第2章 2次関数 — Hàm số bậc hai
Chương xương sống — chiếm tỉ trọng lớn nhất trong đề thi. Nắm chắc đồ thị parabola, các phép biến đổi, max/min, và phương pháp dùng đồ thị để giải bất phương trình.
Hàm số bậc nhất
Hàm số bậc nhất: $y = ax + b$ với $a \ne 0$. TXĐ: $\mathbb{R}$.
• $a > 0$: hàm đồng biến (tăng).
• $a < 0$: hàm nghịch biến (giảm).
$a$ gọi là hệ số góc (傾き), $b$ là tung độ gốc (y-切片).
$y = x + 1$: $a = 1 > 0$, đồng biến
$y = -x + 2$: $a = -1 < 0$, nghịch biến
Vị trí tương đối hai đường thẳng (2直線の位置関係)
$d: y = ax + b$ và $d': y = a'x + b'$:
• $d \parallel d' \iff a = a'$ và $b \ne b'$.
• $d \equiv d' \iff a = a'$ và $b = b'$.
• $d$ cắt $d' \iff a \ne a'$.
• $d \perp d' \iff a \cdot a' = -1$.
VÍ DỤ 1 Viết phương trình đường thẳng
Viết phương trình đường thẳng đi qua $A(1, 2)$ và vuông góc với đường $y = -2x + 5$.
LỜI GIẢI
B1 Đường vuông góc có $a \cdot (-2) = -1 \Rightarrow a = \dfrac{1}{2}$.
B2 $y = \dfrac{1}{2}x + b$. Qua $A(1,2)$: $2 = \dfrac{1}{2} + b \Rightarrow b = \dfrac{3}{2}$.
$y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}$.
VÍ DỤ 2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Tính khoảng cách từ $A(2, 3)$ đến đường $d: 3x - 4y + 5 = 0$.
LỜI GIẢI
B1 Công thức $d(A, d) = \dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
B2 $= \dfrac{|3\cdot 2 - 4\cdot 3 + 5|}{\sqrt{9+16}} = \dfrac{|-1|}{5} = \dfrac{1}{5}$.
$d = \dfrac{1}{5}$.
Bài tập tự luyện — Hàm số bậc nhất
0.1. Tìm $m$ để $y = (m^2-1)x + m + 2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
ĐK đồng biến: hệ số $a = m^2 - 1 > 0 \iff m > 1$ hoặc $m < -1$.
0.2. Hai đường thẳng $y = (m+1)x - 3$ và $y = (2m-5)x + 7$ song song. Tìm $m$.
$m + 1 = 2m - 5 \Rightarrow m = 6$. Tung độ gốc khác nhau (-3 ≠ 7) → thỏa mãn.
Định nghĩa hàm số bậc hai
Hàm số bậc hai là hàm $y = ax^2 + bx + c$ với $a \ne 0$. Tập xác định: $\mathbb{R}$.
Đồ thị của nó là một parabola (放物線).
Đồ thị $y = ax^2$ (dạng đơn giản nhất)
Parabola $y = ax^2$ có đỉnh tại $O(0,0)$, trục đối xứng là trục $Oy$.
• $a > 0$: bề lõm hướng lên trên (∪), $x = 0$ là điểm thấp nhất.
• $a < 0$: bề lõm hướng xuống dưới (∩), $x = 0$ là điểm cao nhất.
• $|a|$ càng lớn, parabola càng "hẹp"; $|a|$ càng nhỏ (gần 0), parabola càng "rộng".
$a > 0$: parabola bề lõm lên trên. $|a|$ lớn → hẹp; $|a|$ nhỏ → rộng.
$a < 0$: parabola bề lõm xuống dưới (úp ngược).
Dạng đỉnh (標準形) — DẠNG QUAN TRỌNG NHẤT
Mọi hàm bậc hai $y = ax^2+bx+c$ đều viết được dưới dạng đỉnh:
$y = a(x - p)^2 + q$
trong đó:
$p = -\dfrac{b}{2a}$ , $q = -\dfrac{\Delta}{4a} = c - \dfrac{b^2}{4a}$
Đỉnh: $\boxed{I(p,\ q)}$. Trục đối xứng: $\boxed{x = p}$.
VÍ DỤ 1 Đưa về dạng đỉnh (平方完成)
Viết $y = 2x^2 - 8x + 5$ về dạng đỉnh. Tìm đỉnh, trục đối xứng.
LỜI GIẢI
B1 Nhóm 2 hạng tử đầu: $y = 2(x^2 - 4x) + 5$.
B2 Thêm bớt để có bình phương: $x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$.
