Chương 9 · Ngân hàng 150+ bài tập

第だい9章しょう 問題もんだい集しゅう MEGA — Ngân hàng 150+ bài tập có lời giải

Tổng hợp 150+ bài tập đỉnh cao — chia theo 6 mảng chủ đề, mức độ tăng dần từ "cơ bản chắc" → "nâng cao thi đại học top". Mỗi bài đều có lời giải chi tiết để tự kiểm tra. Học chiến lược: làm trước trên giấy, không xem đáp án, sau đó so sánh.
M1

MEGA-1 · Đại số · 30 bài tập đỉnh cao Đa thức · Nhân tử · Căn thức · Bất phương trình · Phương trình bậc hai · Vi-ét · Định lý chia

Hãy làm tuần tự từ bài 1 → 30. Mỗi bài cố gắng giải trong 5–8 phút trước khi xem đáp án. Nếu sai → đọc lại lý thuyết ở Chương 1 trước khi tiếp.

MEGA-1 · Phần A: Đa thức & Hằng đẳng thức (bài 1–8)

  1. Bài 1. Khai triển và rút gọn $(2x-3)^3 - (2x-3)(4x^2+6x+9) + 27$.
    $(2x-3)^3 = 8x^3 - 36x^2 + 54x - 27$.
    $(2x-3)(4x^2+6x+9) = (2x)^3 - 3^3 + \text{cross} $. Thực ra đây là dạng $a^3-b^3$ với $a=2x, b=-3$? Không! Công thức $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. So sánh: $(2x-3)(4x^2+6x+9) = (2x-3)((2x)^2 + (2x)(3) + 3^2) = (2x)^3 - 3^3 = 8x^3-27$.
    Vậy biểu thức $= (8x^3-36x^2+54x-27) - (8x^3-27) + 27 = \mathbf{-36x^2+54x+27}$.
  2. Bài 2. Cho $a+b+c=0$. Chứng minh $a^3+b^3+c^3=3abc$.
    Dùng hằng đẳng thức tổng quát: $a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$.
    Khi $a+b+c=0$ thì vế phải $=0$, suy ra $a^3+b^3+c^3=3abc$. $\blacksquare$
  3. Bài 3. Tính $A = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) + 1$ theo dạng bình phương.
    Nhóm $(x+1)(x+4) = x^2+5x+4$ và $(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$. Đặt $t=x^2+5x+5$.
    $A = (t-1)(t+1)+1 = t^2-1+1 = t^2 = \mathbf{(x^2+5x+5)^2}$.
  4. Bài 4. Tìm dư khi chia $f(x) = x^{100}+x^{50}+1$ cho $x^2+x+1$.
    Gọi $\omega$ là nghiệm của $x^2+x+1=0$, khi đó $\omega^3=1$.
    $\omega^{100} = \omega^{99}\cdot\omega = \omega$; $\omega^{50}=\omega^{48}\cdot\omega^2 = \omega^2$.
    $f(\omega) = \omega + \omega^2 + 1 = 0$ (vì $\omega^2+\omega+1=0$).
    Vậy $x^2+x+1$ chia hết $f(x)$. Dư = 0.
  5. Bài 5. Cho $x+\dfrac{1}{x}=3$. Tính $x^3+\dfrac{1}{x^3}$ và $x^5+\dfrac{1}{x^5}$.
    $x^2+\frac{1}{x^2} = (x+\frac{1}{x})^2 - 2 = 9-2 = 7$.
    $x^3+\frac{1}{x^3} = (x+\frac{1}{x})^3 - 3(x+\frac{1}{x}) = 27-9 = \mathbf{18}$.
    $x^5+\frac{1}{x^5} = (x^2+\frac{1}{x^2})(x^3+\frac{1}{x^3}) - (x+\frac{1}{x}) = 7\cdot 18 - 3 = \mathbf{123}$.
  6. Bài 6. Chứng minh $n^5 - n$ chia hết cho 30 với mọi $n \in \mathbb{Z}$.
    $n^5-n = n(n^4-1) = n(n-1)(n+1)(n^2+1)$.
    • Tích 3 số nguyên liên tiếp $n(n-1)(n+1)$ chia hết $6$.
    • Còn cần chia hết $5$: theo Fermat nhỏ, $n^5 \equiv n \pmod 5$, suy ra $5 \mid n^5-n$.
    $\gcd(6,5)=1 \Rightarrow 30 \mid n^5-n$. $\blacksquare$
  7. Bài 7. Cho $a, b, c$ là 3 cạnh tam giác. Rút gọn $|a-b-c| + |b-c-a| + |c-a-b|$.
    Bất đẳng thức tam giác: $a $\Rightarrow a-b-c<0, b-c-a<0, c-a-b<0$.
    $\Rightarrow$ Biểu thức $= -(a-b-c) - (b-c-a) - (c-a-b) = \mathbf{a+b+c}$.
  8. Bài 8. Phân tích thành nhân tử: $P(x) = x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 4x + 1$.
    Đa thức đối xứng, chia $x^2$: $\frac{P}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} - 4(x+\frac{1}{x}) + 5$.
    Đặt $t = x+\frac{1}{x}$, $t^2 = x^2+\frac{1}{x^2}+2$.
    $\frac{P}{x^2} = (t^2-2) - 4t + 5 = t^2-4t+3 = (t-1)(t-3)$.
    $\Rightarrow P = x^2(x+\frac{1}{x}-1)(x+\frac{1}{x}-3) = \mathbf{(x^2-x+1)(x^2-3x+1)}$.

MEGA-1 · Phần B: Phân tích nhân tử (bài 9–15)

  1. Bài 9. Phân tích nhân tử: $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$.
    Hằng đẳng thức kinh điển: $x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$.
    Hoặc viết cách khác: $= \frac{1}{2}(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]$.
  2. Bài 10. Phân tích: $4x^4 + 81$.
    Dạng Sophie Germain: $a^4 + 4b^4 = (a^2+2ab+2b^2)(a^2-2ab+2b^2)$. Ở đây cần viết $81 = 4\cdot(\frac{3\sqrt{3}}{...})$... tốt hơn dùng kỹ thuật thêm bớt:
    $4x^4+81 = (2x^2)^2 + 9^2 = (2x^2+9)^2 - 2\cdot 2x^2\cdot 9 = (2x^2+9)^2 - 36x^2 = (2x^2+9-6x)(2x^2+9+6x)$.
    $= \mathbf{(2x^2-6x+9)(2x^2+6x+9)}$.
  3. Bài 11. Phân tích: $P(x) = x^3 - 7x - 6$.
    Thử nghiệm: $P(-1) = -1+7-6 = 0$ ⇒ $x+1$ là nhân tử.
    Horner: $1 \mid 0 \mid -7 \mid -6$ chia $x+1$: $1, -1, -6, 0$. Vậy $P=(x+1)(x^2-x-6) = \mathbf{(x+1)(x-3)(x+2)}$.
  4. Bài 12. Phân tích: $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$.
    Khai triển: $a^2b - a^2c + b^2c - ab^2 + ac^2 - bc^2$.
    Nhóm $a^2b - ab^2 = ab(a-b)$; $-a^2c + ac^2 = -ac(a-c) = ac(c-a)$; $b^2c-bc^2 = bc(b-c)$.
    Sau biến đổi: $= -(a-b)(b-c)(c-a)$, hay $\mathbf{(a-b)(b-c)(a-c)}$ với dấu phù hợp.
    Mẹo: Gốc thay $a=b$ ⇒ biểu thức $=0$ ⇒ $(a-b)$ là nhân tử. Tương tự $(b-c), (c-a)$.
  5. Bài 13. Phân tích: $(x^2+x+1)(x^2+x+2) - 12$.
    Đặt $t = x^2+x+1$: $t(t+1)-12 = t^2+t-12 = (t-3)(t+4)$.
    $= (x^2+x-2)(x^2+x+5) = \mathbf{(x-1)(x+2)(x^2+x+5)}$.
  6. Bài 14. Phân tích: $x^4+x^2+1$.
    Thêm bớt: $x^4+x^2+1 = x^4+2x^2+1 - x^2 = (x^2+1)^2 - x^2 = \mathbf{(x^2-x+1)(x^2+x+1)}$.
  7. Bài 15. Phân tích: $x^5 + x + 1$.
    Thêm bớt $x^2$: $x^5+x+1 = x^5-x^2 + x^2+x+1 = x^2(x^3-1) + (x^2+x+1)$
    $= x^2(x-1)(x^2+x+1) + (x^2+x+1) = \mathbf{(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)}$.

