1. Nêu tỉ lệ chia đường trung tuyến $AM$ của trọng tâm $G$.

   $$AG = \frac{2}{3} AM,\quad GM = \frac{1}{3} AM$$

2. Tính độ dài đoạn $AG$ từ đỉnh $A$ đến trọng tâm $G$.

   $$AG = \frac{2}{3} \times 15 = 10\text{ cm}$$

3. Tính độ dài đoạn $GM$ từ trọng tâm $G$ đến trung điểm $M$.

   $$GM = \frac{1}{3} \times 15 = 5\text{ cm}$$

Tự kiểm tra: Tổng $AG + GM = 10 + 5 = 15\text{ cm}$ đúng bằng $AM$ và tỉ số $AG : GM = 10 : 5 = 2 : 1$.

Lỗi cần tránh: Chia sai $AM$ thành 2 phần bằng nhau $7{,}5\text{ cm}$ thay vì chia 3 phần.

1. Nhận xét $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ do $M, N$ là trung điểm của $AB, AC$.

   $$MN = \frac{1}{2} BC$$

2. Tính độ dài đoạn $MN$ bằng một nửa độ dài cạnh $BC$.

   $$MN = \frac{1}{2} \times 14 = 7\text{ cm}$$

3. Nêu mối quan hệ song song giữa đường trung bình $MN$ và cạnh đáy $BC$.

   $$MN \parallel BC$$

Tự kiểm tra: Theo định lý đường trung bình, $MN$ bằng nửa $BC$ ($7 = 14 / 2$) và $MN$ song song với $BC$.

Lỗi cần tránh: Quên chỉ ra mối quan hệ song song $MN \parallel BC$ mà chỉ tính độ dài $MN$.

1. Thiết lập tỉ lệ thức giữa $BD$ và $DC$ theo đường phân giác trong $AD$.

   $$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$

2. Tính $BD$ bằng cách chia $BC = 10\text{ cm}$ thành $2 + 3 = 5$ phần bằng nhau.

   $$BD = \frac{2}{2 + 3} BC = \frac{2}{5} \times 10 = 4\text{ cm}$$

3. Tính $DC$ bằng cách lấy tổng độ dài $BC$ trừ đi $BD$.

   $$DC = BC - BD = 10 - 4 = 6\text{ cm}$$

Tự kiểm tra: Tỉ số $\frac{BD}{DC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ và tổng $BD + DC = 4 + 6 = 10\text{ cm}$, hoàn toàn chính xác.

Lỗi cần tránh: Giả sử $D$ là trung điểm của $BC$ để suy ra $BD = DC = 5\text{ cm}$ khi tam giác không cân tại $A$.

1. Viết tỉ lệ thức đường phân giác trong đối với góc $A$ của tam giác $ABC$.

   $$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$$

2. Thay các giá trị $BD = 4\text{ cm}$, $DC = 6\text{ cm}$ và $AB = 8\text{ cm}$ vào tỉ lệ thức.

   $$\frac{4}{6} = \frac{8}{AC}$$

3. Giải phương trình tỉ lệ để tìm độ dài cạnh $AC$.

   $$AC = \frac{8 \times 6}{4} = 12\text{ cm}$$

Tự kiểm tra: Kiểm tra tỉ số: $\frac{AB}{AC} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ và $\frac{BD}{DC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$, hai tỉ số bằng nhau.

Lỗi cần tránh: Viết sai thứ tự tỉ số thành $\frac{BD}{DC} = \frac{AC}{AB}$, dẫn đến $AC = \frac{4 \times 8}{6} = \frac{16}{3}\text{ cm}$.

