第8章 10 chủ đề luyện tập · 22 câu có lời giải
Luyện theo từng chủ đề với 22 câu có lời giải. Chọn phần cần ôn, tự làm trước rồi đối chiếu công thức và các bước giải. Cuối chương có bảng công thức tham khảo nhanh. Đây là bộ bài luyện theo chủ đề, không phải 10 đề thi hoàn chỉnh.
CHỦ ĐỀ 1 — Phương trình & Đa thức (cấp 2)
Câu 1. Cho $a = \sqrt{2} + \sqrt{3}, b = \sqrt{2} - \sqrt{3}$. Tính $a^2 + b^2$ và $a^3 - b^3$.
$a + b = 2\sqrt{2}, a - b = 2\sqrt{3}, ab = 2 - 3 = -1$.
$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 8 + 2 = 10$.
$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) = 2\sqrt{3}(10 - 1) = 18\sqrt{3}$.
$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 8 + 2 = 10$.
$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) = 2\sqrt{3}(10 - 1) = 18\sqrt{3}$.
Câu 2. Tìm $m$ để $(m-1)x^2 - 2(m-1)x + m + 1 \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
TH1 $m = 1$: $0 \cdot x^2 - 0 \cdot x + 2 = 2 \ge 0$ ✓.
TH2 $m \ne 1$: cần $a = m - 1 > 0$ và $\Delta' = (m-1)^2 - (m-1)(m+1) = (m-1)(-2) \le 0$.
$a > 0 \iff m > 1$; $\Delta' \le 0 \iff (m-1) \ge 0 \iff m \ge 1$. Giao: $m > 1$.
Kết hợp: $m \ge 1$.
TH2 $m \ne 1$: cần $a = m - 1 > 0$ và $\Delta' = (m-1)^2 - (m-1)(m+1) = (m-1)(-2) \le 0$.
$a > 0 \iff m > 1$; $\Delta' \le 0 \iff (m-1) \ge 0 \iff m \ge 1$. Giao: $m > 1$.
Kết hợp: $m \ge 1$.
Câu 3. Phân tích nhân tử: $A = x^3 + 3x^2 - 4$.
Thử $x = 1$: $A(1) = 0$. Chia $(x-1)$: được $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$.
Vậy $A = (x-1)(x+2)^2$.
Vậy $A = (x-1)(x+2)^2$.
CHỦ ĐỀ 2 — Hàm số bậc hai & tham số
Câu 1. Tìm phương trình parabola có đỉnh $(1, -2)$ và đi qua $A(3, 6)$.
$y = a(x-1)^2 - 2$. $A(3,6)$: $6 = 4a - 2 \Rightarrow a = 2$.
$y = 2(x-1)^2 - 2 = 2x^2 - 4x$.
$y = 2(x-1)^2 - 2 = 2x^2 - 4x$.
Câu 2. Cho $f(x) = x^2 + (m-2)x - m + 1$. Tìm $m$ để $f$ có 2 nghiệm $x_1, x_2$ thỏa $x_1 < 0 < x_2 < 3$.
$x_1 < 0 < x_2$: $a f(0) < 0 \iff -m + 1 < 0 \iff m > 1$.
$x_2 < 3$: $f(3) > 0 \iff 9 + 3(m-2) - m + 1 > 0 \iff 2m + 4 > 0 \iff m > -2$.
Giao: $m > 1$.
$x_2 < 3$: $f(3) > 0 \iff 9 + 3(m-2) - m + 1 > 0 \iff 2m + 4 > 0 \iff m > -2$.
Giao: $m > 1$.
Câu 3. Tìm Max-Min của $f(x) = -x^2 + 4x + m$ trên $[0, 5]$ theo $m$.
$f(x) = -(x-2)^2 + 4 + m$. Đỉnh $(2, 4+m)$, $a < 0$ → max tại đỉnh.
$2 \in [0,5]$ → Max = $4 + m$.
Min: $f(0) = m, f(5) = -5 + m$. Min = $f(5) = m - 5$.