B3 $y = 2[(x-2)^2 - 4] + 5 = 2(x-2)^2 - 3$.
Dạng đỉnh: $y = 2(x-2)^2 - 3$. Đỉnh $I(2, -3)$. Trục đối xứng $x = 2$.
Phép tịnh tiến parabola (平行移動)
Quy tắc tịnh tiến
Đồ thị $y = f(x)$ tịnh tiến sang phải $p$ đơn vị, lên trên $q$ đơn vị → đồ thị mới có phương trình $y - q = f(x - p)$ hay $\boxed{y = f(x-p) + q}$.
Áp dụng cho parabola:
$y = ax^2$ → tịnh tiến → $y = a(x - p)^2 + q$
Đối xứng:
Qua trục $Ox$: $y \to -y$ → $y = -(ax^2+bx+c)$
Qua trục $Oy$: $x \to -x$ → $y = ax^2 - bx + c$
Qua gốc $O$: $(x,y) \to (-x,-y)$
VÍ DỤ 2 Tịnh tiến & tìm phương trình parabola
Cho parabola $(P): y = x^2 - 4x + 3$. Tìm phương trình $(P')$ là ảnh của $(P)$ qua phép tịnh tiến theo vector $\vec{v}(3, -2)$.
LỜI GIẢI
B1 Đưa $(P)$ về dạng đỉnh: $y = (x-2)^2 - 1$, đỉnh $I(2, -1)$.
B2 Tịnh tiến đỉnh: $I'(2+3,\ -1-2) = (5, -3)$.
B3 $(P'): y = (x-5)^2 - 3 = x^2 - 10x + 22$.
$(P'): y = x^2 - 10x + 22$.
Tìm phương trình parabola từ điều kiện cho trước
3 cách viết parabola theo điều kiện
① Biết đỉnh $(p, q)$: $y = a(x-p)^2 + q$ — còn 1 ẩn $a$.
② Biết 2 nghiệm $x_1, x_2$ (giao trục $Ox$): $y = a(x-x_1)(x-x_2)$ — còn 1 ẩn $a$.
③ Biết 3 điểm bất kỳ: dùng $y = ax^2+bx+c$ → giải hệ 3 ẩn $a, b, c$.
VÍ DỤ 3 Tìm parabola qua 3 điểm
Tìm parabola $y = ax^2 + bx + c$ đi qua $A(0, 1), B(1, 4), C(-1, 2)$.
LỜI GIẢI
B1 $A(0,1)$: $c = 1$.
B2 $B(1,4)$: $a + b + c = 4 \Rightarrow a + b = 3$.
B3 $C(-1,2)$: $a - b + c = 2 \Rightarrow a - b = 1$.
B4 Giải: $a = 2, b = 1, c = 1$.
$y = 2x^2 + x + 1$.
Khi bài cho parabola tiếp xúc với một đường thẳng: đặt phương trình hoành độ giao điểm rồi cho $\Delta = 0$. Khi bài cho parabola có đỉnh nằm trên một đường thẳng: thay tọa độ đỉnh vào phương trình đường thẳng.
Bài tập tự luyện — Bài 7
7.1. Viết $y = -3x^2 + 6x + 1$ về dạng đỉnh. Vẽ đồ thị.
$y = -3(x-1)^2 + 4$. Đỉnh $(1, 4)$, bề lõm hướng xuống. Cắt $Oy$ tại $(0, 1)$; cắt $Ox$ khi $-3(x-1)^2 + 4 = 0 \Rightarrow x = 1 \pm \dfrac{2}{\sqrt{3}}$.
7.2. Tìm parabola có đỉnh $(2, -1)$ và đi qua $(0, 7)$.
$y = a(x-2)^2 - 1$. Qua $(0,7)$: $4a - 1 = 7 \Rightarrow a = 2$.
Vậy $y = 2(x-2)^2 - 1 = 2x^2 - 8x + 7$.
Vậy $y = 2(x-2)^2 - 1 = 2x^2 - 8x + 7$.
Max - Min trên toàn tập số thực
Hàm $y = a(x-p)^2 + q$ trên $\mathbb{R}$:
• $a > 0$: Min $y = q$ tại $x = p$; không có max (tăng vô hạn).
• $a < 0$: Max $y = q$ tại $x = p$; không có min (giảm vô hạn).
3 trường hợp Max-Min của hàm bậc 2 ($a>0$) trên đoạn $[\alpha,\beta]$.