MEGA-1 · Phần C: Căn thức & Số thực (bài 16–22)

  1. Bài 16. Rút gọn $A = \sqrt{7+4\sqrt{3}} + \sqrt{7-4\sqrt{3}}$.
    $7+4\sqrt{3} = 4+4\sqrt{3}+3 = (2+\sqrt{3})^2$.
    $7-4\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})^2$.
    $A = (2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = \mathbf{4}$.
  2. Bài 17. Rút gọn $B = \sqrt{5-2\sqrt{6}} - \sqrt{5+2\sqrt{6}}$.
    $5\pm 2\sqrt{6} = (\sqrt{3}\pm\sqrt{2})^2$.
    $B = |\sqrt{3}-\sqrt{2}| - (\sqrt{3}+\sqrt{2}) = (\sqrt{3}-\sqrt{2})-(\sqrt{3}+\sqrt{2}) = \mathbf{-2\sqrt{2}}$.
  3. Bài 18. Trục căn ở mẫu: $\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$.
    Nhân tử-mẫu với $(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})$:
    Mẫu $= (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 - 5 = 5+2\sqrt{6}-5 = 2\sqrt{6}$.
    $= \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}{12} = \mathbf{\dfrac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}}$.
  4. Bài 19. Tìm $x$ biết $\sqrt{x+3} + \sqrt{x-2} = 5$.
    ĐK: $x \geq 2$. Bình phương: $(x+3) + 2\sqrt{(x+3)(x-2)} + (x-2) = 25$.
    $2x+1+2\sqrt{x^2+x-6}=25 \Rightarrow \sqrt{x^2+x-6} = 12-x$ (cần $12-x\geq 0$).
    Bình phương: $x^2+x-6 = 144-24x+x^2 \Rightarrow 25x = 150 \Rightarrow \mathbf{x=6}$. Thử lại: $\sqrt{9}+\sqrt{4}=3+2=5$ ✓.
  5. Bài 20. Chứng minh $\sqrt{3}$ là số vô tỉ.
    Phản chứng: giả sử $\sqrt{3} = \frac{p}{q}$ (phân số tối giản, $q\neq 0$). Bình phương: $3q^2 = p^2$.
    $\Rightarrow 3 \mid p^2 \Rightarrow 3 \mid p$. Đặt $p=3k$: $3q^2 = 9k^2 \Rightarrow q^2 = 3k^2 \Rightarrow 3\mid q$.
    Mâu thuẫn với $\gcd(p,q)=1$. $\blacksquare$
  6. Bài 21. Cho $a = \sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}$, $b = \sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}$. Tính $a+b$.
    Đặt $s=a+b$. $ab = \sqrt[3]{(20)^2 - (14\sqrt{2})^2} = \sqrt[3]{400-392} = \sqrt[3]{8} = 2$.
    $a^3+b^3 = 40$. Mà $a^3+b^3 = s^3 - 3abs = s^3 - 6s$.
    $s^3 - 6s - 40 = 0$. Thử $s=4$: $64-24-40=0$ ✓. Vậy $\mathbf{a+b=4}$.
  7. Bài 22. Giải $|2x-1| + |x+3| = 6$.
    Nút: $x=\frac{1}{2}, x=-3$. Chia 3 trường hợp:
    • $x<-3$: $-(2x-1)-(x+3)=6 \Rightarrow -3x-2=6 \Rightarrow x=-\frac{8}{3}$, không thoả $x<-3$.
    • $-3 \leq x \leq \frac{1}{2}$: $-(2x-1)+(x+3)=6 \Rightarrow -x+4=6 \Rightarrow x=-2$ ✓.
    • $x>\frac{1}{2}$: $(2x-1)+(x+3)=6 \Rightarrow 3x+2=6 \Rightarrow x=\frac{4}{3}$ ✓.
    $\mathbf{x \in \{-2; \frac{4}{3}\}}$.

MEGA-1 · Phần D: Bất phương trình & Phương trình bậc hai · Vi-ét (bài 23–30)

  1. Bài 23. Giải $\dfrac{2x-1}{x+3} \geq 1$.
    Chuyển vế: $\frac{2x-1}{x+3} - 1 = \frac{x-4}{x+3} \geq 0$.
    Lập bảng: nghiệm tử $x=4$, mẫu $x=-3$.
    $\mathbf{x<-3}$ hoặc $\mathbf{x \geq 4}$.
  2. Bài 24. Tìm $m$ để $mx^2 - 2(m-1)x + m + 1 > 0\ \forall x \in \mathbb{R}$.
    • $m=0$: BPT $\Rightarrow 2x+1>0$ — không $\forall x$. Loại.
    • $m\neq 0$: cần $m>0$ và $\Delta'<0$: $(m-1)^2 - m(m+1) = -3m+1 < 0 \Leftrightarrow m > \frac{1}{3}$.
    $\mathbf{m > \frac{1}{3}}$.
  3. Bài 25. Phương trình $x^2 - (m+2)x + m + 1 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$. Tìm $m$ để $x_1^2+x_2^2 = 5$.
    Vi-ét: $S=m+2, P=m+1$.
    $x_1^2+x_2^2 = S^2-2P = (m+2)^2-2(m+1) = m^2+2m+2$.
    $= 5 \Rightarrow m^2+2m-3=0 \Rightarrow m=1$ hoặc $m=-3$.
    Kiểm tra $\Delta = (m+2)^2 - 4(m+1) = m^2 \geq 0$ — luôn đúng.
    $\mathbf{m \in \{1; -3\}}$.
  4. Bài 26. Cho $x_1, x_2$ là nghiệm của $x^2-3x+1=0$. Tính $x_1^5+x_2^5$.
    $S_n = x_1^n+x_2^n$ thỏa $S_n = 3 S_{n-1} - S_{n-2}$ (vì $S=3, P=1$).
    $S_0=2, S_1=3, S_2=7, S_3=18, S_4=47, S_5= 3\cdot 47-18 = \mathbf{123}$.
  5. Bài 27. Tìm $m$ để $x^2-2mx+m+2=0$ có hai nghiệm cùng dấu dương.
    Điều kiện: $\Delta \geq 0, S>0, P>0$.
    • $\Delta = 4m^2-4(m+2) = 4(m^2-m-2) \geq 0 \Leftrightarrow m\leq -1$ hoặc $m\geq 2$.
    • $S = 2m > 0 \Leftrightarrow m>0$.
    • $P = m+2 > 0 \Leftrightarrow m>-2$.
    Giao 3 ĐK: $\mathbf{m \geq 2}$.
  6. Bài 28. Giải hệ $\begin{cases} x+y=5 \\ x^2+y^2=13\end{cases}$.
    $xy = \frac{(x+y)^2-(x^2+y^2)}{2} = \frac{25-13}{2} = 6$.
    $x, y$ là nghiệm $t^2-5t+6=0 \Rightarrow t=2, t=3$.
    $\mathbf{(x,y)\in\{(2,3),(3,2)\}}$.
  7. Bài 29. Tìm GTNN của $f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 5$ trên $\mathbb{R}$.
    $f(x) = (x-1)^4 + 4$. Vì $(x-1)^4 \geq 0$ ⇒ $\min f = \mathbf{4}$ tại $x=1$.
    Phương pháp: Nhận dạng khai triển $(x-1)^4 = x^4-4x^3+6x^2-4x+1$.
  8. Bài 30. Cho $a, b > 0$ thoả $a + b = 1$. Tìm GTNN của $P = \dfrac{1}{a^2+b^2} + \dfrac{1}{ab}$.
    $P = \frac{1}{a^2+b^2} + \frac{2}{2ab} = \frac{1}{a^2+b^2} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{ab}$.
    Áp dụng Cauchy-Schwarz: $\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab} \geq \frac{4}{(a+b)^2} = 4$.
    Còn $\frac{1}{2ab} \geq \frac{2}{(a+b)^2}=2$. Tổng: $P \geq 4+2 = 6$.
    Đẳng thức khi $a=b=\frac{1}{2}$. $\mathbf{\min P = 6}$.
M2

MEGA-2 · Hàm số bậc hai · 25 bài tập đỉnh cao Parabola · Tịnh tiến · Max-Min · Tham số · Vị trí nghiệm · Tương giao

Hàm bậc hai là chương dễ mất điểm nhất vì có nhiều dạng tham số. Hãy luyện kỹ "tách biệt $m$" và "bảng biến thiên" — 2 vũ khí chính.

MEGA-2 · Phần A: Đồ thị & Dạng đỉnh (bài 1–8)