$2 \in [0,5]$ → Max = $4 + m$.
Min: $f(0) = m, f(5) = -5 + m$. Min = $f(5) = m - 5$.
CHỦ ĐỀ 3 — Lượng giác & tam giác
Câu 1. Tam giác $ABC$ có $a = 8, b = 7, c = 5$. Tính $\cos A$, diện tích $S$, bán kính $R, r$.
$\cos A = \dfrac{49+25-64}{70} = \dfrac{10}{70} = \dfrac{1}{7}$.
$\sin A = \dfrac{\sqrt{48}}{7} = \dfrac{4\sqrt{3}}{7}$.
$S = \dfrac{1}{2} bc \sin A = \dfrac{1}{2}\cdot 7 \cdot 5 \cdot \dfrac{4\sqrt{3}}{7} = 10\sqrt{3}$.
$R = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{8}{2\cdot \dfrac{4\sqrt{3}}{7}} = \dfrac{7}{\sqrt{3}} = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$.
$p = 10, r = S/p = \sqrt{3}$.
$\sin A = \dfrac{\sqrt{48}}{7} = \dfrac{4\sqrt{3}}{7}$.
$S = \dfrac{1}{2} bc \sin A = \dfrac{1}{2}\cdot 7 \cdot 5 \cdot \dfrac{4\sqrt{3}}{7} = 10\sqrt{3}$.
$R = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{8}{2\cdot \dfrac{4\sqrt{3}}{7}} = \dfrac{7}{\sqrt{3}} = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$.
$p = 10, r = S/p = \sqrt{3}$.
Câu 2. Đơn giản: $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta + 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta$.
$= (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 = 1^2 = 1$.
CHỦ ĐỀ 4 — Tập hợp, logic, chứng minh
Câu 1. Cho $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 3x + 2 \le 0\}$, $B = \{x \mid |x-1| \le 2\}$. Tìm $A \cap B$, $A \cup B$.
$A: 1 \le x \le 2$, $B: -1 \le x \le 3$.
$A \cap B = [1, 2]$, $A \cup B = [-1, 3]$.
$A \cap B = [1, 2]$, $A \cup B = [-1, 3]$.
Câu 2. Chứng minh: nếu $a + b + c = 0$ và $a, b, c$ là số hữu tỉ thì $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ hoặc là số hữu tỉ, hoặc là $\sqrt{2|ab+bc+ca|}$.
$(a+b+c)^2 = 0 \Rightarrow a^2+b^2+c^2 = -2(ab+bc+ca)$.
$\sqrt{a^2+b^2+c^2} = \sqrt{-2(ab+bc+ca)} = \sqrt{2|ab+bc+ca|}$ (vì $a^2+b^2+c^2 \ge 0$ nên $ab+bc+ca \le 0$). ∎
$\sqrt{a^2+b^2+c^2} = \sqrt{-2(ab+bc+ca)} = \sqrt{2|ab+bc+ca|}$ (vì $a^2+b^2+c^2 \ge 0$ nên $ab+bc+ca \le 0$). ∎
CHỦ ĐỀ 5 — Tổ hợp xác suất
Câu 1. Một hộp có 4 bi đỏ, 5 bi xanh, 6 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 3 bi. Tính xác suất: a) 3 bi cùng màu; b) đủ 3 màu; c) ít nhất 1 bi đỏ.
Tổng $\binom{15}{3} = 455$.
a) $\binom{4}{3} + \binom{5}{3} + \binom{6}{3} = 4 + 10 + 20 = 34$. $P = \dfrac{34}{455}$.
b) $4 \cdot 5 \cdot 6 = 120$. $P = \dfrac{120}{455} = \dfrac{24}{91}$.
c) Bù: không có đỏ = $\binom{11}{3} = 165$. $P = 1 - \dfrac{165}{455} = \dfrac{290}{455} = \dfrac{58}{91}$.
a) $\binom{4}{3} + \binom{5}{3} + \binom{6}{3} = 4 + 10 + 20 = 34$. $P = \dfrac{34}{455}$.
b) $4 \cdot 5 \cdot 6 = 120$. $P = \dfrac{120}{455} = \dfrac{24}{91}$.
c) Bù: không có đỏ = $\binom{11}{3} = 165$. $P = 1 - \dfrac{165}{455} = \dfrac{290}{455} = \dfrac{58}{91}$.
