第6.5章 ベクトル基礎 — Vector (bonus ôn trước cho lớp 11)
Nội dung này nằm trong Toán B nhưng kết hợp chặt với hình học phẳng — học ngay từ Toán I+A để có lợi thế.
Định nghĩa Vector
Vector $\overrightarrow{AB}$ là đoạn thẳng có hướng, từ điểm gốc $A$ đến điểm ngọn $B$.
Vector-không: $\vec{0} = \overrightarrow{AA}$ (gốc = ngọn).
Hai vector bằng nhau: cùng hướng và cùng độ dài.
Các phép toán
Cộng: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ (quy tắc 3 điểm)
Trừ: $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$
Nhân số: $k\vec{a}$ — cùng hướng (nếu $k>0$), ngược hướng (nếu $k<0$), độ dài $|k| \cdot |\vec{a}|$
Tích vô hướng: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$
Tọa độ vector (座標)
Trong hệ tọa độ $Oxy$: $\vec{a} = (x_1, y_1), \vec{b} = (x_2, y_2)$:
$\vec{a} + \vec{b} = (x_1+x_2, y_1+y_2)$ · $k\vec{a} = (kx_1, ky_1)$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$
$|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$
$\cos(\vec{a},\vec{b}) = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
$\vec{a} \parallel \vec{b} \iff x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$
VÍ DỤ 1 Tính góc giữa hai vector
Cho $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (3, -1)$. Tính $\cos(\vec{a}, \vec{b})$.
LỜI GIẢI
B1 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1\cdot 3 + 2\cdot(-1) = 1$.
B2 $|\vec{a}| = \sqrt{5}, |\vec{b}| = \sqrt{10}$.
B3 $\cos = \dfrac{1}{\sqrt{50}} = \dfrac{1}{5\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{10}$.
$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{\sqrt{2}}{10}$.