1. Xác định số cách chọn một quyển sách Toán từ 4 quyển sách Toán phân biệt.

   $$4$$

2. Xác định số cách chọn một quyển sách Vật lý từ 3 quyển sách Vật lý phân biệt.

   $$3$$

3. Áp dụng quy tắc cộng cho hai phương án rời nhau không trùng nhau để tìm tổng số cách chọn.

   $$4 + 3 = 7$$

Tự kiểm tra: Tổng số sách trên kệ là 7 quyển phân biệt, chọn 1 quyển bất kỳ có đúng 7 cách chọn.

Lỗi cần tránh: Nhân hai số $4 \cdot 3 = 12$ do nhầm lẫn chọn 1 quyển sách với việc chọn đồng thời 1 sách Toán và 1 sách Vật lý.

1. Xác định số cách chọn 1 chiếc áo từ 3 chiếc áo phân biệt.

   $$3$$

2. Xác định số cách chọn 1 chiếc quần từ 2 chiếc quần phân biệt.

   $$2$$

3. Áp dụng quy tắc nhân cho hai công đoạn nối tiếp để tìm tổng số bộ trang phục.

   $$3 \cdot 2 = 6$$

Tự kiểm tra: Mỗi áo trong số 3 áo có thể kết hợp với đúng 2 quần, cho ta $3 \times 2 = 6$ bộ phân biệt.

Lỗi cần tránh: Cộng hai số $3 + 2 = 5$ do áp dụng nhầm quy tắc cộng cho các công đoạn liên tiếp.

1. Tính số lộ trình đi qua B bằng quy tắc nhân.

   $$3 \cdot 2 = 6$$

2. Xác định số lộ trình đi trực tiếp từ A đến C.

   $$4$$

3. Cộng số lộ trình của hai phương án rời nhau.

   $$3 \cdot 2 + 4 = 10$$

Tự kiểm tra: Phương án đi qua B có $3 \cdot 2 = 6$ lộ trình, phương án trực tiếp có 4 lộ trình, hai phương án không trùng nhau nên tổng là $6 + 4 = 10$.

Lỗi cần tránh: Nhân tất cả các số $(3 \cdot 2 \cdot 4 = 24)$ do không phân biệt được công đoạn nối tiếp và trường hợp rời nhau.

1. Chọn chữ số hàng trăm từ $\{1, 2, 3, 4\}$ (không được chọn $0$).

   $$4$$

2. Chọn chữ số hàng chục từ 4 chữ số còn lại (bao gồm chữ số $0$).

   $$4$$

3. Chọn chữ số hàng đơn vị từ 3 chữ số còn lại và nhân các công đoạn.

   $$4 \cdot 4 \cdot 3 = 48$$

Tự kiểm tra: Hàng trăm có 4 cách chọn, hàng chục có 4 cách, hàng đơn vị có 3 cách; tích $4 \cdot 4 \cdot 3 = 48$ đảm bảo các chữ số đôi một khác nhau và chữ số đầu khác 0.

Lỗi cần tránh: Tính $5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ do quên điều kiện chữ số hàng trăm không được bằng $0$.

1. Trường hợp 1: Chữ số hàng đơn vị là $0$ (1 cách). Hàng trăm có 4 cách chọn từ $\{1, 2, 3, 4\}$, hàng chục có 3 cách chọn.

   $$4 \cdot 3 = 12$$

2. Trường hợp 2: Chữ số hàng đơn vị thuộc $\{2, 4\}$ (2 cách). Hàng trăm có 3 cách chọn (khác $0$ và khác đơn vị), hàng chục có 3 cách chọn.

   $$2 \cdot 3 \cdot 3 = 18$$

3. Cộng số cách của cả hai trường hợp rời nhau.

   $$4 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 3 = 30$$

Tự kiểm tra: Trường hợp tận cùng 0 cho 12 số, tận cùng 2 hoặc 4 cho 18 số; tổng cộng $12 + 18 = 30$ số chẵn thỏa mãn.

Lỗi cần tránh: Không chia trường hợp hàng đơn vị bằng $0$, dẫn đến việc tính sai số cách chọn chữ số hàng trăm.

1. Xác định số cách chọn ký tự cho vị trí thứ nhất từ tập $\{A, B, C, D\}$.

   $$4$$

2. Do cho phép lặp ký tự, vị trí thứ hai và vị trí thứ ba mỗi vị trí đều có 4 cách chọn.

   $$4$$
   $$4$$

3. Áp dụng quy tắc nhân cho 3 vị trí độc lập để tính tổng số mã.

   $$4^3 = 64$$

Tự kiểm tra: Ba vị trí độc lập, mỗi vị trí có 4 khả năng chọn, số mã là $4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3 = 64$.