  1. Bài 1. Đưa $y = 2x^2 - 8x + 5$ về dạng đỉnh, tìm tọa độ đỉnh và trục đối xứng.
    $y = 2(x^2-4x) + 5 = 2[(x-2)^2 - 4] + 5 = 2(x-2)^2 - 3$.
    Đỉnh $I(2; -3)$, trục đối xứng $x=2$. Vì $a=2>0$ → parabola hướng lên, $\min y = -3$ tại $x=2$.
  2. Bài 2. Viết phương trình parabola đi qua 3 điểm $A(0;1), B(1;0), C(-1;6)$.
    Đặt $y=ax^2+bx+c$. Thay 3 điểm:
    $c=1$; $a+b+c=0 \Rightarrow a+b=-1$; $a-b+c=6 \Rightarrow a-b=5$.
    $a=2, b=-3, c=1$. $\mathbf{y = 2x^2-3x+1}$.
  3. Bài 3. Parabola $(P): y=x^2-4x+3$ tịnh tiến sang phải 2 đơn vị, lên trên 1 đơn vị. Tìm parabola mới.
    Quy tắc: $x \to x-2, y \to y-1$ (thay vào, dấu trừ).
    $(y-1) = (x-2)^2 - 4(x-2)+3 \Rightarrow y = x^2 - 8x + 16$.
    $\mathbf{y = x^2-8x+16}$ — viết theo đỉnh: $y=(x-4)^2$.
  4. Bài 4. Tìm $m$ để parabola $y=x^2-2mx+m^2-3$ có đỉnh nằm trên đường $y=-2x$.
    Đỉnh $I(m;\,m^2-2m^2+m^2-3)=I(m;-3)$.
    Trên đt $y=-2x$: $-3 = -2m \Rightarrow \mathbf{m=\frac{3}{2}}$.
  5. Bài 5. Viết PT parabola đỉnh $I(-1;2)$ và đi qua $A(1; -2)$.
    $y = a(x+1)^2 + 2$. Thay $A$: $-2 = 4a+2 \Rightarrow a=-1$.
    $\mathbf{y = -(x+1)^2+2 = -x^2-2x+1}$.
  6. Bài 6. Parabola $y=ax^2+bx+c$ có đỉnh $I(1; 4)$ và cắt $Oy$ tại $y=3$. Tìm $a, b, c$.
    $c = 3$. Đỉnh: $-\frac{b}{2a}=1 \Rightarrow b=-2a$; $f(1) = a+b+c = -a+3 = 4 \Rightarrow a=-1, b=2$.
    $\mathbf{y = -x^2+2x+3}$.
  7. Bài 7. Tìm các điểm cố định của họ parabola $y=mx^2 + (2m-1)x + m-2$ khi $m$ thay đổi.
    $y = m(x^2+2x+1) - (x+2) = m(x+1)^2 - (x+2)$.
    Cố định ⇔ $(x+1)^2 = 0 \Rightarrow x=-1$, $y = -(-1+2) = -1$.
    Điểm cố định: $(-1; -1)$.
  8. Bài 8. Cho $(P): y = x^2$. Đường thẳng $d: y=2x+m$ cắt $(P)$ tại 2 điểm. Tìm $m$ để khoảng cách 2 giao điểm bằng $4\sqrt{5}$.
    Hoành độ giao: $x^2=2x+m \Leftrightarrow x^2-2x-m=0$. Vi-ét: $S=2, P=-m$. ĐK $\Delta'=1+m>0$.
    $|x_1-x_2|^2 = S^2-4P = 4+4m$. Hai điểm cách nhau: $d^2 = (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 = (1+4)(x_1-x_2)^2 = 5(4+4m) = 80$.
    $4+4m=16 \Rightarrow \mathbf{m=3}$.

MEGA-2 · Phần B: Max - Min (bài 9–16)

  1. Bài 9. Tìm Max-Min của $f(x) = x^2-4x+1$ trên $[0; 3]$.
    Đỉnh $x_0=2 \in [0;3]$. $a>0$ → parabola hướng lên.
    $\min f = f(2) = -3$; $\max f = \max\{f(0), f(3)\} = \max\{1, -2\} = 1$.
    $\mathbf{\min = -3\ (x=2),\ \max = 1\ (x=0)}$.
  2. Bài 10. Tìm Max-Min của $f(x) = -x^2+4x-2$ trên $[0; 5]$.
    $a<0$, đỉnh $x_0=2 \in [0;5]$, $f(2)=2$.
    $\max f = 2$ tại $x=2$; $\min f = \min\{f(0), f(5)\} = \min\{-2, -7\} = -7$.
    $\mathbf{\max=2\ (x=2),\ \min=-7\ (x=5)}$.
  3. Bài 11. (Tham số đỉnh) Tìm GTNN của $f(x)=x^2-2mx+m^2+m-1$ trên $\mathbb{R}$ theo $m$.
    $f(x) = (x-m)^2 + m-1 \Rightarrow \mathbf{\min f = m-1}$ tại $x=m$.
  4. Bài 12. Tìm GTLN của $f(x) = -2x^2 + 4mx - 1$ trên $\mathbb{R}$ theo $m$.
    $f = -2(x-m)^2 + 2m^2 - 1$. $\mathbf{\max f = 2m^2-1}$ tại $x=m$.
  5. Bài 13. Cho $f(x) = x^2 - 2(m+1)x + m^2$ trên $[0;1]$. Tìm $m$ để $\min_{[0;1]} f = 1$.
    Đỉnh $x_0=m+1$. Phân 3 trường hợp:
    • $m+1<0 \Leftrightarrow m<-1$: $\min = f(0) = m^2 = 1 \Rightarrow m=\pm 1$, lấy $m=-1$ — biên không thỏa, loại.
    • $0\leq m+1\leq 1 \Leftrightarrow -1\leq m\leq 0$: $\min = f(m+1) = -2m-1 = 1 \Rightarrow m=-1$ ✓.
    • $m+1>1 \Leftrightarrow m>0$: $\min = f(1) = m^2-2m-1 = 1 \Rightarrow m^2-2m-2=0 \Rightarrow m=1\pm\sqrt{3}$, lấy $m = 1+\sqrt{3}$ ✓.
    $\mathbf{m \in \{-1; 1+\sqrt{3}\}}$.
  6. Bài 14. Tìm $\max_{x\in[-1;2]} (x^2 - x - 2)$.
    $a>0$, đỉnh $x_0=\frac{1}{2}\in[-1;2]$. Max ở biên: $f(-1)=0, f(2)=0 \Rightarrow \mathbf{\max=0}$ tại $x=-1$ hoặc $x=2$.
  7. Bài 15. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi $40$m. Tìm kích thước để diện tích lớn nhất.
    Gọi 2 cạnh $x, 20-x$ (với $0 $\max S = \mathbf{100\ m^2}$ tại $x=10$ — vườn hình vuông cạnh $10$m.
  8. Bài 16. Tìm GTNN của $P = x^2 + y^2$ biết $x+2y=5$.
    $x = 5-2y$. $P = (5-2y)^2 + y^2 = 5y^2-20y+25 = 5(y-2)^2+5$.
    $\mathbf{\min P = 5}$ tại $y=2, x=1$.

MEGA-2 · Phần C: Phương trình bậc hai & Tham số (bài 17–25)

  1. Bài 17. Tìm $m$ để $x^2 - (m+1)x + m = 0$ có 2 nghiệm dương phân biệt.
    $\Delta = (m+1)^2-4m = (m-1)^2 > 0 \Rightarrow m\neq 1$.
    $S = m+1>0 \Rightarrow m>-1$; $P=m>0 \Rightarrow m>0$.
    $\mathbf{m>0\ \text{và}\ m\neq 1}$.
  2. Bài 18. Tìm $m$ để $x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$ có 2 nghiệm $x_1, x_2$ với $x_1<1
    Điều kiện: $a\cdot f(1)<0$. Ở đây $a=1$, $f(1) = 1-2m+m^2-1 = m^2-2m = m(m-2)$.
    $m(m-2)<0 \Leftrightarrow \mathbf{0
  3. Bài 19. Cho $f(x) = x^2-2(m-1)x+m^2-3m$. Tìm $m$ để $f(x)\geq 0\ \forall x$.
    $\Delta' = (m-1)^2 - (m^2-3m) = m+1 \leq 0 \Leftrightarrow \mathbf{m\leq -1}$.
  4. Bài 20. Tìm $m$ để $mx^2 + 2(m-1)x + m -3 \leq 0\ \forall x \in \mathbb{R}$.
    • $m=0$: $-2x-3\leq 0$ — không đúng $\forall x$ (vế trái → $+\infty$ khi $x\to -\infty$). Loại.
    • $m<0$ và $\Delta'\leq 0$: $(m-1)^2 - m(m-3) = m+1 \leq 0 \Leftrightarrow m\leq -1$.
    $\mathbf{m\leq -1}$.
  5. Bài 21. Giải bất pt $x^2 - 5x + 6 > 0$.
    $(x-2)(x-3)>0 \Leftrightarrow \mathbf{x<2\ \text{hoặc}\ x>3}$.
  6. Bài 22. Giải $\sqrt{x^2-3x+2} > x-1$.
    ĐK: $x^2-3x+2\geq 0 \Leftrightarrow x\leq 1$ hoặc $x\geq 2$.
    • TH1 $x-1<0 \Leftrightarrow x<1$: VT $\geq 0$, VP$<0$ → luôn đúng. Kết: $x<1$.
    • TH2 $x-1\geq 0$: Bình phương: $x^2-3x+2 > (x-1)^2 = x^2-2x+1 \Leftrightarrow -x+1>0 \Leftrightarrow x<1$ — mâu thuẫn.
    $\mathbf{x<1}$.
  7. Bài 23. Tìm $m$ để PT $x^2-2(m+1)x+m^2+5=0$ có 2 nghiệm $x_1, x_2$ thoả $x_1 x_2 - (x_1+x_2) = 2$.
    Vi-ét: $S=2(m+1), P=m^2+5$. $P-S = m^2+5-2m-2 = m^2-2m+3 = 2$.
    $m^2-2m+1=0 \Rightarrow m=1$. Kiểm $\Delta' = (m+1)^2 - (m^2+5) = 2m-4 = -2<0$ — loại!
    $\mathbf{\text{Không có }m}$ thỏa.
  8. Bài 24. Cho parabola $(P): y=x^2-mx+2$ và đường thẳng $d: y=x+m$. Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại 2 điểm $A, B$ sao cho $AB = \sqrt{10}$.
    Hoành độ giao: $x^2 - (m+1)x + 2-m = 0$. Vi-ét: $S=m+1, P=2-m$.
    $\Delta = (m+1)^2 - 4(2-m) = m^2+6m-7 > 0$.
    $AB^2 = (1+1)(S^2-4P) = 2(m^2+6m-7) = 10 \Rightarrow m^2+6m-12=0 \Rightarrow m = -3\pm\sqrt{21}$.
    $\mathbf{m = -3\pm\sqrt{21}}$.
  9. Bài 25. Tìm $m$ để bất pt $x^2 + 2(m+1)x + 9m - 5 < 0$ có nghiệm.
    BPT bậc 2 với $a=1>0$ có nghiệm khi $\Delta' > 0$ (parabola cắt $Ox$).
    $\Delta' = (m+1)^2 - (9m-5) = m^2-7m+6 > 0 \Leftrightarrow m<1$ hoặc $m>6$.
    $\mathbf{m<1\ \text{hoặc}\ m>6}$.
M3

MEGA-3 · Tỉ số lượng giác · 25 bài tập đỉnh cao Tỉ số nhọn/tù · Đẳng thức · Định lý sin/cosin · Diện tích · Đường trung tuyến

Bí quyết: nhớ bảng giá trị ($30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°$) và 9 đẳng thức cơ bản: $\sin^2+\cos^2=1$, $\tan = \frac{\sin}{\cos}$, $1+\tan^2=\frac{1}{\cos^2}$, $1+\cot^2=\frac{1}{\sin^2}$, $\sin(180°-\alpha)=\sin\alpha$, $\cos(180°-\alpha)=-\cos\alpha$.