Max - Min trên đoạn $[\alpha, \beta]$ (CỰC KỲ HAY THI)
Xét parabola $y = a(x-p)^2 + q$ với $a > 0$ (lõm lên). Ta xét vị trí của $p$ so với đoạn:
| Vị trí $p$ | Min | Max |
|---|---|---|
| $p < \alpha$ | $y(\alpha)$ | $y(\beta)$ |
| $\alpha \le p \le \beta$ | $q$ (tại $x=p$) | $\max\{y(\alpha), y(\beta)\}$ |
| $p > \beta$ | $y(\beta)$ | $y(\alpha)$ |
Với $a < 0$ (lõm xuống): đảo vai trò max/min.
VÍ DỤ 1 Max-Min trên đoạn
Tìm max-min của $y = x^2 - 4x + 5$ trên $[0, 3]$.
LỜI GIẢI
B1 $y = (x-2)^2 + 1$, đỉnh $(2, 1)$, $a = 1 > 0$.
B2 $p = 2 \in [0, 3]$. Vậy Min = 1 tại $x = 2$.
B3 $y(0) = 5, y(3) = 2$. Max = $\max\{5, 2\} = 5$ tại $x = 0$.
Min = 1 (tại $x = 2$); Max = 5 (tại $x = 0$).
VÍ DỤ 2 Max-Min có tham số (dạng kinh điển đề thi đại học)
Tìm min của $f(x) = x^2 - 2mx + 3m$ trên đoạn $[0, 2]$ theo $m$.
LỜI GIẢI
B1 Dạng đỉnh: $f(x) = (x - m)^2 + 3m - m^2$, đỉnh $(m, 3m - m^2)$.
B2 TH1: $m < 0$ → đỉnh ngoài đoạn về trái → min tại $x = 0$: $f(0) = 3m$.
B3 TH2: $0 \le m \le 2$ → đỉnh trong đoạn → min = $3m - m^2$.
B4 TH3: $m > 2$ → đỉnh ngoài đoạn về phải → min tại $x = 2$: $f(2) = 4 - 4m + 3m = 4 - m$.
Min = $\begin{cases} 3m & m < 0 \\ 3m - m^2 & 0 \le m \le 2 \\ 4 - m & m > 2 \end{cases}$
Với bài đoạn cố định, parabola di động (đỉnh phụ thuộc $m$): chia 3 trường hợp theo vị trí đỉnh so với đoạn.
Với bài parabola cố định, đoạn di động $[m, m+2]$: chia 3 trường hợp theo vị trí của đoạn so với trục đối xứng.
Đây là dạng bài cho 1.5-2 điểm trong đề thi, không được bỏ!
Với bài parabola cố định, đoạn di động $[m, m+2]$: chia 3 trường hợp theo vị trí của đoạn so với trục đối xứng.
Đây là dạng bài cho 1.5-2 điểm trong đề thi, không được bỏ!
VÍ DỤ 3 Ứng dụng thực tiễn — Tối ưu hóa
Một mảnh đất hình chữ nhật cạnh sông cần rào 3 cạnh (cạnh giáp sông không cần rào). Tổng chiều dài hàng rào là 100m. Tính diện tích lớn nhất.
LỜI GIẢI
B1 Gọi cạnh vuông góc với sông là $x$, cạnh dọc sông là $y$. Hàng rào: $2x + y = 100 \Rightarrow y = 100 - 2x$ (cần $0 < x < 50$).
B2 Diện tích: $S = xy = x(100 - 2x) = -2x^2 + 100x = -2(x-25)^2 + 1250$.
B3 Max khi $x = 25$ (thuộc miền). Khi đó $y = 50$.
$S_{\max} = 1250\,\text{m}^2$ khi cạnh vuông góc 25m, cạnh dọc 50m.
VÍ DỤ 4 Min-Max trên đoạn di động
Cho $f(x) = x^2 - 2x - 3$. Tìm Max-Min của $f$ trên đoạn $[m, m+2]$ theo $m$.
LỜI GIẢI
B1 $f(x) = (x-1)^2 - 4$, đỉnh $(1, -4)$, $a > 0$.
B2 Trục đối xứng $x = 1$. So với đoạn $[m, m+2]$:
B3 Min: Nếu $m+2 < 1 \iff m < -1$: min $f(m+2) = m^2 + 2m - 3$.
Nếu $-1 \le m \le 1$: $1 \in [m, m+2]$, min $= -4$.
Nếu $m > 1$: min $f(m) = m^2 - 2m - 3$.
Nếu $-1 \le m \le 1$: $1 \in [m, m+2]$, min $= -4$.
Nếu $m > 1$: min $f(m) = m^2 - 2m - 3$.