Lỗi cần tránh: Nhầm lẫn với trường hợp không được lặp ký tự và tính $4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$.

1. Trường hợp 1: Chữ số hàng đơn vị là $0$ (1 cách). Hàng trăm có 6 cách chọn từ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, hàng chục có 5 cách chọn.

   $$6 \cdot 5 = 30$$

2. Trường hợp 2: Chữ số hàng đơn vị là $5$ (1 cách). Hàng trăm có 5 cách chọn (khác $0$ và $5$), hàng chục có 5 cách chọn.

   $$5 \cdot 5 = 25$$

3. Cộng số cách của hai trường hợp rời nhau.

   $$6 \cdot 5 + 5 \cdot 5 = 55$$

Tự kiểm tra: Tận cùng bằng 0 có $6 \cdot 5 = 30$ số, tận cùng bằng 5 có $5 \cdot 5 = 25$ số; tổng cộng có $30 + 25 = 55$ số chia hết cho 5.

Lỗi cần tránh: Không chia hai trường hợp $0$ và $5$, dẫn đến chọn sai số cách ở hàng trăm cho trường hợp tận cùng bằng $5$.

1. Tính tổng số mã gồm 3 ký tự từ $\{A, B, C, D\}$ khi được phép lặp.

   $$4^3 = 64$$

2. Tính số mã không chứa chữ A nào (chỉ sử dụng các ký tự $\{B, C, D\}$).

   $$3^3 = 27$$

3. Lấy tổng số mã trừ đi số mã không chứa chữ A để được số mã chứa ít nhất một chữ A.

   $$4^3 - 3^3 = 37$$

Tự kiểm tra: Tổng số mã là 64, số mã không có A là 27; hiệu $64 - 27 = 37$ chính là số mã chứa ít nhất một chữ A.

Lỗi cần tránh: Đếm trực tiếp các trường hợp 1 chữ A, 2 chữ A, 3 chữ A nhưng tính trùng vị trí hoặc bỏ sót hoán vị.

1. Xác định tổng số kết quả có thể xảy ra khi tung xúc xắc.

   $$|\Omega| = 6$$

2. Liệt kê các mặt là số nguyên tố từ 1 đến 6.

   $$A = \{2, 3, 5\}$$
   $$|A| = 3$$

3. Tính xác suất để xuất hiện số nguyên tố.

   $$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Tự kiểm tra: Các số không phải nguyên tố là $\{1, 4, 6\}$ (gồm 3 số). Xác suất ra số không nguyên tố là $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, vậy xác suất ra số nguyên tố là $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Lỗi cần tránh: Coi số 1 là số nguyên tố, tính sai số kết quả thuận lợi thành 4 ($S = \{1, 2, 3, 5\}$) dẫn đến kết quả sai $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

1. Ký hiệu N là ngửa, S là sấp. Hai đồng xu cho bốn kết quả đồng khả năng: NN, NS, SN, SS.

   $$|\Omega| = 4$$

2. Xác định các kết quả thuận lợi có đúng một mặt ngửa (gồm kết quả NS và SN).

   $$|A| = 2$$

3. Tính xác suất xuất hiện đúng một mặt ngửa.

   $$P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Tự kiểm tra: Các trường hợp còn lại là cả hai ngửa (1) hoặc cả hai sấp (1), tổng xác suất bằng $1 - \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2}$.

Lỗi cần tránh: Chỉ đếm 1 trường hợp ngửa (bỏ sót tính thứ tự của hai đồng xu) dẫn đến xác suất sai $\frac{1}{4}$.

1. Tính tổng số kết quả sơ cấp đồng khả năng khi tung hai xúc xắc phân biệt.

   $$|\Omega| = 6 \times 6 = 36$$

2. Liệt kê các cặp $(x, y)$ thỏa mãn $x + y = 8$ với $x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

   $$A = \{(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)\}$$
   $$|A| = 5$$

3. Tính xác suất để tổng số chấm bằng 8.

   $$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{5}{36}$$

Tự kiểm tra: Kiểm tra các tổng khác: tổng bằng 7 có 6 cặp, tổng bằng 8 có 5 cặp, giảm dần đối xứng do $x$ chạy từ 2 đến 6.

Lỗi cần tránh: Không phân biệt hai xúc xắc và coi $(2,6)$ với $(6,2)$ là một kết quả, dẫn đến đếm thiếu chỉ còn 3 cặp $\{(2,6), (3,5), (4,4)\}$.