MEGA-3 · Phần A: Tỉ số & Đẳng thức (bài 1–9)

  1. Bài 1. Cho $\sin\alpha = \frac{3}{5}$, $90° < \alpha < 180°$. Tính $\cos\alpha, \tan\alpha$.
    $\cos^2 = 1-\frac{9}{25} = \frac{16}{25}$. Vì $\alpha$ tù → $\cos<0$: $\cos\alpha = -\frac{4}{5}$.
    $\tan\alpha = \frac{3/5}{-4/5} = \mathbf{-\frac{3}{4}}$.
  2. Bài 2. Cho $\tan\alpha = 2$. Tính $A = \dfrac{\sin\alpha + 2\cos\alpha}{2\sin\alpha - 3\cos\alpha}$.
    Chia tử + mẫu cho $\cos\alpha$: $A = \dfrac{\tan\alpha + 2}{2\tan\alpha - 3} = \dfrac{2+2}{4-3} = \mathbf{4}$.
  3. Bài 3. Rút gọn $P = \sin^4 x + \cos^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x$.
    $P = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 = \mathbf{1}$.
  4. Bài 4. Tính $A = \sin 15° + \cos 30° + \cos 165°$ (gợi ý: $\cos 165° = -\cos 15°$).
    $\cos 165° = \cos(180°-15°) = -\cos 15°$. Vậy $A = \sin 15° - \cos 15° + \cos 30°$.
    $\sin 15° - \cos 15° = -\sqrt{2}\cos(15°+45°) = -\sqrt{2}\cos 60° = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
    $A = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \mathbf{\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}}$.
  5. Bài 5. Chứng minh: $\dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} = \dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$.
    Tích chéo: $(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha) = 1-\cos^2\alpha = \sin^2\alpha$. ✓
    Vậy hai vế bằng nhau. $\blacksquare$
  6. Bài 6. Tính $B = \cos^2 10° + \cos^2 20° + \cos^2 30° + \ldots + \cos^2 80° + \cos^2 90°$.
    Cặp: $\cos^2 \alpha + \cos^2(90°-\alpha) = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$.
    Các cặp: $(10°,80°),(20°,70°),(30°,60°),(40°,50°)$: 4 cặp = 4. Riêng $\cos^2 90° = 0$. Còn $\cos^2 45° = \frac{1}{2}$? — không, vì các góc là $10°, 20°,\ldots,90°$ (cách $10°$) nên không có $45°$.
    $B = 4 + 0 = \mathbf{4}$.
  7. Bài 7. Cho $\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{1}{2}$. Tính $\sin\alpha\cdot\cos\alpha$ và $\sin^3\alpha + \cos^3\alpha$.
    Bình phương: $1 + 2\sin\cos = \frac{1}{4} \Rightarrow \sin\cos = -\frac{3}{8}$.
    $\sin^3+\cos^3 = (\sin+\cos)(1-\sin\cos) = \frac{1}{2}(1+\frac{3}{8}) = \mathbf{\frac{11}{16}}$.
  8. Bài 8. Chứng minh: $\tan\alpha + \cot\alpha = \dfrac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.
    $\tan + \cot = \frac{\sin}{\cos}+\frac{\cos}{\sin} = \frac{\sin^2+\cos^2}{\sin\cos} = \frac{1}{\sin\cos}$. $\blacksquare$
  9. Bài 9. Cho $\tan\alpha + \cot\alpha = 3$. Tính $\tan^3\alpha + \cot^3\alpha$.
    Đặt $u=\tan+\cot=3$, $uv=\tan\cdot\cot=1$.
    $\tan^3+\cot^3 = u^3 - 3u(\tan\cot) = 27 - 9 = \mathbf{18}$.

MEGA-3 · Phần B: Định lý sin, cosin & Tam giác (bài 10–17)

  1. Bài 10. Tam giác $ABC$ có $a=7, b=8, c=5$. Tính $\widehat{A}$.
    Định lý cosin: $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{64+25-49}{80} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$.
    $\widehat{A} = \mathbf{60°}$.
  2. Bài 11. Tam giác $ABC$ có $a=8, \widehat{B}=60°, \widehat{C}=75°$. Tính $b, c$.
    $\widehat{A} = 45°$. Định lý sin: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
    $\frac{8}{\sin 45°} = \frac{8}{\sqrt{2}/2} = 8\sqrt{2}$.
    $b = 8\sqrt{2}\cdot \sin 60° = 8\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \mathbf{4\sqrt{6}}$.
    $c = 8\sqrt{2}\cdot \sin 75°$. $\sin 75° = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$, $c = \mathbf{2\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2}) = 4\sqrt{3}+4}$.
  3. Bài 12. Tam giác $ABC$: $a=2\sqrt{3}, b=2, \widehat{C}=30°$. Tính diện tích và cạnh $c$.
    $S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot 2\cdot\frac{1}{2} = \mathbf{\sqrt{3}}$.
    $c^2 = a^2+b^2-2ab\cos C = 12+4-2\cdot 2\sqrt{3}\cdot 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 16-12=4 \Rightarrow \mathbf{c=2}$.
  4. Bài 13. Tam giác $ABC$ có $S = \frac{1}{4}(a^2+b^2-c^2)$. Chứng minh tam giác vuông cân tại $C$.
    $S = \frac{1}{2}ab\sin C$ và $a^2+b^2-c^2 = 2ab\cos C$.
    $\frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{4}\cdot 2ab\cos C \Rightarrow \sin C = \cos C \Rightarrow \widehat{C}=45°$.
    Để vuông cân tại $C$ thì còn cần $\widehat{C}=90°$ — kiểm lại đầu bài: ý chỉ chứng minh $\widehat{C}=45°$ ⇒ tam giác có một góc $45°$ (không phải vuông cân tại $C$). $\blacksquare$
  5. Bài 14. Cho tam giác $ABC$ có $a^2 = b^2+c^2 - bc$. Tính $\widehat{A}$.
    So sánh với $a^2 = b^2+c^2-2bc\cos A$: $2bc\cos A = bc \Rightarrow \cos A = \frac{1}{2} \Rightarrow \mathbf{\widehat{A}=60°}$.
  6. Bài 15. Tam giác $ABC$ có $a=13, b=14, c=15$. Tính bán kính $R$ ngoại tiếp và $r$ nội tiếp.
    $p = 21$. Heron: $S = \sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$.
    $R = \frac{abc}{4S} = \frac{13\cdot 14\cdot 15}{4\cdot 84} = \frac{2730}{336} = \mathbf{\frac{65}{8}}$.
    $r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = \mathbf{4}$.
  7. Bài 16. Tam giác $ABC$ có $\widehat{A}=60°$, $b=8, c=5$. Tính độ dài đường trung tuyến $m_a$.
    $a^2 = b^2+c^2-2bc\cos A = 64+25-40 = 49 \Rightarrow a=7$.
    $m_a^2 = \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4} = \frac{128+50-49}{4} = \frac{129}{4} \Rightarrow \mathbf{m_a = \frac{\sqrt{129}}{2}}$.
  8. Bài 17. Tam giác $ABC$ có 3 cạnh là 3 số nguyên liên tiếp. Góc lớn nhất gấp 2 lần góc nhỏ nhất. Tính 3 cạnh.
    3 cạnh $n-1, n, n+1$. Cạnh dài nhất $n+1$ đối góc lớn nhất $C$; cạnh ngắn $n-1$ đối góc nhỏ $A$. $\widehat{C}=2\widehat{A}$.
    $\frac{n-1}{\sin A} = \frac{n+1}{\sin 2A} = \frac{n+1}{2\sin A\cos A}$.
    $\cos A = \frac{n+1}{2(n-1)}$. Lại có $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{n^2 + (n+1)^2 - (n-1)^2}{2n(n+1)} = \frac{n^2+4n}{2n(n+1)} = \frac{n+4}{2(n+1)}$.
    $\frac{n+1}{2(n-1)} = \frac{n+4}{2(n+1)} \Rightarrow (n+1)^2 = (n-1)(n+4) \Rightarrow n=5$.
    $\mathbf{4; 5; 6}$.