Câu 2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau lập từ {0,1,2,3,4,5,6} sao cho số đó là số chẵn?
Chữ số cuối ∈ {0, 2, 4, 6}.
TH cuối = 0: 4 vị trí đầu chọn từ 6 chữ số còn lại, có $A_6^4 = 360$.
TH cuối ∈ {2,4,6}: 3 cách chọn cuối. Hàng vạn ≠ 0 và ≠ chữ số cuối: 5 cách. Còn lại 3 vị trí từ 5 chữ số còn lại: $A_5^3 = 60$. → $3 \cdot 5 \cdot 60 = 900$.
Tổng = $360 + 900 = 1260$.
TH cuối = 0: 4 vị trí đầu chọn từ 6 chữ số còn lại, có $A_6^4 = 360$.
TH cuối ∈ {2,4,6}: 3 cách chọn cuối. Hàng vạn ≠ 0 và ≠ chữ số cuối: 5 cách. Còn lại 3 vị trí từ 5 chữ số còn lại: $A_5^3 = 60$. → $3 \cdot 5 \cdot 60 = 900$.
Tổng = $360 + 900 = 1260$.
CHỦ ĐỀ 6 — Bất đẳng thức & min-max
Câu 1. Tìm GTNN của $f(x) = x + \dfrac{4}{x-1}$ với $x > 1$.
$f(x) = (x-1) + \dfrac{4}{x-1} + 1 \ge 2\sqrt{4} + 1 = 5$.
Dấu = ⟺ $(x-1)^2 = 4 \iff x = 3$.
Min = 5 tại $x = 3$.
Dấu = ⟺ $(x-1)^2 = 4 \iff x = 3$.
Min = 5 tại $x = 3$.
CHỦ ĐỀ 7 — Hình học & vector
Câu 1. Trong $Oxy$, cho $A(1,2), B(3,-1), C(-2,4)$. Tính diện tích tam giác $ABC$.
$\overrightarrow{AB} = (2, -3), \overrightarrow{AC} = (-3, 2)$.
$S = \dfrac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1| = \dfrac{1}{2}|2\cdot 2 - (-3)\cdot(-3)| = \dfrac{1}{2}|4 - 9| = \dfrac{5}{2}$.
$S = \dfrac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1| = \dfrac{1}{2}|2\cdot 2 - (-3)\cdot(-3)| = \dfrac{1}{2}|4 - 9| = \dfrac{5}{2}$.
Câu 2. Tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn, $AB = 5, BC = 4, CD = 3, AD = 7$. Tính $AC \cdot BD$.
Ptolemy: $AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD = 5\cdot 3 + 4\cdot 7 = 15 + 28 = 43$.
CHỦ ĐỀ 8 — Định lý Vi-ét nâng cao
Câu 1. Cho phương trình $x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$. Tìm $m$ để 2 nghiệm $x_1, x_2$ thỏa $x_1 = 3 x_2$.
$S = 2m, P = m^2 - 1$. $x_1 = 3x_2 \Rightarrow x_2(3+1) = 2m \Rightarrow x_2 = \dfrac{m}{2}, x_1 = \dfrac{3m}{2}$.
$x_1 x_2 = \dfrac{3m^2}{4} = m^2 - 1 \Rightarrow m^2 = 4 \Rightarrow m = \pm 2$.
$x_1 x_2 = \dfrac{3m^2}{4} = m^2 - 1 \Rightarrow m^2 = 4 \Rightarrow m = \pm 2$.
Câu 2. Tìm $m$ để pt $x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 2 = 0$ có 2 nghiệm $x_1 \le 1 \le x_2$.
Đặt $f(x) = x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 2$. ĐK: $a \cdot f(1) \le 0 \iff f(1) \le 0$.
