theta = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
Định nghĩa mở rộng qua đường tròn lượng giác
Xét đường tròn đơn vị tâm $O$, bán kính 1. Với góc $\theta \in [0°, 180°]$, gọi $M(x, y)$ là điểm trên đường tròn sao cho $\angle xOM = \theta$ (đo từ $Ox$ ngược chiều kim đồng hồ).
Khi đó:
$\cos\theta = x$ , $\sin\theta = y$ , $\tan\theta = \dfrac{y}{x}$ ($x \ne 0$)
Đường tròn lượng giác (đơn vị). Với góc tù (135°), $\cos < 0$, $\sin > 0$.
Dấu các tỉ số lượng giác trên $[0°, 180°]$
| θ | $0°<\theta<90°$ (góc nhọn) | $\theta=90°$ | $90°<\theta<180°$ (góc tù) |
|---|---|---|---|
| sin | + | 1 | + |
| cos | + | 0 | − |
| tan | + | — | − |
Công thức liên hệ giữa các góc
Bù nhau (補角公式) — Góc cộng nhau bằng 180°:
$\sin(180° - \theta) = \sin\theta$
$\cos(180° - \theta) = -\cos\theta$
$\tan(180° - \theta) = -\tan\theta$
Phụ nhau (余角公式) — Góc cộng nhau bằng 90°:
$\sin(90° - \theta) = \cos\theta$ · $\cos(90° - \theta) = \sin\theta$ · $\tan(90° - \theta) = \cot\theta$
VÍ DỤ 1 Tính lượng giác của góc tù
Tính: $\sin 120°,\ \cos 135°,\ \tan 150°$.
LỜI GIẢI
B1 $\sin 120° = \sin(180° - 60°) = \sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
B2 $\cos 135° = -\cos 45° = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
B3 $\tan 150° = -\tan 30° = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
$\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ -\dfrac{\sqrt{2}}{2},\ -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Bài tập tự luyện — Bài 11
11.1. Cho $\cos\theta = -\dfrac{1}{3}$ với $90° < \theta < 180°$. Tính $\sin\theta, \tan\theta$.
$\sin^2\theta = 1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9} \Rightarrow \sin\theta = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ (do $\theta$ tù → sin > 0).
$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = -2\sqrt{2}$.
$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = -2\sqrt{2}$.
11.2. Đơn giản: $A = \sin^2 10° + \sin^2 20° + \sin^2 30° + \dots + \sin^2 170° + \sin^2 180°$.
Ghép cặp $\sin^2 \theta + \sin^2(180°-\theta) = 2\sin^2\theta$? Không — vì $\sin(180-\theta) = \sin\theta$, nên $\sin^2$ đối xứng.
Hoặc dùng $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ kết hợp $\sin(90-\theta)=\cos\theta$. Sau khi ghép cặp đúng cách, $A = 9$.
Hoặc dùng $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ kết hợp $\sin(90-\theta)=\cos\theta$. Sau khi ghép cặp đúng cách, $A = 9$.
Tam giác $ABC$ và đường tròn ngoại tiếp bán kính $R$. Định lý sin: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$.
Định lý SIN (正弦定理)
Cho tam giác $ABC$ với $a = BC, b = CA, c = AB$, $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp:
$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$
Hệ quả: $a = 2R\sin A$, $\sin A = \dfrac{a}{2R}$.
Định lý COSIN (余弦定理)
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
Hệ quả (tính cos):
$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
5 công thức diện tích tam giác (要暗記)
① $S = \dfrac{1}{2} \cdot \text{đáy} \cdot \text{cao}$ (cơ bản)
② $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}ca\sin B = \dfrac{1}{2}ab\sin C$ (cạnh–góc–cạnh)
③ $S = \dfrac{abc}{4R}$ (R = bán kính ngoại tiếp)
④ $S = pr$ ($p$ = nửa chu vi, $r$ = bán kính nội tiếp)
⑤ $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (Heron — ヘロンの公式)
VÍ DỤ 1 Giải tam giác (định lý sin)
Tam giác $ABC$: $a = 12$, $A = 30°$, $B = 45°$. Tính $b, c, R$ và diện tích.
LỜI GIẢI
B1 $C = 180° - 30° - 45° = 105°$.
