第6章 平面図形 — Hình học phẳng
① Đường cao (高さ): 3 đường cao đồng quy tại trực tâm $H$.
② Đường trung tuyến (中線): 3 đường trung tuyến đồng quy tại trọng tâm $G$. $G$ chia mỗi trung tuyến theo tỉ số $2:1$ kể từ đỉnh.
③ Đường trung trực (垂直二等分線): 3 đường trung trực cạnh đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp $O$.
④ Đường phân giác trong (内角の二等分線): 3 phân giác trong đồng quy tại tâm đường tròn nội tiếp $I$.
⑤ Đường trung bình (中点連結線): đoạn nối trung điểm 2 cạnh — song song và bằng nửa cạnh thứ ba.
Phân giác trong: Tia phân giác trong góc $A$ cắt $BC$ tại $D$:
Phân giác ngoài: $\dfrac{BD'}{D'C} = \dfrac{c}{b}$ (chia ngoài).
Độ dài đường phân giác trong từ $A$:
Đường tròn ngoại tiếp (外接円): tâm $O$ = giao 3 trung trực, $R = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{abc}{4S}$.
Đường tròn nội tiếp (内接円): tâm $I$ = giao 3 phân giác trong, $r = \dfrac{S}{p}$.
Đường tròn bàng tiếp tại $A$ (傍接円): tâm $I_a$ = giao phân giác ngoài tại $B, C$ và phân giác trong tại $A$, $r_a = \dfrac{S}{p-a}$.
Khoảng cách Euler: $OI^2 = R^2 - 2Rr$ (định lý Euler trong hình học).
Định lý góc nội tiếp: Góc nội tiếp = $\dfrac{1}{2}$ góc ở tâm cùng chắn 1 cung. Các góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau.
Định lý Thales (タレスの定理): Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
Tứ giác nội tiếp: $ABCD$ nội tiếp $\iff \angle A + \angle C = 180°$ (hoặc $\angle B + \angle D = 180°$).
Định lý cát tuyến – tiếp tuyến (接弦定理): Góc giữa tiếp tuyến & dây cung = góc nội tiếp chắn dây ấy.
Cho điểm $P$ và đường tròn $(O, R)$. Phương tích của $P$ là $\mathcal{P}(P) = PO^2 - R^2$.
Trường hợp 2 cát tuyến qua $P$:
Trường hợp tiếp tuyến – cát tuyến: Nếu $PT$ là tiếp tuyến, $PAB$ là cát tuyến:
CEVA: Trong tam giác $ABC$, 3 đoạn $AD, BE, CF$ (với $D \in BC, E \in CA, F \in AB$) đồng quy ⟺
MENELAUS: Đường thẳng cắt 3 đường thẳng chứa cạnh tam giác $ABC$ tại $D, E, F$ (đếm dấu khi vượt cạnh):
(Phiên bản không dấu: $\dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} \cdot \dfrac{AF}{FB} = 1$ với số điểm "ngoài cạnh" là 1 hoặc 3.)
• Ceva: 3 đường thẳng từ 3 đỉnh đồng quy → tỉ số = 1.
• Menelaus: 1 đường thẳng cắt qua 3 cạnh (hoặc kéo dài) → tỉ số = 1 (không dấu).
Mẹo nhớ vòng chu vi: $B \to D \to C \to E \to A \to F \to B$ — luôn đi ngược chiều rồi cùng chiều.
Định lý Ptolemy: Trong tứ giác nội tiếp $ABCD$:
Định lý Stewart: (đã giới thiệu ở Bài 12).
Đường thẳng Euler: Trong mọi tam giác (không đều): trực tâm $H$, trọng tâm $G$, tâm ngoại tiếp $O$ thẳng hàng và $HG = 2 GO$.
Đường tròn Euler (9 điểm): đi qua 3 trung điểm cạnh, 3 chân đường cao, 3 trung điểm đoạn nối trực tâm với đỉnh.
Bài tập tự luyện — Bài 20
Định lý đường chéo tứ giác nội tiếp: $\dfrac{AC}{BD} = \dfrac{AB\cdot AD + BC\cdot CD}{AB\cdot BC + AD\cdot CD} = \dfrac{12 + 30}{20 + 18} = \dfrac{42}{38} = \dfrac{21}{19}$.