Chương 5 · Phép đếm & Xác suất

第だい5章しょう 場合ばあいの数かずと確率かくりつ — Phép đếm & Xác suất

Bài toán quen thuộc của đời sống lên đề thi. Quy tắc cộng – nhân, hoán vị, tổ hợp, xác suất cổ điển, kỳ vọng — luyện kỹ "dịch đề" để chọn đúng công thức.
15

§1 Quy tắc đếm cơ bản (場合ばあいの数かずの基本きほん) Quy tắc cộng & quy tắc nhân — hai "định luật cơ bản" của phép đếm

Quy tắc CỘNG (和わの法則ほうそく)

Nếu có thể thực hiện công việc theo cách $A$ ($m$ kiểu) hoặc cách $B$ ($n$ kiểu), không trùng nhau, thì tổng số cách: $m + n$.

Từ khóa nhận biết: "hoặc", "cách A hoặc cách B".

Quy tắc NHÂN (積せきの法則ほうそく)

Nếu công việc gồm hai công đoạn liên tiếp $A$ rồi $B$, công đoạn $A$ có $m$ cách, ứng với mỗi cách của $A$, công đoạn $B$ có $n$ cách, thì tổng số cách: $m \times n$.

Từ khóa nhận biết: "và rồi", "thực hiện liên tiếp".

VÍ DỤ 1 Đếm số tự nhiên
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập được bao nhiêu số tự nhiên: a) có 3 chữ số khác nhau; b) có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?
LỜI GIẢI
a) Chữ số hàng trăm $\ne 0$: 5 cách. Hàng chục: 5 cách còn lại. Hàng đơn vị: 4 cách. Tổng = $5 \cdot 5 \cdot 4 = 100$ số.
b) Chia hết cho 5 ⟹ chữ số cuối là $0$ hoặc $5$.
• Cuối là 0: hàng trăm 5 cách, hàng chục 4 cách → $5 \cdot 4 = 20$.
• Cuối là 5: hàng trăm $\ne 0,5$: 4 cách, hàng chục: 4 cách → $4 \cdot 4 = 16$.
Tổng = $20 + 16 = 36$ số.
a) 100 số;   b) 36 số.
16

§2 Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp (順列じゅんれつ・組合くみあわせ) Công thức $P, A, C$ và các biến thể: lặp, vòng tròn, có ràng buộc

Hoán vị (順列じゅんれつ) — Sắp xếp $n$ phần tử khác nhau
$P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n$

Quy ước: $0! = 1$.

Chỉnh hợp chập $k$ của $n$ (順列じゅんれつ ${}_nP_k$) — Chọn $k$, sắp thứ tự
${}_nP_k = A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)$
Tổ hợp chập $k$ của $n$ (組合くみあわせ ${}_nC_k$) — Chọn $k$, không sắp thứ tự
${}_nC_k = \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$

Tính chất: $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$; $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$; $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ (Pascal).

Các biến thể quan trọng

Hoán vị vòng tròn (円えん順列じゅんれつ): $n$ phần tử quanh bàn tròn: $(n-1)!$ cách.

Hoán vị có lặp (重複ちょうふく順列じゅんれつ): $n^r$ cách (chọn $r$ từ $n$ loại, có lặp).

Tổ hợp có lặp (重複ちょうふく組合くみあわせ): ${}_nH_k = \binom{n+k-1}{k}$.

Hoán vị các phần tử có lặp: $\dfrac{n!}{n_1! \, n_2! \cdots n_k!}$ (với $n_i$ là số lần lặp loại $i$).

VÍ DỤ 1 Bài toán xếp chỗ có ràng buộc
Có 5 nam và 4 nữ xếp thành hàng ngang. Tính số cách xếp sao cho: a) tuỳ ý; b) nam – nữ đứng xen kẽ; c) nhóm nữ luôn đứng cạnh nhau.
LỜI GIẢI
a) $9! = 362\,880$.
b) 5 nam và 4 nữ xen kẽ → phải nam-nữ-nam-...-nam (vị trí 1,3,5,7,9 là nam): $5! \cdot 4! = 120 \cdot 24 = 2\,880$.
c) "Buộc" 4 nữ thành 1 khối → có $6! \cdot 4! = 720 \cdot 24 = 17\,280$.
a) 362880; b) 2880; c) 17280.
VÍ DỤ 2 Tổ hợp – chọn ban
Lớp có 20 học sinh (12 nữ, 8 nam). Chọn ban cán sự 5 người. Tính số cách:
a) tuỳ ý; b) có ít nhất 1 nam; c) gồm 3 nữ và 2 nam.
LỜI GIẢI
a) $\binom{20}{5} = 15\,504$.
b) Phần bù: tổng - (toàn nữ) = $15504 - \binom{12}{5} = 15504 - 792 = 14\,712$.
c) $\binom{12}{3} \cdot \binom{8}{2} = 220 \cdot 28 = 6\,160$.
a) 15504; b) 14712; c) 6160.
Cách phân biệt "Chỉnh hợp" vs "Tổ hợp": Hỏi "có để ý thứ tự không?"
• Có (xếp hàng, thứ tự đến) → ${}_nP_k$.
• Không (chọn ban, chọn nhóm) → ${}_nC_k$.
Mẹo: ${}_nP_k = {}_nC_k \cdot k!$ (chọn rồi xếp $k$ phần tử đã chọn).