B2 $\dfrac{a}{\sin A} = 2R \Rightarrow 2R = \dfrac{12}{\sin 30°} = 24 \Rightarrow R = 12$.
B3 $b = 2R \sin B = 24 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2}$.
B4 $c = 2R \sin C = 24 \sin 105°$. $\sin 105° = \sin(60°+45°) = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$. Vậy $c = 6(\sqrt{6}+\sqrt{2})$.
B5 $S = \dfrac{1}{2} ab \sin C = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = 18(\sqrt{12} + 2) = 36\sqrt{3} + 36$.
$b = 12\sqrt{2},\ c = 6(\sqrt{6}+\sqrt{2}),\ R = 12,\ S = 36(\sqrt{3}+1)$.
VÍ DỤ 2 Định lý cosin
Tam giác có $a=7, b=5, c=8$. Tính các góc & diện tích.
LỜI GIẢI
B1 $\cos A = \dfrac{25 + 64 - 49}{2\cdot 5\cdot 8} = \dfrac{40}{80} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow A = 60°$.
B2 $\cos B = \dfrac{49+64-25}{2\cdot 7\cdot 8} = \dfrac{88}{112} = \dfrac{11}{14}$.
B3 $\sin A = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. $S = \dfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$.
B4 Kiểm tra Heron: $p = 10$, $S = \sqrt{10 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$ ✓.
$A = 60°,\ \cos B = \dfrac{11}{14},\ S = 10\sqrt{3}$.
Khi nào dùng sin, khi nào dùng cos?
• Biết 3 cạnh, hoặc 2 cạnh + 1 góc xen giữa: dùng định lý cosin.
• Biết 2 góc + 1 cạnh, hoặc 1 cạnh + góc đối: dùng định lý sin.
Cần tính R: dùng sin. Cần tính r: $r = \dfrac{S}{p}$.
• Biết 3 cạnh, hoặc 2 cạnh + 1 góc xen giữa: dùng định lý cosin.
• Biết 2 góc + 1 cạnh, hoặc 1 cạnh + góc đối: dùng định lý sin.
Cần tính R: dùng sin. Cần tính r: $r = \dfrac{S}{p}$.
Công thức bổ sung quan trọng
Định lý đường trung tuyến (中線定理): Cho $M$ là trung điểm $BC$, $m_a = AM$:
$m_a^2 = \dfrac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$
Công thức Stewart (cho cevian): Cho điểm $D$ chia $BC$ với $BD = m, DC = n$, $AD = d$:
$b^2 m + c^2 n - d^2 a = amn$
Bán kính đường tròn bàng tiếp tại A: $r_a = \dfrac{S}{p - a}$.
Bài tập tự luyện — Bài 12
12.1. Tam giác $ABC$ có $a = 13, b = 14, c = 15$. Tính $S, R, r$.
$p = 21$, $S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$.
$R = \dfrac{abc}{4S} = \dfrac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \dfrac{2730}{336} = \dfrac{65}{8}$.
$r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{84}{21} = 4$.
$R = \dfrac{abc}{4S} = \dfrac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \dfrac{2730}{336} = \dfrac{65}{8}$.
$r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{84}{21} = 4$.
12.2. Một ngọn tháp cao $h$ đứng trên đỉnh đồi. Từ hai điểm $A, B$ cách nhau 100m trên mặt đất (cùng phía với tháp), các góc nâng đến đỉnh tháp lần lượt là $30°$ và $45°$. Tính $h$.
Gọi $C$ là đỉnh tháp, $D$ là chân tháp. $\angle CAD = 30°, \angle CBD = 45°, AB = 100$.
$AD = h\cot 30° = h\sqrt{3}$, $BD = h\cot 45° = h$.
$AB = AD - BD = h(\sqrt{3}-1) = 100 \Rightarrow h = \dfrac{100}{\sqrt{3}-1} = 50(\sqrt{3}+1)$ m $\approx 136.6$m.
$AD = h\cot 30° = h\sqrt{3}$, $BD = h\cot 45° = h$.
$AB = AD - BD = h(\sqrt{3}-1) = 100 \Rightarrow h = \dfrac{100}{\sqrt{3}-1} = 50(\sqrt{3}+1)$ m $\approx 136.6$m.