1. Tính tổng số cách rút 2 viên bi có thứ tự từ 5 viên bi phân biệt.

   $$|\Omega| = 5 \times 4 = 20$$

2. Tính số cách rút 2 viên bi đỏ có thứ tự từ 3 viên bi đỏ phân biệt.

   $$|A| = 3 \times 2 = 6$$

3. Tính xác suất cả hai viên bi rút ra đều là màu đỏ.

   $$P(A) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$$

Tự kiểm tra: Lần đầu rút đỏ có xác suất $\frac35$. Nếu lần đầu đã rút đỏ thì hộp còn 2 viên đỏ trong 4 viên, nên xác suất lần sau đỏ khi biết lần đầu đỏ là $\frac24$. Tích $\frac35\cdot\frac24=\frac3{10}$ khớp với cách đếm.

Lỗi cần tránh: Áp dụng sai quy tắc nhân cho các phép thử độc lập thành $\left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$, quên rằng số bi trong hộp đã giảm sau lần rút đầu tiên.

1. Xác định biến cố A (ra số chẵn) và biến cố B (ra số lớn hơn 4).

   $$A = \{2, 4, 6\}$$
   $$B = \{5, 6\}$$

2. Xác định phần giao $A \cap B$ gồm các số vừa chẵn vừa lớn hơn 4.

   $$A \cap B = \{6\}$$

3. Áp dụng công thức cộng xác suất $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

   $$P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Tự kiểm tra: Tập hợp các kết quả thuận lợi là $A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}$ gồm 4 phần tử. Xác suất là $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Lỗi cần tránh: Cộng $P(A) + P(B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ mà không trừ đi phần giao $\{6\}$ bị đếm lặp 2 lần.

1. Tính xác suất để một con xúc xắc không ra mặt 6.

   $$1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$$

2. Do 3 xúc xắc độc lập, tính xác suất để cả 3 xúc xắc đều không ra mặt 6.

   $$P(A^c) = \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216}$$

3. Áp dụng quy tắc biến cố phần bù để tìm xác suất có ít nhất một mặt 6.

   $$P(A) = 1 - P(A^c) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{91}{216}$$

Tự kiểm tra: Tổng xác suất của biến cố và biến cố phần bù là $\frac{91}{216} + \frac{125}{216} = \frac{216}{216} = 1$.

Lỗi cần tránh: Cộng trực tiếp xác suất ra mặt 6 của từng xúc xắc $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, quên rằng các biến cố này không xung khắc.

1. Gọi A là biến cố đồng xu ngửa. Đồng xu cân đối nên xác suất này bằng một nửa.

   $$P(A)=\frac12$$

2. Gọi B là biến cố xúc xắc ra số lớn hơn 4. Hai mặt thuận lợi là 5 và 6.

   $$P(B)=\frac26=\frac13$$

3. Sử dụng quy tắc nhân cho hai biến cố độc lập.

   $$P(A\cap B)=P(A)P(B)=\frac12\cdot\frac26=\frac16$$

Tự kiểm tra: Không gian mẫu có $2 \times 6 = 12$ kết quả đồng khả năng; các kết quả thuận lợi là (Ngửa, 5) và (Ngửa, 6) gồm 2 kết quả, cho xác suất $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.

Lỗi cần tránh: Nhầm lẫn quy tắc nhân với quy tắc cộng, tính $P(A) + P(B) = \frac{1}{2} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.

1. Do A và B xung khắc, xác suất của biến cố giao $A \cap B$ bằng 0.

   $$P(A \cap B) = 0$$

2. Tính $P(A \cup B)$ bằng quy tắc cộng cho hai biến cố xung khắc.

   $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}$$

3. Tính tích $P(A)P(B)$ để kiểm tra điều kiện độc lập.

   $$P(A)P(B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$$

4. So sánh $P(A \cap B)$ với $P(A)P(B)$ và đưa ra kết luận về tính độc lập.

   $$P(A \cup B) = \frac{7}{12}$$
   $$P(A \cap B) = 0 \ne \frac{1}{12} = P(A)P(B)$$

Tự kiểm tra: Vì $P(A) > 0$ và $P(B) > 0$, nếu A và B xung khắc thì $P(A \cap B) = 0 \ne P(A)P(B) > 0$, do đó hai biến cố không thể độc lập.

Lỗi cần tránh: Nhầm lẫn khái niệm xung khắc và độc lập, cho rằng hai biến cố xung khắc thì đương nhiên độc lập.