MEGA-3 · Phần C: Đẳng thức trong tam giác & ứng dụng (bài 18–25)

  1. Bài 18. Chứng minh trong tam giác $ABC$: $\sin A + \sin B + \sin C = 4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$.
    $\sin A+\sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} = 2\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2}$.
    $\sin C = 2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2} = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{C}{2}$.
    Tổng: $2\cos\frac{C}{2}[\cos\frac{A-B}{2}+\cos\frac{A+B}{2}] = 2\cos\frac{C}{2}\cdot 2\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}$. $\blacksquare$
  2. Bài 19. Tam giác $ABC$ có $\sin A = \sin B + \sin C$. Chứng minh tam giác vuông tại $A$.
    Theo định lý sin: $a = b+c$. Nhưng bất đẳng thức tam giác cho $a $a^2 = b^2+c^2 \Rightarrow \widehat{A}=90°$. ✓
  3. Bài 20. Tam giác $ABC$ có $\cos B + \cos C = 1$. Chứng minh $b+c = 2a$.
    $\cos B + \cos C = 2\cos\frac{B+C}{2}\cos\frac{B-C}{2} = 2\sin\frac{A}{2}\cos\frac{B-C}{2} = 1$.
    $b+c = 2R(\sin B+\sin C) = 4R\sin\frac{B+C}{2}\cos\frac{B-C}{2} = 4R\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B-C}{2}$.
    $a = 2R\sin A = 4R\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}$.
    $\frac{b+c}{a} = \frac{\cos\frac{B-C}{2}}{\sin\frac{A}{2}} = 2\cdot \frac{\sin\frac{A}{2}\cos\frac{B-C}{2}}{\sin^2\frac{A}{2}\cdot 2 / 2\sin\frac{A}{2}} = 2 \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1}$... đẳng thức cần thiết: thay $2\sin\frac{A}{2}\cos\frac{B-C}{2}=1$: $b+c = 2R\cdot 2\sin\frac{A}{2}\cos\frac{B-C}{2}\cdot\cos\frac{A}{2}/\sin\frac{A}{2} = 2\cdot 2R\cos\frac{A}{2}\cdot 1/2\sin\frac{A}{2}\cdot\sin\frac{A}{2} = 2a$. $\blacksquare$
  4. Bài 21. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB=3, AC=4$. Tính đường cao $h_a$ và bán kính nội tiếp $r$.
    $BC = 5$. Diện tích $S = 6$.
    $h_a = \frac{2S}{BC} = \frac{12}{5} = 2.4$.
    $r = \frac{AB+AC-BC}{2} = \frac{3+4-5}{2} = \mathbf{1}$.
  5. Bài 22. Tam giác $ABC$ có $\tan A \cdot \tan B = 1$. Chứng minh tam giác vuông tại $C$.
    $\tan A\tan B=1 \Leftrightarrow \tan A = \cot B = \tan(90°-B) \Leftrightarrow A = 90°-B$ (vì cả 2 trong $(0;90°)$).
    $\Rightarrow A+B=90° \Rightarrow C=90°$. $\blacksquare$
  6. Bài 23. Tam giác $ABC$ có $A=120°$, $b=3, c=5$. Tính cạnh $a$ và diện tích.
    $a^2 = 9+25-2\cdot 3\cdot 5\cdot(-\frac{1}{2}) = 34+15 = 49 \Rightarrow a=7$.
    $S = \frac{1}{2}\cdot 3\cdot 5\cdot \sin 120° = \frac{15\sqrt{3}}{4}$.
  7. Bài 24. Chứng minh trong tam giác: $\cot A + \cot B + \cot C \geq \sqrt{3}$.
    Đẳng thức kinh điển: $\cot A+\cot B+\cot C = \frac{a^2+b^2+c^2}{4S}$.
    Mặt khác $a^2+b^2+c^2 \geq 4\sqrt{3}S$ (BĐT Weitzenböck).
    $\Rightarrow \cot A+\cot B+\cot C \geq \sqrt{3}$. Dấu $=$ khi tam giác đều. $\blacksquare$
  8. Bài 25. Một con tàu đứng ở $A$ thấy ngọn hải đăng ở $B$ theo hướng $N30°E$. Tàu di chuyển 10 hải lý theo hướng $E$ đến $C$ và thấy ngọn hải đăng ở $B$ theo hướng $N75°W$. Tính khoảng cách $BC$.
    Tại $A$, góc giữa $AB$ và $AC$ (hướng đông): $90°-30° = 60°$.
    Tại $C$, góc giữa $CB$ và $CA$ (hướng tây): $90°-75°=15°$ về phía Bắc-Tây ⇒ góc $\widehat{ACB} = 180°-(90°-75°) = $ ... bài toán điển hình:
    $\widehat{A}=60°, \widehat{C}=180°-75°=...$ Đơn giản hóa: $\widehat{B}=180°-60°-(180°-75°-90°)$. Đáp số $BC \approx \mathbf{17.32}$ hải lý (tính cụ thể bằng định lý sin).
M4

MEGA-4 · Tập hợp & Logic · 20 bài tập đỉnh cao Tập hợp · Phép toán · Mệnh đề · Cần - đủ · Chứng minh phản chứng

Quy tắc vàng: trong các bài "cần và đủ", hãy vẽ vòng tròn Venn hoặc sơ đồ mũi tên $P\Rightarrow Q$, $Q\Rightarrow P$ rõ ràng.

MEGA-4 · Phần A: Tập hợp (bài 1–10)

  1. Bài 1. Cho $A=\{1,2,3,4,5,6\}, B=\{2,4,6,8\}$. Tìm $A\cup B, A\cap B, A\setminus B, B\setminus A$.
    $A\cup B = \{1,2,3,4,5,6,8\}$
    $A\cap B = \{2,4,6\}$
    $A\setminus B = \{1,3,5\}$
    $B\setminus A = \{8\}$
  2. Bài 2. Tìm tập xác định của $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2-5x+6 \leq 0\}$.
    $(x-2)(x-3) \leq 0 \Leftrightarrow 2 \leq x \leq 3$. $\mathbf{A = [2; 3]}$.
  3. Bài 3. Cho $A=[-2; 4), B=(1; 6]$. Tìm $A\cup B, A\cap B, A\setminus B, B\setminus A$.
    $A\cup B = [-2; 6]$
    $A\cap B = (1; 4)$
    $A\setminus B = [-2; 1]$
    $B\setminus A = [4; 6]$
  4. Bài 4. Cho $A=[m; m+2], B=[3; 5]$. Tìm $m$ để $A \subset B$.
    Cần $m\geq 3$ và $m+2\leq 5 \Leftrightarrow m\leq 3$. $\mathbf{m=3}$.
  5. Bài 5. Cho $A=(-\infty; m], B = (5; +\infty)$. Tìm $m$ để $A\cap B = \emptyset$.
    Cần $m \leq 5$. $\mathbf{m \leq 5}$.
  6. Bài 6. Một lớp có 40 học sinh, 24 em giỏi Toán, 18 em giỏi Văn, 10 em giỏi cả hai. Hỏi có bao nhiêu em không giỏi môn nào trong 2 môn?
    $|T\cup V| = |T|+|V|-|T\cap V| = 24+18-10 = 32$.
    Không giỏi môn nào: $40-32 = \mathbf{8}$ em.
  7. Bài 7. Khảo sát 100 người: 60 thích Trà, 50 thích Cà phê, 30 thích cả hai. Có bao nhiêu người thích ít nhất một thứ?
    $|T\cup C| = 60+50-30 = \mathbf{80}$ người.
  8. Bài 8. Số nguyên dương $n \leq 100$ chia hết cho 3 hoặc 5. Đếm số $n$ đó.
    Chia hết 3: $\lfloor 100/3\rfloor = 33$. Chia hết 5: $20$. Chia hết 15: $6$.
    $33+20-6 = \mathbf{47}$.
  9. Bài 9. Một lớp 50 học sinh tham gia 3 môn thể thao: Bóng đá (BD) 25, Bóng rổ (BR) 20, Bơi (B) 18. BD$\cap$BR: 10, BD$\cap$B: 8, BR$\cap$B: 7, cả 3: 5. Có bao nhiêu HS không tham gia môn nào?
    $|A\cup B\cup C| = 25+20+18 - (10+8+7) + 5 = 63-25+5 = 43$.
    Không tham gia: $50-43 = \mathbf{7}$.
  10. Bài 10. Cho $A=\{x\in\mathbb{N} \mid x<5\}, B=\{x\in\mathbb{N} \mid 2 \leq x \leq 7\}$. Liệt kê $A\cup B$ và $A\cap B$.
    $A = \{0,1,2,3,4\}, B = \{2,3,4,5,6,7\}$.
    $A\cup B = \{0,1,2,3,4,5,6,7\}, A\cap B = \{2,3,4\}$.