1. Tính diện tích $S$ của tam giác vuông từ độ dài hai cạnh góc vuông.

   $$S = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24\text{ cm}^2$$

2. Tính nửa chu vi $p$ của tam giác.

   $$p = \frac{6 + 8 + 10}{2} = 12\text{ cm}$$

3. Tính bán kính đường tròn nội tiếp $r$ bằng tỉ số giữa diện tích $S$ và nửa chu vi $p$.

   $$r = \frac{S}{p} = \frac{24}{12} = 2\text{ cm}$$

4. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ bằng một nửa độ dài cạnh huyền.

   $$R = \frac{10}{2} = 5\text{ cm}$$

Tự kiểm tra: Thử lại $R = \frac{abc}{4S} = \frac{6 \times 8 \times 10}{4 \times 24} = \frac{480}{96} = 5\text{ cm}$, kết quả trùng khớp.

Lỗi cần tránh: Nhầm lẫn giữa bán kính nội tiếp $r$ và bán kính ngoại tiếp $R$, gán $r = 5\text{ cm}$ và $R = 2\text{ cm}$.

1. Tính nửa chu vi $p$ của tam giác có ba cạnh $13\text{ cm}$, $14\text{ cm}$, $15\text{ cm}$.

   $$p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21\text{ cm}$$

2. Áp dụng công thức Heron để tính diện tích $S$.

   $$S = \sqrt{21 \times (21 - 13) \times (21 - 14) \times (21 - 15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84\text{ cm}^2$$

3. Tính bán kính đường tròn nội tiếp $r$ bằng công thức $r = \frac{S}{p}$.

   $$r = \frac{84}{21} = 4\text{ cm}$$

4. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ bằng công thức $R = \frac{abc}{4S}$.

   $$R = \frac{13 \times 14 \times 15}{4 \times 84} = \frac{2730}{336} = \frac{65}{8}\text{ cm}$$

Tự kiểm tra: Kiểm tra lại tích $p r = 21 \times 4 = 84\text{ cm}^2$ đúng bằng $S$; và $4 S R = 4 \times 84 \times \frac{65}{8} = 2730 = 13 \times 14 \times 15$.

Lỗi cần tránh: Tính sai căn thức trong Heron hoặc quên rút gọn phân số $\frac{2730}{336}$ về $\frac{65}{8}$.

1. Tính chiều cao $h$ của tam giác đều cạnh $6\text{ cm}$ bằng định lý Pythagoras hoặc công thức $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

   $$h = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\text{ cm}$$

2. Tính diện tích $S$ của tam giác đều.

   $$S = \frac{1}{2} \times 6 \times 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\text{ cm}^2$$

3. Tính bán kính đường tròn nội tiếp $r$ bằng công thức $r = \frac{S}{p}$ với $p = 9\text{ cm}$ (hoặc $r = \frac{h}{3}$).

   $$r = \frac{9\sqrt{3}}{9} = \sqrt{3}\text{ cm}$$

4. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ bằng công thức $R = \frac{2h}{3}$ (hoặc $R = \frac{abc}{4S}$).

   $$R = \frac{2}{3} \times 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\text{ cm}$$

Tự kiểm tra: Thử lại mối quan hệ tam giác đều: $r + R = \sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\text{ cm} = h$, hoàn toàn chính xác.

Lỗi cần tránh: Nhầm nửa cạnh đáy thành $6\text{ cm}$ khi áp dụng định lý Pythagoras, làm tính sai đường cao $h$.

1. Xác định nửa chu vi $p$ của tam giác từ chu vi cho trước.

   $$p = \frac{30}{2} = 15\text{ cm}$$

2. Áp dụng mối quan hệ giữa diện tích $S$, nửa chu vi $p$ và bán kính đường tròn nội tiếp $r$.

   $$r = \frac{S}{p}$$

3. Thay $S = 30\text{ cm}^2$ và $p = 15\text{ cm}$ vào công thức để tính $r$.

   $$r = \frac{30}{15} = 2\text{ cm}$$

Tự kiểm tra: Kiểm tra lại diện tích $S = p r = 15 \times 2 = 30\text{ cm}^2$, khớp với đề bài.

Lỗi cần tránh: Lấy diện tích chia trực tiếp cho chu vi ($30 / 30 = 1\text{ cm}$) do nhầm lẫn giữa chu vi và nửa chu vi.