Bài tập tự luyện — Bài 16

16.1. Có 7 viên bi khác nhau xếp quanh 1 vòng tròn. Tính số cách xếp.
Hoán vị vòng tròn: $(7-1)! = 720$.
16.2. Đếm số đường đi ngắn nhất từ $(0,0)$ đến $(5,4)$ trên lưới ô vuông (chỉ đi phải hoặc lên).
Số bước = 9, trong đó 5 bước "phải" + 4 bước "lên" → số đường = $\binom{9}{5} = 126$.
16.3. Có bao nhiêu cách chia 12 quả bóng giống nhau vào 4 cái hộp khác nhau (cho phép hộp rỗng)?
Bài toán "sao-vạch" (stars & bars): $\binom{12+4-1}{4-1} = \binom{15}{3} = 455$.
17

§3 確率かくりつの基本きほん — Xác suất cổ điển & tính chất cơ bản Không gian mẫu, biến cố, xác suất, phần bù, hợp, giao

Khái niệm cơ bản

Phép thử (試行しこう): hành động có nhiều kết quả không đoán trước được.

Không gian mẫu $\Omega$ (標本ひょうほん空間くうかん): tập tất cả kết quả có thể.

Biến cố $A$ (事象じしょう): tập con của $\Omega$.

Xác suất cổ điển: nếu các kết quả đồng khả năng:

$P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|} = \dfrac{\text{số kết quả thuận lợi}}{\text{tổng số kết quả}}$

Tính chất: $0 \le P(A) \le 1$; $P(\varnothing) = 0$; $P(\Omega) = 1$.

Các công thức xác suất
$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$   (xác suất phần bù)
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Nếu $A, B$ xung khắc ($A \cap B = \varnothing$): $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Nếu $A, B$ độc lập: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Không gian mẫu: 6×6 = 36 kết quả D2↓ D1→ 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 đỏ: tổng = 7 (6 cách) · xanh: tổng ≥ 10 (6 cách) Bảng 36 kết quả khi tung 2 xúc xắc.
VÍ DỤ 1 Tung 2 con xúc xắc
Tung 2 con xúc xắc cân đối. Tính xác suất: a) tổng = 7; b) tổng $\ge 10$; c) ít nhất 1 con ra mặt 6.
LỜI GIẢI
B0 $|\Omega| = 6 \times 6 = 36$.
a) Tổng = 7: $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ — 6 cách. $P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$.
b) Tổng $\ge 10$: tổng = 10, 11, 12. Đếm: $3 + 2 + 1 = 6$ cách. $P = \dfrac{1}{6}$.
c) Phần bù: không có mặt 6 → mỗi con có 5 cách → $5^2 = 25$. $P = 1 - \dfrac{25}{36} = \dfrac{11}{36}$.
a) $\dfrac{1}{6}$; b) $\dfrac{1}{6}$; c) $\dfrac{11}{36}$.
18

§4 独立どくりつ試行しこう・反復はんぷく試行しこう・期待きたい値ち — Phép thử độc lập, lặp lại, Kỳ vọng Công thức Bernoulli, kỳ vọng $E(X)$, biến ngẫu nhiên

Công thức nhị thức xác suất (Bernoulli) (反復はんぷく試行しこうの確率かくりつ)

Phép thử có xác suất thành công $p$ (thất bại $q = 1-p$). Lặp $n$ lần độc lập. Xác suất có đúng $k$ lần thành công:

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$
Kỳ vọng (期待きたい値ち)

Với biến ngẫu nhiên $X$ nhận giá trị $x_1, x_2, \dots, x_n$ với xác suất $p_1, p_2, \dots, p_n$:

$E(X) = \sum_{i=1}^n x_i p_i$

Tính chất: $E(aX + b) = a E(X) + b$; $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$.