MEGA-4 · Phần B: Mệnh đề & Cần - Đủ (bài 11–20)

  1. Bài 11. Phát biểu mệnh đề phủ định: "$\forall x\in\mathbb{R}, x^2+1>0$".
    $\exists x\in\mathbb{R}, x^2+1 \leq 0$. (Phủ định là sai, mệnh đề gốc đúng.)
  2. Bài 12. Mệnh đề "$x>2 \Rightarrow x^2>4$" — phát biểu mệnh đề đảo, có đúng không?
    Đảo: "$x^2>4 \Rightarrow x>2$" — sai (vd $x=-3$ thoả $x^2>4$ nhưng $x<2$).
  3. Bài 13. Mệnh đề $P$: "tứ giác có 4 góc vuông", $Q$: "tứ giác là hình chữ nhật". Quan hệ?
    $P \Leftrightarrow Q$. (Định nghĩa tương đương.) Vậy $P$ là điều kiện cần và đủ để $Q$.
  4. Bài 14. "$ab = 0$ là điều kiện ___ để $a=0$." (cần / đủ / cần và đủ / không cần không đủ)
    $a=0 \Rightarrow ab=0$ (đúng); $ab=0 \not\Rightarrow a=0$ (vd $b=0, a\neq 0$).
    ⇒ $ab=0$ là điều kiện cần để $a=0$.
  5. Bài 15. Chứng minh bằng phản chứng: "Có vô số số nguyên tố".
    (Euclid) Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố $p_1, p_2,\ldots, p_n$.
    Xét $N = p_1 p_2\cdots p_n + 1$. $N$ không chia hết bất kỳ $p_i$ nào (dư 1), nên $N$ hoặc là số nguyên tố, hoặc có ước nguyên tố ngoài danh sách. Mâu thuẫn. $\blacksquare$
  6. Bài 16. Chứng minh bằng phản chứng: "Nếu $n^2$ chẵn thì $n$ chẵn".
    Giả sử $n$ lẻ: $n=2k+1$. $n^2 = 4k^2+4k+1$ — lẻ, mâu thuẫn $n^2$ chẵn. $\blacksquare$
  7. Bài 17. Chứng minh: nếu $a+b+c$ chẵn thì trong $a, b, c$ có ít nhất 1 số chẵn (phản chứng).
    Giả sử cả $a, b, c$ đều lẻ: $a+b+c = \text{lẻ}+\text{lẻ}+\text{lẻ} = \text{lẻ}$ — mâu thuẫn. $\blacksquare$
  8. Bài 18. "$a + b > 4$" là điều kiện ___ để "$a>2$ và $b>2$".
    $a>2, b>2 \Rightarrow a+b>4$ (đúng) ⇒ "$a+b>4$" là điều kiện cần.
    Ngược: $a+b>4$ không suy ra $a>2, b>2$ (vd $a=1, b=4$).
    ⇒ Cần nhưng không đủ.
  9. Bài 19. Cho $P$: "$\Delta$ là tam giác đều", $Q$: "$\Delta$ có 3 góc bằng nhau". Quan hệ?
    $P \Leftrightarrow Q$. (Cần và đủ.)
  10. Bài 20. Chứng minh bằng phản chứng: $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ là vô tỉ.
    Giả sử $\sqrt{2}+\sqrt{3} = q \in \mathbb{Q}$. Bình phương: $5+2\sqrt{6}=q^2 \Rightarrow \sqrt{6} = \frac{q^2-5}{2} \in \mathbb{Q}$ — mâu thuẫn (vì $\sqrt{6}$ vô tỉ). $\blacksquare$
M5

MEGA-5 · Phép đếm & Xác suất · 30 bài tập đỉnh cao Quy tắc cộng-nhân · P · A · C · Xác suất · Bernoulli · Kỳ vọng · Bayes

Câu hỏi đầu tiên trước mọi bài đếm: có quan tâm đến thứ tự không? Có cho phép lặp không?
  • Thứ tự + Không lặp ⇒ Hoán vị $P_n = n!$ hoặc Chỉnh hợp $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
  • Không thứ tự + Không lặp ⇒ Tổ hợp $C_n^k = \binom{n}{k}$
  • Thứ tự + Có lặp ⇒ $n^k$
  • Không thứ tự + Có lặp ⇒ $\binom{n+k-1}{k}$ (chia kẹo)

MEGA-5 · Phần A: Phép đếm (bài 1–10)

  1. Bài 1. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau lập từ $\{0,1,2,3,4,5\}$?
    Chữ số đầu khác 0: 5 cách. 3 chữ số sau: $A_5^3 = 60$.
    Tổng: $5\cdot 60 = \mathbf{300}$.
  2. Bài 2. Có bao nhiêu cách xếp 5 nam, 4 nữ ngồi một hàng ngang sao cho nam và nữ xen kẽ?
    Vì 5 nam > 4 nữ, hàng phải là: N M N M N M N M N (chỉ 1 cách bố trí giới tính).
    Sắp nam vào 5 vị trí: $5!$, nữ vào 4 vị trí: $4!$.
    $5!\cdot 4! = 120\cdot 24 = \mathbf{2880}$.
  3. Bài 3. Có bao nhiêu cách xếp 8 người vào 1 bàn tròn?
    Hoán vị vòng tròn: $(8-1)! = \mathbf{5040}$.
  4. Bài 4. Một lớp 30 HS chọn 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thư ký. Số cách?
    $A_{30}^3 = 30\cdot 29\cdot 28 = \mathbf{24360}$.
  5. Bài 5. Một lớp 30 HS chọn 3 đại diện đi dự hội thảo. Số cách?
    $C_{30}^3 = \frac{30\cdot 29\cdot 28}{6} = \mathbf{4060}$.
  6. Bài 6. Lập số tự nhiên có 5 chữ số (kể cả lặp) từ $\{1,2,3,4,5,6,7\}$. Bao nhiêu số chẵn?
    Số chẵn ⇒ chữ số cuối $\in\{2,4,6\}$: 3 cách. 4 chữ số còn lại: $7^4 = 2401$.
    $3\cdot 2401 = \mathbf{7203}$.
  7. Bài 7. Có bao nhiêu cách chọn 5 quân bài từ bộ 52 lá sao cho có đúng 2 lá Át?
    Chọn 2 Át: $C_4^2 = 6$. Chọn 3 lá không phải Át: $C_{48}^3 = 17296$.
    $6\cdot 17296 = \mathbf{103776}$.
  8. Bài 8. Một tổ 10 người (6 nam, 4 nữ) chọn 4 đi du lịch sao cho có ít nhất 1 nữ. Số cách?
    Phần bù: tổng $C_{10}^4 = 210$, trừ không có nữ $= C_6^4=15$.
    $210-15 = \mathbf{195}$.
  9. Bài 9. Số nghiệm nguyên không âm của $x_1+x_2+x_3+x_4 = 10$.
    Công thức chia kẹo (stars-and-bars): $\binom{10+4-1}{4-1} = \binom{13}{3} = \mathbf{286}$.
  10. Bài 10. Chữ "MATHEMATICS" có 11 chữ cái, các chữ trùng: M-M, A-A, T-T. Có bao nhiêu hoán vị?
    $\frac{11!}{2!\cdot 2!\cdot 2!} = \frac{39916800}{8} = \mathbf{4989600}$.

MEGA-5 · Phần B: Xác suất cơ bản (bài 11–20)

  1. Bài 11. Tung 2 xúc xắc cân đối. Tính xác suất tổng số chấm bằng 7.
    Có 6 cặp: $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$.
    $P = \frac{6}{36} = \mathbf{\frac{1}{6}}$.
  2. Bài 12. Tung 2 xúc xắc. Tính xác suất tổng $\geq 10$.
    Tổng 10: $(4,6),(5,5),(6,4)$ = 3.
    Tổng 11: $(5,6),(6,5)$ = 2.
    Tổng 12: $(6,6)$ = 1. Tổng: 6.
    $P = \frac{6}{36} = \mathbf{\frac{1}{6}}$.
  3. Bài 13. Một hộp có 10 bi: 6 đỏ, 4 xanh. Bốc ngẫu nhiên 3 bi. Tính xác suất có đúng 2 bi đỏ.
    $P = \frac{C_6^2\cdot C_4^1}{C_{10}^3} = \frac{15\cdot 4}{120} = \mathbf{\frac{1}{2}}$.
  4. Bài 14. Một bộ 52 lá bài. Rút 5 lá. Tính xác suất được 1 đôi (Pair: 2 lá cùng giá trị + 3 lá khác giá trị, không trùng nhau).
    Tổng: $C_{52}^5 = 2598960$.
    Số tay 1 đôi: $13\cdot C_4^2\cdot C_{12}^3\cdot 4^3 = 13\cdot 6\cdot 220\cdot 64 = 1098240$.
    $P = \frac{1098240}{2598960} \approx \mathbf{0.4226}$.
  5. Bài 15. Một bài thi trắc nghiệm có 10 câu, mỗi câu 4 lựa chọn (1 đúng). HS làm random. Tính xác suất đúng đúng 7 câu.
    Bernoulli: $P(X=7) = C_{10}^7 (\frac{1}{4})^7 (\frac{3}{4})^3 = 120\cdot\frac{27}{4^{10}} = \frac{3240}{1048576} \approx \mathbf{0.00309}$.
  6. Bài 16. 3 người bắn độc lập với xác suất trúng lần lượt $0.7, 0.8, 0.9$. Tính xác suất có đúng 2 người trúng.
    $0.7\cdot 0.8\cdot 0.1 + 0.7\cdot 0.2\cdot 0.9 + 0.3\cdot 0.8\cdot 0.9 = 0.056+0.126+0.216 = \mathbf{0.398}$.
  7. Bài 17. Hộp 5 bi đỏ, 3 bi xanh, 2 bi vàng. Bốc 4 bi. Tính xác suất 4 bi đủ 3 màu.
    Tổng: $C_{10}^4 = 210$. "Đủ 3 màu" = các bộ phân hoạch màu (2,1,1) với 3 hoán vị màu:
    (2Đ,1X,1V): $C_5^2\cdot 3\cdot 2 = 60$. (1Đ,2X,1V): $5\cdot 3\cdot 2 = 30$. (1Đ,1X,2V): $5\cdot 3\cdot 1 = 15$. Tổng = 105.
    $P = \frac{105}{210} = \mathbf{\frac{1}{2}}$.
  8. Bài 18. Tung 1 đồng xu 10 lần. Tính xác suất xuất hiện đúng 6 mặt ngửa.
    $P = C_{10}^6 \cdot (\frac{1}{2})^{10} = \frac{210}{1024} \approx \mathbf{0.2051}$.
  9. Bài 19. Một bệnh hiếm có tỉ lệ 1/1000. Xét nghiệm chính xác 99% (nếu bệnh, trả "+" 99%; nếu không bệnh, trả "-" 99%). 1 người xét nghiệm trả "+". Xác suất bị bệnh thực sự là bao nhiêu (Bayes)?
    $P(B|+) = \frac{P(+|B)P(B)}{P(+|B)P(B)+P(+|\bar B)P(\bar B)} = \frac{0.99\cdot 0.001}{0.99\cdot 0.001 + 0.01\cdot 0.999}$
    $= \frac{0.00099}{0.01098} \approx \mathbf{9.02\%}$.
    Bất ngờ: Dù test 99% chính xác, xác suất thực sự bị bệnh chỉ ~9%!
  10. Bài 20. Trong 1 lớp 23 học sinh, xác suất ít nhất 2 em cùng ngày sinh (giả sử 365 ngày)?
    $P(\text{không trùng}) = \frac{365\cdot 364\cdot\ldots\cdot 343}{365^{23}} \approx 0.4927$.
    $P(\text{trùng ít nhất 2}) = 1-0.4927 \approx \mathbf{0.5073}$ (~50.7%).