$f(1) = 1 - 2(m+1) + m^2 + 2 = m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2 \le 0 \iff m = 1$.
Khi $m = 1$: $f(1) = 0$ → $x = 1$ là nghiệm kép.
$f(1) = 1 - 2(m+1) + m^2 + 2 = m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2 \le 0 \iff m = 1$.
Khi $m = 1$: $f(1) = 0$ → $x = 1$ là nghiệm kép.
CHỦ ĐỀ 9 — Bài toán thực tiễn
Câu 1. Người ta cần làm 1 cái thùng hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích $32\,\text{cm}^3$, đáy hình vuông. Tính kích thước để diện tích vật liệu ít nhất.
Đáy cạnh $x$, cao $h$: $x^2 h = 32 \Rightarrow h = \dfrac{32}{x^2}$.
Diện tích: $S = x^2 + 4xh = x^2 + \dfrac{128}{x}$.
$S' = 2x - \dfrac{128}{x^2} = 0 \Rightarrow x^3 = 64 \Rightarrow x = 4, h = 2$.
$S_{\min} = 16 + 32 = 48\,\text{cm}^2$.
Diện tích: $S = x^2 + 4xh = x^2 + \dfrac{128}{x}$.
$S' = 2x - \dfrac{128}{x^2} = 0 \Rightarrow x^3 = 64 \Rightarrow x = 4, h = 2$.
$S_{\min} = 16 + 32 = 48\,\text{cm}^2$.
Câu 2. Một chiếc thuyền cách bờ 2km, người chèo lên bờ tốc độ 5km/h, trên bờ chạy 13km/h đến nhà cách điểm gần nhất 10km. Hỏi điểm chèo lên bờ cách nhà bao xa để thời gian nhỏ nhất?
Đặt $x$ = khoảng cách điểm lên bờ tới điểm vuông góc nhà (0 ≤ x ≤ 10).
Thời gian: $T(x) = \dfrac{\sqrt{4+x^2}}{5} + \dfrac{10-x}{13}$.
$T'(x) = \dfrac{x}{5\sqrt{4+x^2}} - \dfrac{1}{13} = 0 \Rightarrow 13x = 5\sqrt{4+x^2} \Rightarrow 169x^2 = 25(4+x^2) \Rightarrow 144 x^2 = 100 \Rightarrow x = \dfrac{5}{6}$ km.
Khoảng cách lên bờ tới nhà: $10 - \dfrac{5}{6} = \dfrac{55}{6}$ km.
Thời gian: $T(x) = \dfrac{\sqrt{4+x^2}}{5} + \dfrac{10-x}{13}$.
$T'(x) = \dfrac{x}{5\sqrt{4+x^2}} - \dfrac{1}{13} = 0 \Rightarrow 13x = 5\sqrt{4+x^2} \Rightarrow 169x^2 = 25(4+x^2) \Rightarrow 144 x^2 = 100 \Rightarrow x = \dfrac{5}{6}$ km.
Khoảng cách lên bờ tới nhà: $10 - \dfrac{5}{6} = \dfrac{55}{6}$ km.
CHỦ ĐỀ 10 — Tổng hợp toàn diện (mức "10 điểm")
Câu 1. Cho $f(x) = x^2 + 2(m+1)x + m^2 + 2m$. Tìm $m$ để: a) $f(x) \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$; b) $f$ có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu; c) Min của $f$ trên $[-1, 1]$ bằng $-4$.
a) $\Delta' = (m+1)^2 - (m^2+2m) = 1 \ne 0$ → $\Delta' = 1 > 0$ luôn → $f$ luôn có 2 nghiệm. Vô nghiệm $m$.
b) ĐK $\Delta > 0$ (luôn đúng) và $P = m^2 + 2m > 0 \iff m > 0$ hoặc $m < -2$.
c) Đỉnh $x = -(m+1)$. Min trên $[-1,1]$:
• Nếu $-(m+1) \in [-1,1]$ tức $-2 \le m \le 0$: min = $f(-m-1) = -1$. → $-1 = -4$ vô lý.