Phân phối nhị thức $X \sim B(n, p)$: $E(X) = np$.

VÍ DỤ 1 Bernoulli
Một xạ thủ bắn 5 phát, mỗi phát trúng với xác suất 0.7. Tính xác suất: a) trúng đúng 3 phát; b) trúng ít nhất 1 phát.
LỜI GIẢI
a) $P(X=3) = \binom{5}{3}(0.7)^3 (0.3)^2 = 10 \cdot 0.343 \cdot 0.09 = 0.3087$.
b) $P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 - (0.3)^5 = 1 - 0.00243 = 0.99757$.
a) ≈ 0.3087;   b) ≈ 0.9976.
VÍ DỤ 2 Kỳ vọng
Trò chơi: bốc 1 lá bài từ bộ 52 lá. Nếu là Át: được 100k; nếu là J, Q, K: được 50k; lá khác: mất 20k. Tính tiền lãi/lỗ trung bình mỗi lần chơi.
LỜI GIẢI
B1 $P(\text{Át}) = \dfrac{4}{52}$, $P(\text{J,Q,K}) = \dfrac{12}{52}$, $P(\text{khác}) = \dfrac{36}{52}$.
B2 $E(X) = 100 \cdot \dfrac{4}{52} + 50 \cdot \dfrac{12}{52} - 20 \cdot \dfrac{36}{52} = \dfrac{400 + 600 - 720}{52} = \dfrac{280}{52} \approx 5.38$ (ngàn đồng).
Trung bình lãi $\approx 5.38$k đồng / lượt.
Khi đề hỏi "ít nhất một...", dùng phần bù. Khi đề hỏi "lặp lại $n$ lần độc lập" → dùng Bernoulli. Khi đề có "trung bình", "kỳ vọng", "giá trị mong đợi" → dùng $E(X) = \sum x_i p_i$.
VÍ DỤ 3 Bài toán Monty Hall (kinh điển)
Có 3 cánh cửa: 1 cửa có ô tô, 2 cửa có dê. Bạn chọn 1 cửa. Người dẫn (biết câu trả lời) mở 1 trong 2 cửa còn lại có dê. Bạn nên giữ nguyên hay đổi sang cửa còn lại?
LỜI GIẢI (gây bất ngờ)
B1 Ban đầu, xác suất chọn đúng ô tô = $\dfrac{1}{3}$; chọn dê = $\dfrac{2}{3}$.
B2 Giữ nguyên: Xác suất thắng = $\dfrac{1}{3}$ (vẫn là ban đầu).
B3 Đổi cửa: Bạn thắng ⟺ ban đầu chọn dê (xác suất $\dfrac{2}{3}$), khi đó người dẫn loại đi con dê còn lại → cửa còn lại là ô tô.
Đổi cửa! Xác suất thắng = $\dfrac{2}{3}$ — gấp đôi so với giữ nguyên.
VÍ DỤ 4 Nghịch lý ngày sinh
Trong một lớp có $n$ người, tính xác suất có ít nhất 2 người trùng ngày sinh. Tìm $n$ nhỏ nhất để xác suất này > 50%.
LỜI GIẢI
B1 Xét bù: $P(\text{không trùng}) = \dfrac{365 \cdot 364 \cdots (365-n+1)}{365^n}$.
B2 $P(\text{trùng}) = 1 - P(\text{không trùng})$.
B3 Thử nghiệm: $n = 22$: $P \approx 47.6\%$. $n = 23$: $P \approx 50.7\%$.
$n = 23$ — chỉ cần 23 người để xác suất trùng > 50% (kết quả gây bất ngờ).

Bài tập tự luyện — Bài 18

18.1. Tung 1 đồng xu 10 lần. Tính xác suất được đúng 6 mặt ngửa.
$P = \binom{10}{6}(0.5)^{10} = 210/1024 = 105/512 \approx 0.205$.
18.2. Một hộp có 5 bi đỏ, 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 bi. Gọi $X$ là số bi đỏ. Tính $E(X)$.
$X \in \{0, 1, 2\}$.
$P(X=0) = \dfrac{\binom{3}{2}}{\binom{8}{2}} = \dfrac{3}{28}$; $P(X=1) = \dfrac{5\cdot 3}{28} = \dfrac{15}{28}$; $P(X=2) = \dfrac{10}{28}$.
$E(X) = 0 \cdot \dfrac{3}{28} + 1 \cdot \dfrac{15}{28} + 2 \cdot \dfrac{10}{28} = \dfrac{35}{28} = \dfrac{5}{4}$.