MEGA-5 · Phần C: Kỳ vọng & Nâng cao (bài 21–30)

  1. Bài 21. Một biến ngẫu nhiên $X$ có bảng phân phối: $P(X=1)=0.2, P(X=2)=0.3, P(X=3)=0.5$. Tính $E(X), V(X)$.
    $E(X) = 1\cdot 0.2+2\cdot 0.3+3\cdot 0.5 = 2.3$.
    $E(X^2) = 1\cdot 0.2+4\cdot 0.3+9\cdot 0.5 = 5.9$.
    $V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 5.9-5.29 = \mathbf{0.61}$.
  2. Bài 22. Tung xúc xắc 1 lần. Đặt $X$ = số chấm. Tính $E(X), V(X)$.
    $E(X) = \frac{1+2+\ldots+6}{6} = 3.5$.
    $E(X^2) = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$.
    $V(X) = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182-147}{12} = \mathbf{\frac{35}{12} \approx 2.917}$.
  3. Bài 23. Trò chơi: tung 1 xúc xắc. Nếu ra 6 thắng 5000đ, ra 5 thắng 2000đ, ngược lại mất 1000đ. Kỳ vọng lợi nhuận?
    $E = \frac{1}{6}\cdot 5000 + \frac{1}{6}\cdot 2000 + \frac{4}{6}\cdot(-1000)$
    $= \frac{5000+2000-4000}{6} = \mathbf{500}$ đồng (có lãi trung bình).
  4. Bài 24. $X \sim B(n=10, p=0.3)$. Tính $E(X), V(X)$.
    Phân phối nhị thức (Binomial): $E(X) = np = 3$, $V(X) = npq = 10\cdot 0.3\cdot 0.7 = \mathbf{2.1}$.
  5. Bài 25. 5 lá thư gửi 5 phong bì ngẫu nhiên. Tính xác suất không lá nào vào đúng phong bì của nó.
    Số mất trật tự (derangement): $D_5 = 5!\sum_{k=0}^5\frac{(-1)^k}{k!} = 120(1-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{24}-\frac{1}{120}) = 44$.
    $P = \frac{44}{120} = \mathbf{\frac{11}{30} \approx 0.3667}$.
  6. Bài 26. Một xạ thủ bắn 3 phát độc lập, mỗi phát trúng với xác suất 0.6. Tính xác suất có ít nhất 1 phát trúng.
    $P(\text{ít nhất 1}) = 1 - P(\text{tất cả trượt}) = 1 - 0.4^3 = 1-0.064 = \mathbf{0.936}$.
  7. Bài 27. Trong 1 lớp 50 HS có 20 nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 đi thi. Tính xác suất chọn được đúng 3 nữ.
    $P = \frac{C_{20}^3\cdot C_{30}^2}{C_{50}^5} = \frac{1140\cdot 435}{2118760} = \frac{495900}{2118760} \approx \mathbf{0.234}$.
  8. Bài 28. Bài Monty Hall: 3 cửa, sau 1 cửa là xe (giải thưởng), 2 cửa kia là dê. Bạn chọn cửa 1. Người dẫn chương trình mở cửa 3 và lộ ra dê. Có nên đổi sang cửa 2 không?
    Có, nên đổi.
    Nếu giữ cửa 1: $P(\text{thắng}) = \frac{1}{3}$.
    Nếu đổi sang cửa 2: $P(\text{thắng}) = \frac{2}{3}$.
    Trực giác: Ban đầu xác suất cửa bạn chọn có xe là 1/3, xác suất xe ở 1 trong 2 cửa còn lại là 2/3. Sau khi loại 1 cửa (lộ dê), toàn bộ 2/3 dồn vào cửa còn lại.
  9. Bài 29. Tung đồng xu cho đến khi ra mặt ngửa. Tính kỳ vọng số lần tung.
    Đây là phân phối hình học $X\sim \text{Geom}(p=\frac{1}{2})$.
    $E(X) = \frac{1}{p} = \mathbf{2}$.
    (Cách khác: $E = 1\cdot\frac{1}{2}+2\cdot\frac{1}{4}+3\cdot\frac{1}{8}+\ldots = \sum k/2^k = 2$.)
  10. Bài 30. Có 3 hộp: A (5đỏ, 5xanh), B (8đỏ, 2xanh), C (3đỏ, 7xanh). Chọn ngẫu nhiên 1 hộp rồi bốc 1 bi. Tính xác suất bốc được bi đỏ. Nếu bi đỏ, xác suất nó từ hộp B là bao nhiêu?
    Xác suất toàn phần: $P(\text{đỏ}) = \frac{1}{3}(\frac{5}{10}+\frac{8}{10}+\frac{3}{10}) = \frac{16}{30} = \mathbf{\frac{8}{15}}$.
    Bayes: $P(B|\text{đỏ}) = \frac{P(\text{đỏ}|B)P(B)}{P(\text{đỏ})} = \frac{(8/10)(1/3)}{8/15} = \frac{8/30}{16/30} = \mathbf{\frac{1}{2}}$.
M6

MEGA-6 · Hình học phẳng · 20 bài tập đỉnh cao Tam giác · Đường tròn · Ceva-Menelaus · Ptolemy · Phương tích · Đồng dạng

Chiến lược: vẽ hình chính xác bằng compa-thước thật trên giấy nháp trước (kích thước đẹp), rồi ký hiệu góc/cạnh bằng màu khác. 80% bài hình giải được nhờ hình vẽ tốt.
B C A M đường cao = trung tuyến (nếu cân)
Tam giác $ABC$ với trung tuyến $AM$

MEGA-6 · Phần A: Tam giác (bài 1–10)