• Nếu $m > 0$: min = $f(-1) = 1 - 2(m+1) + m^2 + 2m = m^2 - 1 = -4 \Rightarrow m^2 = -3$ vô nghiệm.
• Nếu $m < -2$: min = $f(1) = 1 + 2(m+1) + m^2 + 2m = m^2 + 4m + 3 = -4 \Rightarrow m^2 + 4m + 7 = 0$ vô nghiệm.
Vậy không tồn tại $m$.
b) ĐK $\Delta > 0$ (luôn đúng) và $P = m^2 + 2m > 0 \iff m > 0$ hoặc $m < -2$.
c) Đỉnh $x = -(m+1)$. Min trên $[-1,1]$:
• Nếu $-(m+1) \in [-1,1]$ tức $-2 \le m \le 0$: min = $f(-m-1) = -1$. → $-1 = -4$ vô lý.
• Nếu $m > 0$: min = $f(-1) = 1 - 2(m+1) + m^2 + 2m = m^2 - 1 = -4 \Rightarrow m^2 = -3$ vô nghiệm.
• Nếu $m < -2$: min = $f(1) = 1 + 2(m+1) + m^2 + 2m = m^2 + 4m + 3 = -4 \Rightarrow m^2 + 4m + 7 = 0$ vô nghiệm.
Vậy không tồn tại $m$.
Câu 2. Tam giác $ABC$ có $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : 3 : 4$. Tính $\cos A$.
Theo định lý sin: $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C = 2 : 3 : 4$. Đặt $a = 2k, b = 3k, c = 4k$.
$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{9 + 16 - 4}{24} = \dfrac{21}{24} = \dfrac{7}{8}$.
$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{9 + 16 - 4}{24} = \dfrac{21}{24} = \dfrac{7}{8}$.
Câu 3. Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho khai triển $(1 + \sqrt{2})^n$ có dạng $a + b\sqrt{2}$ với $a, b$ là các số nguyên dương thỏa $a^2 - 2b^2 = -1$.
Tính từng $n$:
$n=1$: $1 + \sqrt{2}$, $a=1, b=1$, $a^2 - 2b^2 = -1$ ✓.
Vậy $n = 1$. (Đây là chuỗi Pell.)
$n=1$: $1 + \sqrt{2}$, $a=1, b=1$, $a^2 - 2b^2 = -1$ ✓.
Vậy $n = 1$. (Đây là chuỗi Pell.)
BỘ CÔNG THỨC ÔN NHANH (PHẢI THUỘC)
★ Đại số
$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ · $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
$(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$
$a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$
$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$
Bezout: $P(x) = (x-c)Q(x) + P(c)$
$|a| \le r \iff -r \le a \le r$; $|a| \ge r \iff a \le -r \vee a \ge r$
★ Hàm bậc hai & Vi-ét
$y = ax^2 + bx + c = a(x-p)^2 + q$; $p = -\dfrac{b}{2a}, q = -\dfrac{\Delta}{4a}$
$\Delta = b^2 - 4ac$; nghiệm $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
Vi-ét: $S = x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a}, P = x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$
$x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P$; $(x_1-x_2)^2 = S^2 - 4P$
★ Lượng giác
$\sin^2 + \cos^2 = 1$; $1 + \tan^2 = \dfrac{1}{\cos^2}$
Sin: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$
Cosin: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$
$S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{abc}{4R} = pr = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
★ Tổ hợp & xác suất
${}_nP_k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$; ${}_nC_k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$; $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$
$P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}$; $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
Bernoulli: $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$; $E(X) = np$
★ Hình học & Vector
Phương tích: $PA \cdot PB = PC \cdot PD = PT^2$
Ceva: $\prod \dfrac{BD}{DC} = 1$ (đồng quy)
Menelaus: $\prod \dfrac{BD}{DC} = -1$ (thẳng hàng)
Ptolemy: $AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$ (tứ giác nội tiếp)
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$; $\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b}=0$