B4 Max: So sánh $f(m)$ và $f(m+2)$. Trung điểm $\dfrac{m+(m+2)}{2} = m+1$. Nếu $m+1 < 1 \iff m < 0$: $f(m)$ xa hơn → max $f(m) = m^2-2m-3$. Nếu $m \ge 0$: max $f(m+2) = m^2+2m-3$.
Bài tập tự luyện — Bài 8
8.1. Tìm GTLN, GTNN của $y = -2x^2 + 8x - 3$ trên $[-1, 5]$.
$y = -2(x-2)^2 + 5$. Đỉnh $(2,5)$ $\in [-1,5]$, $a<0$.
Max = 5 (tại $x=2$). $y(-1) = -13, y(5) = -13$. Min = $-13$ tại $x = -1$ và $x = 5$.
Max = 5 (tại $x=2$). $y(-1) = -13, y(5) = -13$. Min = $-13$ tại $x = -1$ và $x = 5$.
8.2. Tìm $m$ để $f(x) = x^2 - 2x + m$ có GTNN trên $[0, 3]$ bằng 5.
Đỉnh $(1, m-1)$, $a > 0$. $1 \in [0,3]$ → min = $m - 1 = 5 \Rightarrow m = 6$.
8.3. Một quả bóng được ném lên với chiều cao $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ (m). Tính chiều cao max và thời điểm rơi.
$h(t) = -5(t-2)^2 + 21$. Max = 21m tại $t=2$s.
Rơi khi $h = 0$: $-5t^2 + 20t + 1 = 0 \Rightarrow t = 2 + \sqrt{4.2} \approx 4.05$s.
Rơi khi $h = 0$: $-5t^2 + 20t + 1 = 0 \Rightarrow t = 2 + \sqrt{4.2} \approx 4.05$s.
8.4. Tìm $m$ để $f(x) = mx^2 + 2(m-1)x + m + 5$ đạt min tại $x = 1$.
Đỉnh $x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{m-1}{m} = 1 \Rightarrow -(m-1) = m \Rightarrow m = \dfrac{1}{2}$.
Kiểm tra $a = m > 0$ → có min. Vậy $m = \dfrac{1}{2}$.
Kiểm tra $a = m > 0$ → có min. Vậy $m = \dfrac{1}{2}$.
8.5. Cho parabola $(P): y = x^2 - 4x + 3$ và đường thẳng $d: y = 2x + m$. Tìm $m$ để $d$ cắt $(P)$ tại 2 điểm phân biệt $A, B$ sao cho $AB = 4\sqrt{2}$.
PT hoành độ giao điểm: $x^2 - 6x + (3-m) = 0$. ĐK $\Delta' = 9 - (3-m) > 0 \iff m > -6$.
Gọi $x_1, x_2$ là 2 nghiệm. $AB^2 = (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 = (x_1-x_2)^2(1 + 4) = 5(x_1-x_2)^2$.
$(x_1-x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2 = 36 - 4(3-m) = 24 + 4m$.
$AB^2 = 5(24+4m) = 32 \Rightarrow 24 + 4m = \dfrac{32}{5}$ — kết quả không nguyên...
Thay $AB = 4\sqrt{2} \Rightarrow AB^2 = 32$. $5(24+4m) = 32 \Rightarrow m = \dfrac{32-120}{20} = -\dfrac{22}{5}$.
Gọi $x_1, x_2$ là 2 nghiệm. $AB^2 = (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 = (x_1-x_2)^2(1 + 4) = 5(x_1-x_2)^2$.
$(x_1-x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2 = 36 - 4(3-m) = 24 + 4m$.
$AB^2 = 5(24+4m) = 32 \Rightarrow 24 + 4m = \dfrac{32}{5}$ — kết quả không nguyên...
Thay $AB = 4\sqrt{2} \Rightarrow AB^2 = 32$. $5(24+4m) = 32 \Rightarrow m = \dfrac{32-120}{20} = -\dfrac{22}{5}$.
Liên hệ giữa Δ và đồ thị parabola
Số nghiệm thực của $ax^2 + bx + c = 0$ = số giao điểm của parabola $y = ax^2+bx+c$ với trục $Ox$:
| Δ | Số giao điểm | Vị trí parabola |
|---|---|---|
| $\Delta > 0$ | 2 (phân biệt) | Cắt trục Ox |
| $\Delta = 0$ | 1 (tiếp xúc) | Tiếp xúc với Ox |
| $\Delta < 0$ | 0 | Nằm hoàn toàn trên (a>0) hoặc dưới (a<0) Ox |
Bảng giải bất phương trình bậc hai (PHẢI THUỘC)
Với $a > 0$:
| Δ | $ax^2+bx+c > 0$ | $ax^2+bx+c < 0$ |
|---|---|---|
| $\Delta > 0$ (2 nghiệm $x_1 < x_2$) | $x < x_1$ hoặc $x > x_2$ | $x_1 < x < x_2$ |
| $\Delta = 0$ (1 nghiệm kép $x_0$) | $x \ne x_0$ (mọi $x$) | Vô nghiệm |
| $\Delta < 0$ | $\forall x \in \mathbb{R}$ | Vô nghiệm |
Với $a < 0$: nhân $-1$ vào 2 vế bất phương trình rồi áp dụng bảng trên (nhớ đổi chiều).