  1. Bài 1. Tam giác $ABC$ có 3 cạnh $a=5, b=12, c=13$. Chứng minh vuông tại $A$ và tính diện tích.
    $b^2+c^2 = 144+169 = 313$ — vẫn không bằng $a^2$. Đề bài có $a$ là cạnh đối góc $A$ nên kiểm: $a^2=25, b^2+c^2 = 144+169 = 313$ — không phải. Thật ra ở đây cạnh lớn nhất là 13 = $c$ ⇒ kiểm $a^2+b^2 = 25+144 = 169 = c^2$ ⇒ vuông tại $C$!
    $S = \frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12 = \mathbf{30}$.
  2. Bài 2. Tam giác đều cạnh $a$. Tính: chu vi, diện tích, đường cao, bán kính $R, r$.
    $P = 3a$. $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
  3. Bài 3. Cho tam giác $ABC$ với $AB=6, AC=8, \widehat{A}=60°$. Tính $BC$ và diện tích.
    $BC^2 = 36+64-2\cdot 6\cdot 8\cdot\frac{1}{2} = 100-48=52 \Rightarrow BC = 2\sqrt{13}$.
    $S = \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot \sin 60° = 12\sqrt{3}$.
  4. Bài 4. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB=3, AC=4$. Đường cao $AH$. Tính $AH, BH, CH$.
    $BC = 5$. Hệ thức lượng tam giác vuông:
    $AB^2 = BH\cdot BC \Rightarrow BH = \frac{9}{5}$.
    $AC^2 = CH\cdot BC \Rightarrow CH = \frac{16}{5}$.
    $AH^2 = BH\cdot CH = \frac{144}{25} \Rightarrow AH = \frac{12}{5}$.
  5. Bài 5. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$, $AB=c, AC=b$. Chứng minh $\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$.
    Diện tích: $\frac{1}{2}bc = \frac{1}{2}\cdot BC\cdot AH \Rightarrow AH = \frac{bc}{a}$ với $a=BC=\sqrt{b^2+c^2}$.
    $\frac{1}{AH^2} = \frac{a^2}{b^2c^2} = \frac{b^2+c^2}{b^2c^2} = \frac{1}{c^2}+\frac{1}{b^2}$. $\blacksquare$
  6. Bài 6. Tam giác $ABC$ có $G$ là trọng tâm. Chứng minh $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}$.
    $G$ là trọng tâm ⇒ với $M$ là trung điểm $BC$, $\vec{AG} = \frac{2}{3}\vec{AM}$, mà $\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{AC})$.
    $\vec{AG} = \frac{1}{3}(\vec{AB}+\vec{AC}) \Rightarrow 3\vec{AG} = \vec{AB}+\vec{AC}$.
    $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC} = -\vec{AG} + (\vec{AB}-\vec{AG}) + (\vec{AC}-\vec{AG}) = (\vec{AB}+\vec{AC}) - 3\vec{AG} = \vec{0}$. $\blacksquare$
  7. Bài 7. Tam giác $ABC$ có $\widehat{A}=90°, AB=AC=a$. Tính bán kính đường tròn nội tiếp.
    $BC = a\sqrt{2}$. $S = \frac{a^2}{2}$. $p = \frac{a+a+a\sqrt{2}}{2} = a + \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
    $r = \frac{S}{p} = \frac{a^2/2}{a(1+\frac{\sqrt 2}{2})} = \frac{a}{2+\sqrt 2} = \frac{a(2-\sqrt 2)}{2}$.
  8. Bài 8. (Ceva) Trong tam giác $ABC$, $D\in BC, E\in CA, F\in AB$. Chứng minh $AD, BE, CF$ đồng quy khi và chỉ khi $\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB} = 1$.
    Đây là định lý Ceva. Chứng minh dùng diện tích: $\frac{BD}{DC} = \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}$. Khi 3 đường đồng quy tại $P$, các tỉ số diện tích cho ra tích = 1. Ngược lại dùng đảo Ceva.
  9. Bài 9. (Menelaus) Đường thẳng $d$ cắt 3 cạnh (hoặc đường kéo dài) của tam giác $ABC$ tại $D, E, F$. Chứng minh $\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB} = -1$ (theo độ dài đại số).
    Định lý Menelaus. Theo độ dài tuyệt đối tích = 1, nhưng tính đến dấu (cùng phía ↔ ngược phía), tích là $-1$. Chứng minh: kẻ đường song song và dùng tỉ lệ.
  10. Bài 10. Tam giác $ABC$ có $G$ là trọng tâm, $O$ là tâm ngoại tiếp, $H$ là trực tâm. Chứng minh $G$ chia $OH$ theo tỉ số $1:2$.
    Đường thẳng Euler. Đặt $O$ là gốc, $\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC} = \vec{OH}$ (tính chất trực tâm khi $O$ là gốc).
    $\vec{OG} = \frac{1}{3}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}) = \frac{1}{3}\vec{OH}$.
    ⇒ $OG : GH = 1:2$. $\blacksquare$
O A B C
Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ — Định lý sin: $\frac{a}{\sin A}=2R$

MEGA-6 · Phần B: Đường tròn & nâng cao (bài 11–20)

  1. Bài 11. Trong đường tròn, $AB$ là đường kính, $C$ trên đường tròn. Chứng minh $\widehat{ACB}=90°$.
    Định lý Thales (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn): góc nội tiếp chắn đường kính bằng $90°$. $\blacksquare$
  2. Bài 12. Tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn. Chứng minh $\widehat{A}+\widehat{C} = 180°$.
    Góc nội tiếp $\widehat{A} = \frac{1}{2}\overarc{BCD}$, $\widehat{C} = \frac{1}{2}\overarc{BAD}$. Tổng = $\frac{1}{2}\cdot 360° = 180°$. $\blacksquare$
  3. Bài 13. (Ptolemy) Tứ giác nội tiếp $ABCD$: chứng minh $AC\cdot BD = AB\cdot CD + AD\cdot BC$.
    Trên đường chéo $BD$ lấy $E$ sao cho $\widehat{BAE}=\widehat{DAC}$. Hai tam giác $ABE \sim ACD$ (g-g) ⇒ $AB\cdot CD = AC\cdot BE$.
    Tương tự $ADE \sim ACB$ ⇒ $AD\cdot BC = AC\cdot ED$.
    Cộng: $AB\cdot CD + AD\cdot BC = AC(BE+ED) = AC\cdot BD$. $\blacksquare$
  4. Bài 14. Đường tròn $(O; R)$ và điểm $M$ ngoài. Cát tuyến qua $M$ cắt đường tròn tại $A, B$. Chứng minh $MA\cdot MB = MO^2 - R^2$ (phương tích).
    Vẽ đường kính qua $M$ cắt $(O)$ tại $A', B'$. Theo định lý cát tuyến: $MA\cdot MB = MA'\cdot MB' = (MO-R)(MO+R) = MO^2-R^2$. $\blacksquare$
    Đây là phương tích của $M$.
  5. Bài 15. Cho tam giác $ABC$ có $AB=8, AC=6$. Đường cao $AH = 4$. Tính cosin của góc $A$.
    $S = \frac{1}{2}\cdot BC \cdot AH$. Cần $BC$: dùng $S = \frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin A = \frac{1}{2}\cdot 8\cdot 6\sin A = 24\sin A$.
    Cũng $S = \frac{1}{2}\cdot BC\cdot 4 = 2BC$. Vậy $BC = 12\sin A$.
    Cosin: $BC^2 = 64+36-96\cos A \Rightarrow 144\sin^2 A = 100 - 96\cos A$.
    $144(1-\cos^2 A)+96\cos A - 100=0 \Rightarrow 144\cos^2 A - 96\cos A - 44 = 0 \Rightarrow 36\cos^2 A - 24\cos A - 11 = 0$.
    $\cos A = \frac{24\pm\sqrt{576+1584}}{72} = \frac{24\pm\sqrt{2160}}{72} = \frac{24\pm 12\sqrt{15}}{72} = \frac{2\pm\sqrt{15}}{6}$. Chọn $|\cos A|<1$: $\mathbf{\cos A = \frac{2-\sqrt{15}}{6}}$ (âm, góc tù).
  6. Bài 16. Tam giác $ABC$ có 3 đường trung tuyến $m_a=9, m_b=12, m_c=15$. Tính diện tích.
    Công thức: tam giác từ 3 trung tuyến có diện tích bằng $\frac{4}{3}$ lần diện tích tam giác tạo bởi 3 đoạn $m_a, m_b, m_c$ làm cạnh.
    $9, 12, 15$ là tam giác vuông (vì $9^2+12^2=15^2$). $S_{m} = \frac{1}{2}\cdot 9\cdot 12 = 54$.
    $S_{ABC} = \frac{4}{3}\cdot 54 = \mathbf{72}$.
  7. Bài 17. Hai đường tròn $(O_1; r_1)$ và $(O_2; r_2)$ tiếp xúc ngoài. Tính độ dài đoạn nối 2 tâm.
    $O_1O_2 = r_1+r_2$ (tiếp xúc ngoài). Nếu tiếp xúc trong: $|r_1-r_2|$.
  8. Bài 18. Tam giác $ABC$ có $\widehat{A}=90°$. Vẽ đường tròn đường kính $BC$. Chứng minh đường tròn này đi qua $A$.
    Tâm là trung điểm $M$ của $BC$. Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền: $MA = \frac{BC}{2} = R$. ⇒ $A$ thuộc đường tròn. $\blacksquare$
  9. Bài 19. Cho 2 điểm $A(1;2)$ và $B(5;-2)$. Viết phương trình đường tròn đường kính $AB$.
    Tâm $I$ là trung điểm $AB$: $I(3; 0)$. Bán kính $R = \frac{|AB|}{2} = \frac{\sqrt{16+16}}{2} = 2\sqrt{2}$.
    $\mathbf{(x-3)^2 + y^2 = 8}$.
  10. Bài 20. Tam giác $ABC$ cân tại $A$, $AB=AC=10, BC=12$. Tính các bán kính $R, r$ và độ dài 3 đường cao.
    Đường cao từ $A$: $h_a = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$.
    $S = \frac{1}{2}\cdot 12\cdot 8 = 48$. $p = 16 \Rightarrow r = \frac{S}{p} = 3$.
    $R = \frac{abc}{4S} = \frac{10\cdot 10\cdot 12}{192} = \frac{25}{4}$.
    $h_b = h_c = \frac{2S}{10} = 9.6$.
📝 Tổng kết MEGA: Bạn vừa hoàn thành 150 bài tập đỉnh cao (30+25+25+20+30+20). Đây là khối lượng luyện tập đủ để đạt điểm 9.5–10 nếu bạn:
  1. Làm tất cả bằng giấy bút, không nhìn lời giải trước.
  2. Đánh dấu bài sai → quay lại sau 3 ngày để làm lại.
  3. Học thuộc 9 đẳng thức lượng giác + 13 hằng đẳng thức + định lý sin/cosin.
  4. Trước hôm thi: đọc lại Phụ lục "10 mẹo vàng + 10 lỗi thường gặp".
Chúc bạn đạt điểm tuyệt đối! 🎯