VÍ DỤ 1 Giải bất phương trình bậc hai
Giải: a) $x^2 - 5x + 6 > 0$; b) $-2x^2 + 5x - 2 \ge 0$; c) $x^2 - 4x + 5 < 0$.
LỜI GIẢI
a) $x^2-5x+6 = (x-2)(x-3) > 0 \iff x < 2$ hoặc $x > 3$.
b) Nhân $-1$: $2x^2 - 5x + 2 \le 0$. Nghiệm pt: $x = \dfrac{1}{2}, 2$. Vậy $\dfrac{1}{2} \le x \le 2$.
c) $\Delta = 16 - 20 = -4 < 0$ và $a = 1 > 0$ → biểu thức luôn $> 0$ → bất pt vô nghiệm.
a) $x < 2 \vee x > 3$; b) $\dfrac{1}{2} \le x \le 2$; c) Vô nghiệm.
Vị trí nghiệm của tam thức bậc hai so với 1 số (DẠNG ĐIỂM CAO)
Phương pháp tổng quát
Cho $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$), $\alpha$ là số thực cho trước. Đặt $S = x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a}$, $P = x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$.
| Yêu cầu | Điều kiện |
|---|---|
| $x_1 < \alpha < x_2$ (α nằm trong 2 nghiệm) | $a \cdot f(\alpha) < 0$ |
| $\alpha < x_1 < x_2$ (cả 2 nghiệm $>α$) | $\Delta > 0,\ a\cdot f(\alpha) > 0,\ \dfrac{S}{2} > \alpha$ |
| $x_1 < x_2 < \alpha$ (cả 2 nghiệm $<α$) | $\Delta > 0,\ a\cdot f(\alpha) > 0,\ \dfrac{S}{2} < \alpha$ |
| $\alpha < x_1 < x_2 < \beta$ (cả 2 trong khoảng) | $\Delta > 0,\ a f(\alpha)>0,\ a f(\beta)>0,\ \alpha < \dfrac{S}{2} < \beta$ |
VÍ DỤ 2 Vị trí nghiệm
Tìm $m$ để phương trình $x^2 - (m+2)x + 2m = 0$ có 2 nghiệm phân biệt cùng lớn hơn 1.
LỜI GIẢI
B1 Đặt $f(x) = x^2 - (m+2)x + 2m$, $a = 1 > 0$.
B2 ĐK: $\Delta > 0,\ f(1) > 0,\ \dfrac{S}{2} > 1$.
B3 $\Delta = (m+2)^2 - 8m = m^2 - 4m + 4 = (m-2)^2 > 0 \iff m \ne 2$.
B4 $f(1) = 1 - (m+2) + 2m = m - 1 > 0 \iff m > 1$.
B5 $\dfrac{S}{2} = \dfrac{m+2}{2} > 1 \iff m > 0$.
B6 Giao: $m > 1, m \ne 2$.
$m > 1$ và $m \ne 2$.
Trong dạng "vị trí nghiệm", BẮT BUỘC phải có cả 3 điều kiện: Δ (số nghiệm) + dấu $a \cdot f(\alpha)$ (vị trí 2 nghiệm với $\alpha$) + vị trí trục đối xứng. Thiếu 1 trong 3 là sai.
Bài tập tự luyện — Bài 9
9.1. Giải: $\dfrac{x^2 - 3x + 2}{x - 4} \ge 0$.
Tử $= (x-1)(x-2)$, mẫu $= x - 4 \ne 0$.
Lập bảng xét dấu các thừa số. Đáp án: $1 \le x \le 2$ hoặc $x > 4$.
Lập bảng xét dấu các thừa số. Đáp án: $1 \le x \le 2$ hoặc $x > 4$.
9.2. Tìm $m$ để bất phương trình $x^2 - 2(m-1)x + 4m + 1 > 0$ nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$.
$a = 1 > 0$ → cần $\Delta' < 0$. $\Delta' = (m-1)^2 - (4m+1) = m^2 - 6m = m(m-6) < 0 \iff 0 < m < 6$.